第一章 集合与函数概念 综合检测 2013最新版等答案（试题见相关网页）

第一章 集合与函数概念参考答案
一、选择题
1．A 解析：条件UA＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有，{0}，{1}，故正确选项为A．
2．D 解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2 B，故不满足条件AB，所以，正确选项为D．
3．C 解析：据条件A∪B＝A，得BA，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合，{－3}，{2}，所以，的取值集合是C．
4．B 解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．
5．B 解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．
6．D 解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．
7．C 解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．
8．B 解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．
9．A 解析：利用条件f(x＋4)＝f(x)可得，f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，再根据f(x)在R上是奇函数得，f(7)＝－f(1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A．
10．C 解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，函数f(x)，g(x)在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C．
二、填空题
11．参考答案：{x| x≥1}． 解析：由x－1≥0且x≥0，得函数定义域是{x|x≥1}．
12．参考答案：． 解析：由f(f(x))＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋1，所以a2＝4，ab＋b＝1(a＞0)，解得a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋，于是f(3)＝．
13．参考答案：． 解析：a＝0时不满足条件，所以a≠0．(1)当a＞0时，只需f(0)＝2a－1＞0；(2)当a＜0时，只需f(1)＝3a－1＞0．
综上得实数a的取值范围是．
14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}． 解析：根据条件I＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M∩N＝{5，15}，M∩(IN)＝{1，7}，得集合M＝{1，5，7，15}，再根据条件(IM)∩(IN)＝{3，13}，得N＝{5，9，11，15}．
15．参考答案：(2，4]．解析：据题意得－2≤m＋1＜2m－1≤7，转化为不等式组，解得m的取值范围是(2，4]．
16．参考答案：x(1－x3)．解析：∵任取x∈(－∞，0]，有－x∈[0，＋∞)，
∴ f(－x)＝－x［1＋(－x)3］＝－x(1－x3)， ∵ f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)．
∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)，即当x∈(－∞，0]时，f(x)的表达式为f(x)＝x(1－x3)．
三、解答题
17．参考答案：∵B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，
∴由A∩C＝知，－4 A ，2 A；由(A∩B)知，3∈A．∴32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2．当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝B，与A∩C＝矛盾．
当a＝－2时，经检验，符合题意．
18．参考答案：(1)∵ 2∈A，∴＝＝－1∈A；∴＝＝∈A； ∴＝＝2∈A．因此，A中至少还有两个元素：－1和．
(2)如果A为单元素集合，则a＝，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集．
(3)证明： a∈A∈A ∈A∈A，即1－∈A．
19．参考答案： f(x)＝2＋3－．
(1)当＜－1，即a＜－2时，f(x)的最小值为f(－1)＝5＋2a；(2)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(x)的最小值为＝3－；(3)当＞1，即a＞2时，f(x)的最小值为f(1)＝5－2a．综上可知，f(x)的最小值为
20．参考答案：(1)∵函数f(x)为R上的奇函数， ∴ f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，a≠－2，从而有f(x)＝．又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2．
(2)先讨论函数f(x)＝＝－＋的增减性．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝－＝，∵指数函数2x为增函数，∴＜0，∴ f(x2)＜f(x1)，∴函数f(x)＝是定义域R上的减函数．由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)，∴ f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，∴ t2－2t＞－2t2＋k ()．由()式得k＜3t2－2t． 又3t2－2t＝3(t－)2－≥－，∴只需k＜－，即得k的取值范围是．
基本初等函数(Ⅰ) 参考答案
一、选择题
1．A解析：log(2＋)＝log(2－)－1，故选A．
2．A解析：当a＞1时，y＝loga x单调递增，y＝a－x单调递减，故选A．
3．A解析：取特殊值a＝，可立否选项B，C，D，所以正确选项是A．
4．B解析：画出直线y＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a，b，c，d的值，由图形可得正确结果为B．
5．D解析：解法一：8＝()6，∴ f(6)＝log2＝．
解法二：f(x6)＝log2 x，∴ f(x)＝log2＝log2 x，f(8)＝log28＝．
6．D解析：由函数f(x)在上是减函数，于是有≥1，解得a≥3．
7．C解析：函数f(x)＝2－x－1＝－1的图象是函数g(x)＝图象向下平移一个单位所得，据函数g(x)＝定义域和值域，不难得到函数f(x)定义域是R，值域是(－1，＋∞)．
8．B解析：由－1＜a＜0，得0＜2a＜1，0.2a＞1，＞1，知A，D不正确．当a＝－时，＝＜＝，知C不正确．∴ 2a＜＜0.2a．
9．C解析：由f(x)在R上是减函数，∴ f(x)在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0＜a＜1 ①，又由f(x)在(－∞，1]上单减，∴ 3a－1＜0，∴ a＜ ②，又由于由f(x)在R上是减函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1］上的最小值7a－1要大于等于f(x)在［1，＋∞)上的最大值0，才能保证f(x)在R上是减函数．∴ 7a－1≥0，即a≥③．由①②③可得≤a＜，故选C．
10．B解析：先求函数的定义域，由2－ax＞0，有ax＜2，因为a是对数的底，故有a＞0且a≠1，于是得函数的定义域x＜．又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜，从而0＜a＜2且a≠1．若0＜a＜1，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而loga(2－ax)增大，即函数y＝loga(2－ax)在［0，1］上是单调递增的，这与题意不符.
若1＜a＜2，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而loga(2－ax)减小，即函数y＝loga(2－ax)在［0，1］上是单调递减的．所以a的取值范围应是(1，2)，故选择B．
二、填空题
11．参考答案：(－∞，0)．解析：∵ －x＞x，∴ x＜0．
12．参考答案：f(3)＜f(4)．解析：∵ f(3)＝log0.5 8，f(4)＝log0.5 5，∴ f(3)＜f(4)．
13．参考答案：．解析：＝·＝＝．
14．参考答案：．解析：＝log3＝－2，＝f(－2)＝2－2＝．
15．参考答案：． 解析：由题意，得 ∴ 所求函数的定义域为．
16．参考答案：a＝．解析：∵ f(x)为奇函数，∴ f(x)＋f(－x)＝2a－－＝2a－＝2a－1＝0，∴ a＝．
三、解答题
17．参考答案：a＝100，b＝10．解析：由f(－1)＝－2，得1－lga＋lg b＝0 ①，由f(x)≥2x，得x2＋xlg a＋lg b≥0(x∈R)．∴Δ＝(lg a)2－4lg b≤0 ②．联立①②，得(1－lg b)2≤0，∴ lg b＝1，即b＝10，代入①，即得a＝100．
18．参考答案：(1) a的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a的取值范围是[0，1]．
解析：(1)欲使函数f(x)的定义域为R，只须ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，所以有，解得a＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)；(2)欲使函数 f (x)的值域为R，即要ax2＋2x＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值．①当a＝0时，a x 2＋2x＋1＝2x＋1，当x∈(－，＋∞)时满足要求；②当a≠0时，应有 0＜a≤1．当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时满足要求(其中x1，x2是方程ax 2＋2x＋1＝0的二根)． 综上，a的取值范围是[0，1]．
19．参考答案：(1)定义域为R．令t＝2x(t＞0)，y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1， ∴ 值域为{y | y＞1}．t＝2x的底数2＞1，故t＝2x在x∈R上单调递增；而 y＝t2＋2t＋1在t∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y＝4x＋2x＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)定义域为R．令t＝x2－3x＋2＝－．∴ 值域为(0，]．∵ y＝在t∈R时为减函数，∴ y＝在－∞，上单调增函数，在，＋∞为单调减函数．
20．参考答案：(1){x |－1＜x＜1}；(2)奇函数；(3)当0＜a＜1时，－1＜x＜0；当a＞1时，0＜x＜1．
解析：(1)f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，若要式子有意义，则　 即－1＜x＜1，所以定义域为{x |－1＜x＜1}．
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1，1)，且F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－［loga(1＋x)－loga(1－x)］＝－F(x)，所以f(x)－g(x)是奇函数．
(3)f(x)－g(x)＞0即loga(x＋1)－loga(1－x)＞0有loga(x＋1)＞loga(1－x)．
当0＜a＜1时，上述不等式 解得－1＜x＜0；
当a＞1时，上述不等式 解得0＜x＜1．
函数的应用参考答案
一、选择题
1．C解析：易知A，B，D选项对应的函数在区间(0，1)内的函数值恒为负或恒为正，当x是接近0的正数时，x＋lnx＜0；当x接近1时，x＋lnx＞0. 所以选C．
2．D解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则另一个零点为－2，又在(－∞，0］上是减函数，则f(x)＜0的x的取值范围是(－2，2)．
3．A解析：设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a1)有两个零点， 就是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a＞1}.
4．D解析：因为f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能．例如，
所以函数f(x)必在区间(0，4)内有零点，正确选项为D．
5. C解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0解得x＝－3；当x＞0时，令－2＋ln x＝0，得x＝100，所以已知函数有两个零点，选C．还可以作出f(x)的图象，依图判断．
6. B解析：取特殊值x＝1，由图象知y＝f(1)＝，据此否定A，D，在取x＝0， 由图象知y＝f(0)＝0，据此否C，故正确选项是B.或者勾画选项B的函数图象亦可判断．
7．B解析：当x∈(2，4)时，x2∈(4，16)，2x∈(4，16)，log2 x∈(1，2)，∈，显然C、D不正确，但对于选项A，若x＝3时，x2＝9＞23＝8，故A也不正确，只有选项B正确．
8．A解析：由题意知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100 log2(7＋1)＝100×3＝300．
9．D解析：设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)．
经济效益：y＝(4－0.1x)(1 000＋100x)＝－10x2＋300x＋4 000＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000＝－10(x－15)2＋6 250．x＝15时，ymax＝6 250．每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．
10．B解析：若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x－250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润．设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］．∵ 函数y在［250，400］上单调递增，∴ x＝400时，ymax＝825(元)．即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．
二、填空题
11．参考答案：(－∞，－1)．解析：函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求实数a的取值范围是(－∞，－1)．
12．参考答案：长宽分别为25米．解析：设矩形长x米，则宽为(100－2x)＝(50－x)米，所以矩形面积y＝x(50－x)＝－x2＋50 x＝－(x－25)2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．
13．参考答案：f(x)＝解析：在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．
14．参考答案：
(1) y＝； (2)0.6．解析：(1)据图象0≤t≤0.1时，正比例函数y＝kt图象过点(0.1，1)，所以，k＝10，即y＝10t；当t＞0.1时，y与t的函数y＝(a为常数)的图像过点(0.1，1)，即得1＝，所以a＝0.1，即y＝．
(2)依题意得≤0.25，再由y＝lg x是增函数，得(t－0.1)lg≤lg，∵ lg＜0，即得t－0.1≥0.5，所以，t≥0.6．
15．参考答案：－1＜m＜．
解析：由f(x)＝(x＋1)｜x－1｜＝
得函数y＝f(x)的图象(如图)．按题意，直线y＝x＋m与曲线y＝(x＋1)|x－1|有三个不同的公共点，求直线y＝x＋m在y轴上的截距m的取值范围．
由 得x2＋x＋m－1＝0．Δ＝1－4(m－1)＝5－4m，由Δ＝0，得m＝，易得实数m的取值范围是－1＜m＜．
参考答案：y＝
解析：当直线l平移过程中，分过AB中点前、后两段建立y与x的函数表达式．
(1)当0＜x≤a时，y＝x·x＝ x2；
(2)当a＜x≤2a时，y＝·2a·a－(2a－x)·(2a－x)＝－x2＋2ax－a2．
所以，y＝
三、解答题
17．参考答案：每间客房日租金提高到40元．解析：设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30．设客房租金总收入y元，y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)2 ＋8 000(0＜x＜30)，当x＝10时，ymax＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.
18．参考答案：设从B市调运x(0≤x≤6)台到C市，则总运费
y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800［8－(6－x)］＝200x＋8 600(0≤x≤6)．
(1)若200x＋8 600≤9 000，则x≤2．所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案．
(2)由y＝200x＋8 600(0≤x≤6)可知，当x＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元．
19．参考答案：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logb t均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
把表格提供的三对数据代入该解析式得到：
解得a＝，b＝－，c＝．
所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝t2－t＋．
(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本Q最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/100 kg)．
20．参考答案：高为88 cm，宽为55 cm．
解析：设画面高为x cm，宽为λx cm，λx2＝4 840，设纸张面积为S，有
S＝(x＋16)( λx＋10)＝λx2＋(16 λ＋10)x＋160，将λ＝代入上式可得，S＝10(x＋)＋5 000＝10(－)2＋6 760，所以，＝，即x＝88 cm时，宽为λx＝55 cm，所用纸张面积最小．
期末测试题参考答案
一、选择题
1．B解析：UB＝{x|x≤1}，因此A∩UB＝{x|0＜x≤1}．
2．C
3．C
4．C 5．A 6．B 7．C 8．D
9．D解析：由log2 a＜0，得0＜a＜1，由＞1，得b＜0，所以选D项．
10．C解析：∵ 4x＞0，∴0≤16－ 4x＜16，∴∈[0，4)．
11．A解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A正确．
12．A 13．D
14．B解析：当x＝x1从1的右侧足够接近1时，是一个绝对值很大的负数，从而保证
f(x1)＜0；当x＝x2足够大时，可以是一个接近0的负数，从而保证f(x2)＞0．故正确选项是B．
二、填空题
15．参考答案：(－∞，－2)．
16．参考答案：(－∞，0)．
17．参考答案：[4，＋∞)．
18．参考答案：(－8，＋∞)．
三、解答题
19．参考答案：(1)由，得－3＜x＜3，
∴ 函数f(x)的定义域为(－3，3)．
(2)函数f(x)是偶函数，理由如下：
由(1)知，函数f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)，
∴ 函数f(x)为偶函数．
20．参考答案：(1)证明：化简f(x)＝
因为a＞2，
所以，y1＝(a＋2)x＋2 (x≥－1)是增函数，且y1≥f(－1)＝－a；
另外，y2＝(a－2)x－2 (x＜－1)也是增函数，且y2＜f(－1)＝－a．
所以，当a＞2时，函数f(x)在R上是增函数．
(2)若函数f(x)存在两个零点，则函数f(x)在R上不单调，且点(－1，－a)在x轴下方，所以a的取值应满足 解得a的取值范围是(0，2)．
21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
f(x)＝(x－150)－×50＝－(x－4 050)2＋307 050．
所以，当x＝4 050 时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)＝307 050．
当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．
∈
＋∞
＋∞
x＋1＞0
1－x＞0
x＋1＞0
1－x＞0
x＋1＜1－x
x＋1＞0
1－x＞0
x＋1＞1－x
(第4题)
(第15题)
x2－1，x≥1
1－x2，x＜1
y＝1－x2，
y＝x＋m