2.6 利用三角函数测高同步练习（含答案）

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第二章
直角三角形的边角关系
6
利用三角函数测高
知识能力全练
知识点
利用三角函数测高
1.如图所示，小明想要测量学校操
场上旗杆AB的高度，他作了如下操作:（1）在点C处质置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗的高度可表示为（
）
A.a＋btanα
B.a＋bsinα
C.a＋
D.a＋
2.如图所示，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到01米，＝1.414）（
）
A.34.14米
B.34.1米
C.35.7米
D.35.74米
3.如图所示，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点
A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到
E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得
5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5
米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1:2.4，则信号塔AB
的高度约为（
）
（参考数据:sn43°＝0.68，co43°＝0.73，tan43°＝0.93）
A.23米
B.24米
C.24.5米
D.25米
4.如图所示，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时察楼顶的仰角度数是__________.
5.荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米.其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为__________.（≈1.73，结果精确到0.1）
6.如图所示，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离PD＝20米，则BC＝________米.
7.如图所示，小莹在数学综合实践
活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35
m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6
m，小莹的观测点N距地面1.6
m
求居民楼AB的高度（精确到1m）（参考数据:sin55°
≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）.
8.如图所示，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30
m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座
灯塔的高度CD（结果取整数）.
（参考数据:sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
9.如图所示，小丽家与小梦家住在同一栋楼的同一单元，想测算所住楼对面写字楼的高
ED.在小丽家的B处，她俩测得写字楼顶部D的仰角
∠1＝60°，在小梦家的C处测得写字楼底部E的俯角
∠2＝45°.已知A，B，C三点共线，CA⊥AE，DE⊥AE，AB＝32米，BC＝18米，试求写字楼的高ED.
10.下图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，198年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志.在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑.某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表:
课题
测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图
如图，雕塑的最高点B到地面的高度为BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内点A，C，E在同一条直线上
测量数据
α的度数
β的度数
CE的长度
仪器CD（EF）的高度
31°
42°
5米
1.5米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）.
（参考数据:sin31°≈0.52，cos31°＝0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
11.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图所示，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.（点D、B、F在同一水平线上，参考数据:sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表
示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB
.
巩固提高全练
12.小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图所示，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置
测得∠PB＇C＝a（B＇C为水平线），测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为（
）
A.米
B.米
C.米
D.米
13.如图所示，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度.在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上（参号数据sin37°≈0.6,cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16）
（1）观景台的高度CE为__________米（结果保留准确
值）；
（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）.
14.如图所示，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为
（
）
A.（1.5＋150tanα）米
B.米
C.（1.5＋150sinα）米
D.米
15.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8
m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横EF＝12
m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）（参考数据:sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）
.
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）.
16.某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示.小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度.（结果精确到0.1米，≈1.732）
17.为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，如图所示，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如下表:
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据
BC＝60
m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°
BD＝20
m，∠ABH＝70°，∠BCD＝35°
BC＝101m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）.（参考数据:sin70°≈0.94，sin35°＝0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.
40°
5.
24.1
6.
7.解析
如图，过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝MN＝CF＝1.6m，EF＝AC＝35m，∠BEN＝∠DFN＝90°，
∴DF＝DC-CF＝16.6-1.6＝15m.
在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15m
.∴EN＝EF-NF＝35-15＝20m.
在Rt△BEN中，tan∠BNE＝，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×an55°≈20×1.43＝28.6m.
∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6＝30
m
.
答:居民楼AB的高度约为30
m.
8.解析
在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，∴AD＝.
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD.
∵AD＝AB＋BD，∴＝CD＋30，解得CD＝45.
答:这座灯塔的高度CD约为45
m.
9.解析
如图，过点B作BF⊥ED于点F，过点C作CG⊥ED于点G.
∵CA⊥AE，DE⊥AE，∴四边形AEGC和四边形AEFB都是矩形.
∴AE＝BF，AB＝FE＝32米,
易知∠CEA＝∠2＝45°
,
在Rt△CAE中，AE＝50米.
∴BF＝AE＝50米.
在Rt△DBF中，DF＝BF·tan∠1＝50×tan60°＝50米.
∴ED＝DF＋FE＝（50＋32）米.
答:写字楼的高ED为（50＋32）米.
10.解析
如图，延长DF交AB于点G.
设BG＝x米，在Rt△BFG中，FG＝米.
在Rt△BDG中，DG＝米.
由DG-FG＝DF，得.
∴x≈9.
∴AB＝AG＋BG＝1.5＋9＝10.5（米）
.
答:“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度约为10.5米
.
11.解析
（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，
∴GB＝CD＝1.7米，HB＝EF＝1.5米，∴GH＝0.2米.
在Rt△AHE中，an∠AEH＝，∴AH＝HE·tan∠AEH＝1.9a米.
∴AG＝AH-GH＝（1.9a-0.2）米.
在Rt△AG中，∠ACG＝45°，∴
CG＝AG＝（1.9a-0.2）米.∴BD＝（1.9a-0.2）米.
答:小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a-0.2）米.
（2）由题意，得1.9a-0.2＋a＝52，解得a＝18，则AC＝CG＝52-a＝34米.
∴AB＝AC＋GB＝34＋1.7＝35.7米.
答:慈氏塔的高度AB为35.7米.
12.C
13.（1）∵tan∠CDE＝，∴ED＝3CE.
又CD＝100米，∴100＝.
∴CE＝10米.
（2）如图，过点C作CF⊥AB于F，则四边形是CEBF是矩形.
∴CE＝BF＝10米，CF＝BE.
在Rt△ADB中，∠ADB＝45°.设AB＝BD＝x米.
在Rt△ACF中、∠ACF＝37°，tan∠ACF＝,
∴x≈411.
答:瀑布的落差约为411米.
14.A
15.解析
（1）由题意，得AG⊥EF，EG＝EF＝.
∵EF∥CB，∴∠AEG＝∠ACB＝35°.
在Rt△AGE中，AG＝EG·tan∠AEG＝6×tan35°≈6×0.7＝4.2m.
答:屋顶到横梁的距离AG约为4.2m
.
（2）如图，过E作EH⊥CB于H.
设EH＝xm，在Rt△EDH中，DH＝
在Rt△ECH中，CH＝
∵CH-DH＝CD＝8
m，
∴
∴x≈9.52.
∴AB＝AC＋BG＝13.72≈14m.
答:房屋的高AB约为14m.
16.解析
由题意得∠PCA＝90°，设PC＝x米.
在Rt△APC中，∠PAC＝45°，则AC＝PC＝x米.
在Rt△BPC中，BC＝
米
.
∵AB＝AC-BC＝60米，∴x-＝60，解得x＝90＋30.则BC＝（30＋30）米
.
在Rt△BCQ中，QC＝BC·tan∠QBC＝BC·tan30°＝（30＋10）米.
∴PQ＝PC-QC＝90＋30-（30＋10）＝60＋20≈94.6（米）.
答:信号发射塔PQ的高度约是94.6米.
17.解析
（1）第二小组的数据无法计算河宽.
（2）第一小组:
∴∠ABH＝∠ACH＋∠BHC∠ABH＝70°，∠ACH＝35°,
∴∠BHC＝∠BCH＝35°.
∴BC＝BH＝60m
.
∴AH＝BH·sin∠ABH＝BH·sin70≈60×0.94＝56.4（m）.
第三小组:设AH＝xm，则CA＝，AB＝.
∵CA＋AB＝CB，∴＋＝101∴.x≈56.4.
答:河宽约为56.4
m.
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