初中数学北师大版七年级上学期 第一章 1.3 截一个几何体
一、单选题
1．（2020七上·南岸期中）在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020七上·焦作月考）用一个平面去截一个长方体，可能截出的边数最多的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
3．用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是（ ）
A．球 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
4．（2020七上·靖远期末）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则这个几何体不可能是（ ）
A．圆柱; B．圆锥; C．正方体; D．球
5．（2019七上·丹东期末）如图，是一个正方体，用一个平面去截这个正方体，截面形状不可能为下图中的（ ）
A． B．
C． D．
6．下面是一个正方体，用一个平面去截这个正方体截面形状不可能为下图中的（ ）
A． B．
C． D．
7．（2018七上·兰州期中）下面几何体的截面图可能是圆的是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．长方体 D．棱柱
8．（2019七上·罗湖期中）用一个平面分別去截下列几何体,截面不能得到圆的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2020七上·兴庆期末）下列几何体的截面是 .
10．（2018七上·黄石月考）用一个平面去截长方体，三棱柱，圆柱，和圆锥，其中不能截出三角形的几何体 .
11．（2018七上·南山期末）如图所示，截去正方体的一个角后变成了一个新的多面体，这个多面体有 个面．
12．（2021七上·肃南期末）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是 （写出一个即可）；
13．（2020七上·禅城期末）如图，一个 5 5 5 的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上 下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则凿掉部分的体积为 .
14．用一个平面去截一个几何体，若截面是长方形，则该几何体可能是 （写三个）．
15．（2019七上·宝鸡月考）用平面去截一个正方体，其截面边数最多的多边形为 边形.
三、解答题
16．如图所示，一个长方体的长.宽.高分别是 10cm，8cm，6cm，有一只蚂蚁从点 A 出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到点 A 时，最多爬行多远 并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．
17．如图，截一个正方体，可以得到三角形，但要得到一个最大的等边三角形，你会切吗？你能说出你的切法吗？
18．用一个平面去截一个圆柱：
（1）所得截面可能是三角形吗？
（2）如果能得到正方形的截面，那么圆柱的底面半径和高有什么关系？
19．一次课外活动中，小东用小刀将一个泥塑正方体一刀切下去，请你猜猜看他切下的多面体可能是哪些柱体或锥体？
20．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．
21．如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，那么S1与S的大小关系是
A．S1＞S B．S1=S C．S1＜S D．无法确定
（2）小明说：“设图①中大正方体各棱的长度之和为l，图②中几何体各棱的长度之和为l1，那么l1比l正好多出大正方体3条棱的长度．”你认为这句话对吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图③是图②中几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形.
故答案为：A.
【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形.
2．【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】长方体有六个面，截面与其六个面相交最多为六边形，即可能截出的边数最多的多边形是六边形，
故答案为：C.
【分析】长方体的截面，最多可以经过6个面，进而得出结论.
3．【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】依次分析各选项中的几何体的特征即可判断。
【解答】A. 球，C. 圆锥，D. 圆柱，截面的形状均可能是圆，故错误；
B. 正方体的截面的形状不可能是圆，本选项正确.
故选B.
【点评】本题是属于基础应用题，只需学生熟练掌握常见几何体的特征，即可完成。
4．【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：截面的形状是圆，这个几何体不可能是正方体，
故答案为：C.
【分析】根据截面的形状再结合选项中各个图形的特征即可判断.
5．【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形.
故答案为：D.
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形.因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形.
6．【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．
故选D．
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．
7．【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：长方体和棱柱的截面都不可能有弧度，所以截面不可能是圆，而圆锥只要截面与底面平行，截得的就是圆．
故选B．
【分析】根据正方体、圆锥、长方体、棱柱的形状分析即可．
8．【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，用一个平面去截球，截面是圆，但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
故答案为：D．
【分析】根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于棱柱没有曲边，所以用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
9．【答案】长方形
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：根据题意，截面的形状是长方形，
故答案是：长方形.
【分析】根据截面的形状，进行判断即可.
10．【答案】圆柱
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】长方体沿体面对角线截几何体可以截出三角形，三棱柱沿顶点截几何体可以截得三角形，圆柱不能截出三角形，圆锥沿顶点可以截出三角形，故不能截出三角形的几何体是圆柱.
【分析】当截面的角度和方向不同时，所得截面的形状不同，其中长方体，三棱柱，圆锥可以截出三角形，据此判断即可.
11．【答案】7
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】观察图形，数出这个多面体的面数是7个.
故答案为：7.
【分析】截去正方体的一个角后变成了一个新的多面体，这个多面体少了一个顶点，多了一个面，棱未改变.
12．【答案】圆锥
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个三角形, 这个几何体可能是圆锥、棱柱、正方体等，任选一个作答.
故答案为：圆锥.
【分析】若截面是三角形，则需要几何体至少有三个平面且有共同的顶点，或几何体有一个平面且其它的面都是曲面，据此进行解答并填空即可（答案不唯一）.
13．【答案】49
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：前后方向凿掉部分的体积为 5 5 = 25 ，上下方向又凿掉了 5 2 + 2 2 = 14 ，左右方向又凿掉了5 2 = 10 ， 凿掉部分的总体积为 25 + 14 + 10 = 49
【分析】分别计算前后、上下、左右方向凿掉的体积，然后求和即可.
14．【答案】长方体、正方体、圆柱
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，原来的几何体可能是长方体、正方体、圆柱．
故答案为：长方体、正方体、圆柱（答案不唯一）．
【分析】截面的形状是长方形，说明从不同的方向看到的立体图形的形状必有长方形或正方形，由此得出长方体、正方体、圆柱用一个平面去截一个几何体，可以得到截面的形状是长方形．
15．【答案】六
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴最多可以截出六边形.
【分析】根据用一个平面截正方体，从不同的角度截取所得的形状会不同，故用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形.
16．【答案】解：由于不能重复且最后回到点 A 处，那么经过的棱数便等于经过的顶点数，当走的路线最长时必过所有顶点，则选择合理的路线时尽可能多地经过长为 10CM 的棱即可． ，所以最多爬行 68CM．路线举例： ．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】由题意可知，蚂蚁所爬行的路线经过的棱数即等于经过的顶点数，符合题意的路线尽可能多地经过长为 10CM 的棱即可．
17．【答案】解：如图所示．
沿着对角线切即可
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】要切最大的等边三角形，只须边长最大即可，由题意可知，正方形中最长的线段是对角线，所以只须沿着对角线切即可。
18．【答案】解：（1）用一个平面去截一个圆柱，所得截面不能是三角形；
（2）圆柱的底面半径r与圆柱的高h之间的关系为h=2r．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】用平面去截一个圆柱体，横着截时截面是椭圆或圆（截面与上下底平行），竖着截时，截面是长方形（截面与两底面垂直）或梯形．
根据“得到一个截面是正方形”可知圆柱的底面直径等于它的高．
19．【答案】解：用小刀将一个泥塑正方体一刀切下去，切下的多面体可能是三棱柱、四棱柱、五棱柱或三棱锥．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
20．【答案】如图所示
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；几何体的表面积；截一个几何体
【解析】【解答】如图所示：
21．【答案】解：（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，
那么S1与S的大小关系是相等；
故选：B；
（2）设大正方体棱长为1，小正方体棱长为x，那么l1﹣l=6x．
只有当x= 时，才有6x=3，所以小明的话是不对的；
（3）如图所示：
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得出S1与S的大小关系；
（2）利用立方体的性质得出得出棱长之间的关系；
（3）利用立方体的侧面展开图的性质得出即可．
1 / 1初中数学北师大版七年级上学期 第一章 1.3 截一个几何体
一、单选题
1．（2020七上·南岸期中）在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形.
故答案为：A.
【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形.
2．（2020七上·焦作月考）用一个平面去截一个长方体，可能截出的边数最多的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】长方体有六个面，截面与其六个面相交最多为六边形，即可能截出的边数最多的多边形是六边形，
故答案为：C.
【分析】长方体的截面，最多可以经过6个面，进而得出结论.
3．用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是（ ）
A．球 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】依次分析各选项中的几何体的特征即可判断。
【解答】A. 球，C. 圆锥，D. 圆柱，截面的形状均可能是圆，故错误；
B. 正方体的截面的形状不可能是圆，本选项正确.
故选B.
【点评】本题是属于基础应用题，只需学生熟练掌握常见几何体的特征，即可完成。
4．（2020七上·靖远期末）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则这个几何体不可能是（ ）
A．圆柱; B．圆锥; C．正方体; D．球
【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：截面的形状是圆，这个几何体不可能是正方体，
故答案为：C.
【分析】根据截面的形状再结合选项中各个图形的特征即可判断.
5．（2019七上·丹东期末）如图，是一个正方体，用一个平面去截这个正方体，截面形状不可能为下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形.
故答案为：D.
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形.因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形.
6．下面是一个正方体，用一个平面去截这个正方体截面形状不可能为下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．
故选D．
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．
7．（2018七上·兰州期中）下面几何体的截面图可能是圆的是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．长方体 D．棱柱
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：长方体和棱柱的截面都不可能有弧度，所以截面不可能是圆，而圆锥只要截面与底面平行，截得的就是圆．
故选B．
【分析】根据正方体、圆锥、长方体、棱柱的形状分析即可．
8．（2019七上·罗湖期中）用一个平面分別去截下列几何体,截面不能得到圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，用一个平面去截球，截面是圆，但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
故答案为：D．
【分析】根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于棱柱没有曲边，所以用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
二、填空题
9．（2020七上·兴庆期末）下列几何体的截面是 .
【答案】长方形
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：根据题意，截面的形状是长方形，
故答案是：长方形.
【分析】根据截面的形状，进行判断即可.
10．（2018七上·黄石月考）用一个平面去截长方体，三棱柱，圆柱，和圆锥，其中不能截出三角形的几何体 .
【答案】圆柱
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】长方体沿体面对角线截几何体可以截出三角形，三棱柱沿顶点截几何体可以截得三角形，圆柱不能截出三角形，圆锥沿顶点可以截出三角形，故不能截出三角形的几何体是圆柱.
【分析】当截面的角度和方向不同时，所得截面的形状不同，其中长方体，三棱柱，圆锥可以截出三角形，据此判断即可.
11．（2018七上·南山期末）如图所示，截去正方体的一个角后变成了一个新的多面体，这个多面体有 个面．
【答案】7
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】观察图形，数出这个多面体的面数是7个.
故答案为：7.
【分析】截去正方体的一个角后变成了一个新的多面体，这个多面体少了一个顶点，多了一个面，棱未改变.
12．（2021七上·肃南期末）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是 （写出一个即可）；
【答案】圆锥
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个三角形, 这个几何体可能是圆锥、棱柱、正方体等，任选一个作答.
故答案为：圆锥.
【分析】若截面是三角形，则需要几何体至少有三个平面且有共同的顶点，或几何体有一个平面且其它的面都是曲面，据此进行解答并填空即可（答案不唯一）.
13．（2020七上·禅城期末）如图，一个 5 5 5 的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上 下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则凿掉部分的体积为 .
【答案】49
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：前后方向凿掉部分的体积为 5 5 = 25 ，上下方向又凿掉了 5 2 + 2 2 = 14 ，左右方向又凿掉了5 2 = 10 ， 凿掉部分的总体积为 25 + 14 + 10 = 49
【分析】分别计算前后、上下、左右方向凿掉的体积，然后求和即可.
14．用一个平面去截一个几何体，若截面是长方形，则该几何体可能是 （写三个）．
【答案】长方体、正方体、圆柱
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，原来的几何体可能是长方体、正方体、圆柱．
故答案为：长方体、正方体、圆柱（答案不唯一）．
【分析】截面的形状是长方形，说明从不同的方向看到的立体图形的形状必有长方形或正方形，由此得出长方体、正方体、圆柱用一个平面去截一个几何体，可以得到截面的形状是长方形．
15．（2019七上·宝鸡月考）用平面去截一个正方体，其截面边数最多的多边形为 边形.
【答案】六
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴最多可以截出六边形.
【分析】根据用一个平面截正方体，从不同的角度截取所得的形状会不同，故用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形.
三、解答题
16．如图所示，一个长方体的长.宽.高分别是 10cm，8cm，6cm，有一只蚂蚁从点 A 出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到点 A 时，最多爬行多远 并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．
【答案】解：由于不能重复且最后回到点 A 处，那么经过的棱数便等于经过的顶点数，当走的路线最长时必过所有顶点，则选择合理的路线时尽可能多地经过长为 10CM 的棱即可． ，所以最多爬行 68CM．路线举例： ．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】由题意可知，蚂蚁所爬行的路线经过的棱数即等于经过的顶点数，符合题意的路线尽可能多地经过长为 10CM 的棱即可．
17．如图，截一个正方体，可以得到三角形，但要得到一个最大的等边三角形，你会切吗？你能说出你的切法吗？
【答案】解：如图所示．
沿着对角线切即可
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】要切最大的等边三角形，只须边长最大即可，由题意可知，正方形中最长的线段是对角线，所以只须沿着对角线切即可。
18．用一个平面去截一个圆柱：
（1）所得截面可能是三角形吗？
（2）如果能得到正方形的截面，那么圆柱的底面半径和高有什么关系？
【答案】解：（1）用一个平面去截一个圆柱，所得截面不能是三角形；
（2）圆柱的底面半径r与圆柱的高h之间的关系为h=2r．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】用平面去截一个圆柱体，横着截时截面是椭圆或圆（截面与上下底平行），竖着截时，截面是长方形（截面与两底面垂直）或梯形．
根据“得到一个截面是正方形”可知圆柱的底面直径等于它的高．
19．一次课外活动中，小东用小刀将一个泥塑正方体一刀切下去，请你猜猜看他切下的多面体可能是哪些柱体或锥体？
【答案】解：用小刀将一个泥塑正方体一刀切下去，切下的多面体可能是三棱柱、四棱柱、五棱柱或三棱锥．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
20．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．
【答案】如图所示
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；几何体的表面积；截一个几何体
【解析】【解答】如图所示：
21．如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，那么S1与S的大小关系是
A．S1＞S B．S1=S C．S1＜S D．无法确定
（2）小明说：“设图①中大正方体各棱的长度之和为l，图②中几何体各棱的长度之和为l1，那么l1比l正好多出大正方体3条棱的长度．”你认为这句话对吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图③是图②中几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
【答案】解：（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，
那么S1与S的大小关系是相等；
故选：B；
（2）设大正方体棱长为1，小正方体棱长为x，那么l1﹣l=6x．
只有当x= 时，才有6x=3，所以小明的话是不对的；
（3）如图所示：
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得出S1与S的大小关系；
（2）利用立方体的性质得出得出棱长之间的关系；
（3）利用立方体的侧面展开图的性质得出即可．
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