初中数学北师大版七年级上学期 第二章 2.9 有理数的乘方
一、单选题
1．（2018七上·孝感月考）下列算式中，结果是正数的是（ ）
A．－[－(－3)] B．－|－(－3)|3
C．－(－3)2 D．－32×(－2)3
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；去括号法则及应用；有理数的乘方；含乘方的有理数混合运算
【解析】【解答】A、－[－(－3)]=-3，结果是负数，不合题意；
B、－|－(－3)|3=-27，结果是负数，不合题意；
C、－(－3)2 =-9，结果是负数，不合题意；
D、－32×(－2)3=-9（-8）=72，结果是正数，符合题意.
故答案为D.
【分析】本题考查有理数的乘方、相反数等知识 . 准确计算，逐项判断即可.
2．（2019七上·昌平期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：A、(-3)2=9，故A不符合题意；
B、-32=-9，故B符合题意；
C、(-3)2=9，故C不符合题意；
D、(-1)2019=-1，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别计算各个选项的值，分析正误.
3．（2019七上·乐昌期中）下列计算正确的是（ ）
A．-42=-16 B．23=6 C．-8-8=0 D．-5-2=-3
【答案】A
【知识点】有理数的减法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：-42=-16，故A正确；
23=2×2×2=8，故B正确；
-8-8=-8+（-8）=-16，故C错误；
-5-2=-5+（-2）=-7，故D错误。
故答案为：A.
【分析】根据有理数的加减运算、乘方运算法则计算即可。
4．已知a、b是有理数，并且a2= ，|b|= ，如果a、b异号，那么a+b的值等于（ ）
A．1 B． C．±1 D．±
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵a2= ，|b|= ，
∴a=± ，b= ，
∵a、b异号，
∴①a= ，b=﹣ ，则a+b= ，
②a=﹣ ，b= ，则a+b=﹣ ，
故选：D．
【分析】根据乘方的意义可得a=± ，根据绝对值的性质可得b= ，再由条件a、b异号确定a、b的值，进而可得答案．
5．如果a+b＜0，且b＞0，那么a2与b2的关系是（ ）
A．a2≥b2 B．a2＞b2 C．a2≤b2 D．a2＜b2
【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：由a+b＜0，b＞0知a＜0且|a|＞|b|，
所以|a|2＞|b|2，
即a2＞b2．
故答案为：B．
【分析】由a+b＜0，且b＞0来判定a的符号及|a|与|b|的大小，然后再比较a2与b2的大小．
6．（2019九下·鞍山月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、原式=a39a2=9a5，故本选项错误；
B、原式=a2 =a，故本选项错误；
C、原式=（2a+1）2=4a2+4a+1，故本选项正确；
D、2a2与3a3不是同类项，不能合并，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】A、根据积的乘方和同底数幂的乘法解答；
B、根据同底数幂的除法，分式乘法解答；
C、根据完全平方公式解答；
D、根据合并同类项法则解答.
7．（2020七上·吴兴期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则 （x-y）m-n的值是（ ）
A．-27 B．-1 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】有理数的乘方；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，设两个空圆里的数字为a、b,
由题意得：m=a+2, n=a-1, x=b-1, y=b+2,
∴x-y=b-1-(b+2)=-3, m-n=a+2-(a-1)=3,
∴（x-y）m-n=(-3)3=-27.
故答案为：A.
【分析】本题运用设而不求的思想，设两个空圆里的数字为a、b, 根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等分别把m,n,x,y用含a、b的代数式表示，整体代换求出x-y和m-n的值，则（x-y）m-n可求.
二、填空题
8．（2019七上·永定月考）计算：-(-3)2＝ ．
【答案】-9
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：-(-3)2＝-（-3）×（-3）=-9
故填：-9.
【分析】根据乘方的意义进行计算即可.
9．（2019七上·南木林月考）若 ，则 = .
【答案】
【知识点】平方根；偶次幂的非负性
【解析】【解答】∵
∴ =4
∴x=
故答案是：
【分析】由平方的非负性和题意可得 =4，再根据平方根的定义可求解.
10．若|a|=﹣a，则a是 ，若a2=16，则a= ，若a3=﹣27，则 a= ．
【答案】非正数；±4；﹣3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】解：若|a|=﹣a，则a是非正数，若a2=16，则a=±4，若a3=﹣27，则 a=﹣3，
故答案为：非正数；±4；﹣3
【分析】利用绝对值的代数意义，平方根、立方根定义判断即可．
11．（2019七上·淮滨月考）现规定一种新运算“*”：对任意有理数a，b，都有a*b＝ab，那么(－ )*3＝ .
【答案】
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据新定义运算列出算式，再根据有理数的乘方运算法则即可算出答案.
12．（2019七上·恩平期中）（x+3）2+|2﹣y|＝0，则xy的值是 ．
【答案】-6
【知识点】偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵（x+3）2+|2﹣y|＝0，
∴x+3＝0，2﹣y＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，
则xy的值是：﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
三、解答题
13．1米长的小棒，第一次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第5次后剩下的小棒有多长？
【答案】.
【知识点】乘方的定义；有理数的乘方
【解析】【解答】第一次截去是 ; 第二次截去是 ； 第三次截去是 ; …… 所以第5次截去是5 =;
【分析】此题的解题关键是联系生活实际从中找出规律，列出乘方算式，再计算就行.本题主要考查了乘方的应用.
14．（1）化简： 4(2x2-xy)-(x2+xy-6 )
（2）已知A＝2a2b－ab2，B＝－a2b＋2ab2。
① 求5A＋4B；
② 若|a+2|＋(3－b)2＝0，求5A＋4B的值；
③试将a2b＋ab2用A与B的式子表示出来。
【答案】解：（1）4(2x2-xy)-(x2+xy-6 )=8x2-4xy-x2-xy+6=7x2-5xy+6（2）① 5A＋4B=5(2a2b-ab2)+4(-a2b+2ab2)=10a2b-5ab2-4a2b+8ab2=6a2b+3ab2② |a+2|＋(3－b)2＝0，则a=-2，b=3；代入上式得原式=6×(-2)2×3+3×(-2)×32=6×4×3+3×(-2)×9=72-54=18③试将a2b＋ab2用A与B的式子表示出来由于A+B=a2b＋ab2，所以可得a2b＋ab2 = A+B。
【知识点】整式的加减运算；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】先将多项式去括号合并同类项化到最简，然后代入求值。
【分析】考查整式加减法。需要注意绝对值的非负性。
15．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）第一种表示方法为：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积即可，即（a+b）2-2ab；第二种表示方法为：阴影部分的面积为两个正方形的面积之和，即a2+b2；
（2）因为两种方法表示的为同一个阴影的面积即两种表示方法为相等的关系，即(a+b)2-2ab=a2+b2；
（3）由（2）题中的等量关系即可求得a+b的值，再根据（2）题中的等量关系可以表示（a-b）2+2ab=a2+b2，可求出a-b的值，将a4-b4进行因式分解，即可求出它的值。
1 / 1初中数学北师大版七年级上学期 第二章 2.9 有理数的乘方
一、单选题
1．（2018七上·孝感月考）下列算式中，结果是正数的是（ ）
A．－[－(－3)] B．－|－(－3)|3
C．－(－3)2 D．－32×(－2)3
2．（2019七上·昌平期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019七上·乐昌期中）下列计算正确的是（ ）
A．-42=-16 B．23=6 C．-8-8=0 D．-5-2=-3
4．已知a、b是有理数，并且a2= ，|b|= ，如果a、b异号，那么a+b的值等于（ ）
A．1 B． C．±1 D．±
5．如果a+b＜0，且b＞0，那么a2与b2的关系是（ ）
A．a2≥b2 B．a2＞b2 C．a2≤b2 D．a2＜b2
6．（2019九下·鞍山月考）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020七上·吴兴期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则 （x-y）m-n的值是（ ）
A．-27 B．-1 C．8 D．16
二、填空题
8．（2019七上·永定月考）计算：-(-3)2＝ ．
9．（2019七上·南木林月考）若 ，则 = .
10．若|a|=﹣a，则a是 ，若a2=16，则a= ，若a3=﹣27，则 a= ．
11．（2019七上·淮滨月考）现规定一种新运算“*”：对任意有理数a，b，都有a*b＝ab，那么(－ )*3＝ .
12．（2019七上·恩平期中）（x+3）2+|2﹣y|＝0，则xy的值是 ．
三、解答题
13．1米长的小棒，第一次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第5次后剩下的小棒有多长？
14．（1）化简： 4(2x2-xy)-(x2+xy-6 )
（2）已知A＝2a2b－ab2，B＝－a2b＋2ab2。
① 求5A＋4B；
② 若|a+2|＋(3－b)2＝0，求5A＋4B的值；
③试将a2b＋ab2用A与B的式子表示出来。
15．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；去括号法则及应用；有理数的乘方；含乘方的有理数混合运算
【解析】【解答】A、－[－(－3)]=-3，结果是负数，不合题意；
B、－|－(－3)|3=-27，结果是负数，不合题意；
C、－(－3)2 =-9，结果是负数，不合题意；
D、－32×(－2)3=-9（-8）=72，结果是正数，符合题意.
故答案为D.
【分析】本题考查有理数的乘方、相反数等知识 . 准确计算，逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：A、(-3)2=9，故A不符合题意；
B、-32=-9，故B符合题意；
C、(-3)2=9，故C不符合题意；
D、(-1)2019=-1，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别计算各个选项的值，分析正误.
3．【答案】A
【知识点】有理数的减法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：-42=-16，故A正确；
23=2×2×2=8，故B正确；
-8-8=-8+（-8）=-16，故C错误；
-5-2=-5+（-2）=-7，故D错误。
故答案为：A.
【分析】根据有理数的加减运算、乘方运算法则计算即可。
4．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵a2= ，|b|= ，
∴a=± ，b= ，
∵a、b异号，
∴①a= ，b=﹣ ，则a+b= ，
②a=﹣ ，b= ，则a+b=﹣ ，
故选：D．
【分析】根据乘方的意义可得a=± ，根据绝对值的性质可得b= ，再由条件a、b异号确定a、b的值，进而可得答案．
5．【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：由a+b＜0，b＞0知a＜0且|a|＞|b|，
所以|a|2＞|b|2，
即a2＞b2．
故答案为：B．
【分析】由a+b＜0，且b＞0来判定a的符号及|a|与|b|的大小，然后再比较a2与b2的大小．
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、原式=a39a2=9a5，故本选项错误；
B、原式=a2 =a，故本选项错误；
C、原式=（2a+1）2=4a2+4a+1，故本选项正确；
D、2a2与3a3不是同类项，不能合并，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】A、根据积的乘方和同底数幂的乘法解答；
B、根据同底数幂的除法，分式乘法解答；
C、根据完全平方公式解答；
D、根据合并同类项法则解答.
7．【答案】A
【知识点】有理数的乘方；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，设两个空圆里的数字为a、b,
由题意得：m=a+2, n=a-1, x=b-1, y=b+2,
∴x-y=b-1-(b+2)=-3, m-n=a+2-(a-1)=3,
∴（x-y）m-n=(-3)3=-27.
故答案为：A.
【分析】本题运用设而不求的思想，设两个空圆里的数字为a、b, 根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等分别把m,n,x,y用含a、b的代数式表示，整体代换求出x-y和m-n的值，则（x-y）m-n可求.
8．【答案】-9
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：-(-3)2＝-（-3）×（-3）=-9
故填：-9.
【分析】根据乘方的意义进行计算即可.
9．【答案】
【知识点】平方根；偶次幂的非负性
【解析】【解答】∵
∴ =4
∴x=
故答案是：
【分析】由平方的非负性和题意可得 =4，再根据平方根的定义可求解.
10．【答案】非正数；±4；﹣3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘方
【解析】【解答】解：若|a|=﹣a，则a是非正数，若a2=16，则a=±4，若a3=﹣27，则 a=﹣3，
故答案为：非正数；±4；﹣3
【分析】利用绝对值的代数意义，平方根、立方根定义判断即可．
11．【答案】
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据新定义运算列出算式，再根据有理数的乘方运算法则即可算出答案.
12．【答案】-6
【知识点】偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵（x+3）2+|2﹣y|＝0，
∴x+3＝0，2﹣y＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，
则xy的值是：﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
13．【答案】.
【知识点】乘方的定义；有理数的乘方
【解析】【解答】第一次截去是 ; 第二次截去是 ； 第三次截去是 ; …… 所以第5次截去是5 =;
【分析】此题的解题关键是联系生活实际从中找出规律，列出乘方算式，再计算就行.本题主要考查了乘方的应用.
14．【答案】解：（1）4(2x2-xy)-(x2+xy-6 )=8x2-4xy-x2-xy+6=7x2-5xy+6（2）① 5A＋4B=5(2a2b-ab2)+4(-a2b+2ab2)=10a2b-5ab2-4a2b+8ab2=6a2b+3ab2② |a+2|＋(3－b)2＝0，则a=-2，b=3；代入上式得原式=6×(-2)2×3+3×(-2)×32=6×4×3+3×(-2)×9=72-54=18③试将a2b＋ab2用A与B的式子表示出来由于A+B=a2b＋ab2，所以可得a2b＋ab2 = A+B。
【知识点】整式的加减运算；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】先将多项式去括号合并同类项化到最简，然后代入求值。
【分析】考查整式加减法。需要注意绝对值的非负性。
15．【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）第一种表示方法为：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积即可，即（a+b）2-2ab；第二种表示方法为：阴影部分的面积为两个正方形的面积之和，即a2+b2；
（2）因为两种方法表示的为同一个阴影的面积即两种表示方法为相等的关系，即(a+b)2-2ab=a2+b2；
（3）由（2）题中的等量关系即可求得a+b的值，再根据（2）题中的等量关系可以表示（a-b）2+2ab=a2+b2，可求出a-b的值，将a4-b4进行因式分解，即可求出它的值。
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