辽宁省沈阳市级重点高中联合体2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

沈阳市2020—2021学年度（下）市级重点高中联合体期末测试
高一数学
满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.false是虚数单位，若false是纯虚数，则实数false（ ）
A.1 B.false C.4 D.false
2.已知向量false与false夹角为false，且false，false，则false（ ）
A.false B.false C.1 D.false
3.若false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.在false中，角false、false、false所对的边分别是false、false、false，若false，则false的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
5.已知函数false（false，false）的部分图象如图所示，false，false分别为图象上相邻的最高点与最低点，且线段false的长为false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为false，则侧面与底面所成的二面角的大小为（ ）
A.60° B.45° C.30° D.75
7.已知false的三个内角为false，false，false，向量false，false.若false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.已知三棱锥false的四个顶点都在球false的表面上，且false，false，若已知false，false，false，false，则球false的体积是（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知false为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A.false B.复数false的虚部为false
C.若false，则复平面内false对应的点位于第二象限
D.已知复数false满足false，则false在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.如图，在三棱锥false中，能推出false的条件是（ ）
A.false，false B.false，false
C.平面false平面false，false D.false平面false
11、下列命题中是真命题的有（ ）
A.在false中，false，false均为锐角，且false，则false为锐角
B.在false中，若false，则false是等腰三角形
C.在false中，“false”是“false”的充要条件
D.在false中，若false，false则false的值为false或false
12、如图，正方体false的棱长为1，线段false上有两个动点false，false，且false，则下列结论中正确的是（ ）
A.false B.false平面false
C.false的面积与false面积相等 D.三棱锥false的体积为定值
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知false，false，则false在false方向上的投影为______.
14.false化简的结果是______.
15.我国古代数学中提到一种几何体叫做“刍甍”，刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也.即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体（如图）：矩形false，棱false，false，false，false和false都是边长2的等边三角形，则此几何体的表面积为______.
16.在false中，角false，false，false的对边分别是false，false，false，已知false，false，且false的面积为false，则false的内切圆的半径为______.
四.解答题：（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）
在false中，内角false，false，false所对的边分别是false，false，false.已知false，false，false.
（1）求false的值；（2）求false的值.
18.（2019·湖南省湖南师大附中高二开学考试）如图，在三棱锥false中，false，false，false，false，false为线段false的中点，false为线段false上一点.
（1）求证：false；
（2）求证：平面false平面false；
（3）当false平面false时，求三棱锥false的体积.
19.已知函数false
（Ⅰ）求函数false在区间false上的值域.
（Ⅱ）在false中，角false，false，false所对的边分别是false，false，false，若角false为锐角，false，且false，求false面积的最大值.
20.在①false是函数false图象的一条对称轴，②false是函数false的一个零点，③函数false在false上单调递增，且false的最大值为false，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知函数false（false），______，求false在false上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥false中，侧面false是正三角形，且与底面false垂直，底面false是边长为2的菱形，false，false是false的中点，false为false的中点，过false，false，false的平面交false于点false.
求证：（1）false平面false；
（2）false平面false；
（3）平面false平面false.
22.已知false为坐标原点，对于函数false，称向量false为函数false的相伴特征向量，同时称函数false为向量false的相伴函数.
（1）设函数false，试求false的相伴特征向量false；
（2）记向量false的相伴函数为false，求当false且false，false的值；
（3）已知false，false，false为false的相伴特征向量，false，请问在false的图象上是否存在一点false，使得false.若存在，求出false点坐标；若不存在，说明理由.
2020—2021学年度（下）市级重点高中联合体期末测试
高一数学答案
一.单项选择题：1.B 2.C 3.D 4.A 5.A 6.A 7.C 8.C
二.多项选择题：9.AD 10.BCD 11.AC 12.ABD
三.填空题：13.false 14.false 15.false 16.false
四.解答题
17.（本小题满分10分）
（1）在false中，由false，可得false.
又由false，可得false，又false，故false.
由false，false，可得false.
（2）由false，得false，进而得
false，false，
所以false.
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）因为false，false，所以false平面false，
又因为false平面false，所以false.
（Ⅱ）因为false，false为false中点，所以false，
由（Ⅰ）知，false，所以false平面false.
所以平面false平面false.
（Ⅲ）因为false平面false，平面false平面false，
所以false.
因为false为false的中点，所以false，false.
由（Ⅰ）知，false平面false，所以false平面false.
所以三棱锥false的体积false.
19.（本小题满分12分）
（1）false；（Ⅱ）false
解：（1）false
false
false，
由false，有false，所以false
false函数false的值域为false.
（Ⅱ）由false，有false，
false为锐角，false，false.
false，false由余弦定理得：false，
false，false.
false，
false当false，即false为正三角形时，false的面积有最大值false.
20.（本小题满分12分）
解：false
false
false.
①若false是函数false图象的一条对称轴，
则false，false，即false，false，
得false，false，
又false，当false时，false，false
②若false是函数false的一个零点，
则false，即false，false，
得false，false
又false，false当false时，false，所以false.
③若false在false上单调递增，且false的最大值为false，
则false，故false，所以false.
由false，false，
得false，false，
令false，得false，令false，得false.又false，
所以false在false上单调递减区间为false，false.
21.（1）：false四边形false为菱形，
false，
又false平面false，false平面false，
false平面false.
false平面false平面false，false平面false，
false.
false.
又false为false的中点，false为false的中点，false.
false为false的中点，
.false.
false且false，
false四边形false为平行四边形，false.
又false平面false，false平面false，
false平面false.
（2）false四边形false是边长为2的菱形，且false，
false为false中点，false.
又false，false，false，false平面false，
false平面false.
false，false平面false.
（3）由（2）知false.
又false，且false为false的中点，false.
false，false，false平面false，
false平面false.
又false平面false，
false平面false平面false.
22.（本小题满分12分）
（1）false；（2）false；（3）存在，点false.
解（1）false
false，false的相伴特征向量false.
（2）向量false的相伴函数为false，
false，
false.false，false，false.
false.
（3）由false为false的相伴特征向量知：false.
所以false.
设false，false，false，
false，false，
又false，false，false.
false，
false
false，false，
false.
又false，
false当且仅当false时，false和false同时等于false，这时false式成立.
false在false图像上存在点false，使得false.