初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.1 认识无理数
一、单选题
1．（2020七下·龙岩期中）在实数 ， ，﹣3.14，0，π，2.161 161 161…， 中，无理数有（ ）.
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2018八上·河南期中）在实数 ，- ， ， 中，是无理数的是（ ）
A． ， B．- ， C． D．
3．（2019八上·西安月考）下列判断：①立方根等于它本身的数是0和1；②任何非负数都有两个平方根；③算术平方根不可能是负数；④任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数；⑤不带根号的数都是有理数；其中错误的有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2020·永嘉模拟）给出四个实数﹣2，0，0.5， ，其中无理数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．0.5 D．
5．在下列各数中 ；0；3π； ； ；1.1010010001…，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．在0，﹣ ，﹣1，﹣2这四个数中是负无理数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．﹣1
二、填空题
7．（2020七下·南宁月考）在实数 ， ， ，π， 0.303003...(相邻两个 3 之间依次多一个 0)中，无理数有 个.
8．（2021八上·苏州期末）下列 个数： ， ，其中无理数有 个．
9．（2019八上·靖远月考）在－4， ，0，π，1，－ ， 这些数中，是无理数的是 .
10．（2019八下·邵东期末）已知数据 ，－7， ， ，－2017，其中出现无理数的频率是 .
11．（2021七上·沭阳期末）写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4： .
12．（2020八上·崂山期末）请写出一个-3到-2之间的无理数： ．
三、解答题
13．（2020七上·句容月考）请将下列各数： ；填入相应的括号内.
（ 1 ）整数集合 ；
（ 2 ）分数集合 ；
（ 3 ）负有理数集合 ；
（ 4 ）无理数集合 .
14．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设,a与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
15．如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上．并求出所画正方形的边长．
16．（2019七上·泰州月考）把下列各数分别填入相应的集合里：0，－3.14，－(－10)， ，－4 ，15%， ，0.3， ，10.01001000100001…
非负整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据无理数是无限不循环小数，可得答案． ，π， 是无理数，所以无理数有3个.
故答案为：C．
【分析】常见的无理数有三种形式：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③含有π的数，据此即可找出题目中的无理数，需要注意的是所有的分数都是有理数.
2．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.π是无限不循环小数，是无理数，故符合题意；
B. - 是分数，属于有理数，故不符合题意；
C. =3，是整数，属于有理数，故不符合题意；
D. =2，是整数，属于有理数，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由无理数是无限不循环小数和开放开不尽的数，判断即可.
3．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：①立方根等于它本身的数是0， 和1；故①错误；
②0的平方根是0，只有一个平方根；故②错误；
③算术平方根不可能是负数；正确；
④0的立方根是0；故④错误；
⑤ 是无理数；故⑤错误；
∴错误的选项有4个.
故答案为：C.
【分析】根据平方根的意义，立方根的意义，算术平方根的意义及无理数的定义判断即可.
4．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：﹣2，0是整数，属于有理数；
0.5是有限小数，属于有理数；
是无理数.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：﹣ 时负无理数，
故选：C．
【分析】根据小于零的无理数是负无理数，可得答案．
7．【答案】3
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】 ，是有理数， 是有理数，
无理数有 ，π， 0.303003...(相邻两个 3 之间依次多一个 0)
故无理数有3个
故答案为：3.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
8．【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】因为无理数是无限不循环小数，着五个数中只有 ， 这两个数是无限不循环小数，是无理数．
故答案为2．
【分析】利用无理数是无限不循环的小数，可得到已知数中无理数的个数.
9．【答案】π
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：π是无理数.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
10．【答案】0.6
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵数据 ，－7， ， ，－2017中无理数有 ， ， 共3个，
∴出现无理数的频率是3÷5=0.6.
故答案为：0.6.
【分析】用无理数的个数除以总个数即可.
11．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】无理数的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】∵一个无理数，这个无理数的绝对值小于4，
∴这个无理数可以是： .
故答案是： （答案不唯一）.
【分析】根据对无理数的认识进行解答即可.
12．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ = ， = ，
∴ 到 之间的无理数有 ，
故答案为： ．（答案不唯一）
【分析】答案不唯一，根据无理数的定义写出一个符合条件的无理数即可．
13．【答案】解：（1）整数集合{ ，...}
（ 2 ）分数集合{ ，...}
（ 3 ）负有理数集合{ ，...}
（ 4 ）无理数集合{ ，...}
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【分析】 分别根据整数、分数、负有理数、无理数的定义进行判断填写即可．
14．【答案】解：设=与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2，
因为b是整数且不为0，
所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数），
所以b2=5n2，
所以b也为5的倍数，
与a，b是互质的正整数矛盾．
所以是无理数．
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】先设=，再由已知条件得出，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数），
则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案．
15．【答案】解：如图所示：
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【分析】利用勾股定理，两直角边都是1的直角三角形斜边长是；两直角边长是2和1的直角三角形斜边长是；可确定边长是或的正方形．
16．【答案】解：非负整数集合：{0、－(－10) }
正分数集合：{ 、15%、0.3、 }
无理数集合：{ 、10.01001000100001…}
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【分析】无理数是指无限不循环小数；根据有理数的相关定义和无理数的意义可求解.
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一、单选题
1．（2020七下·龙岩期中）在实数 ， ，﹣3.14，0，π，2.161 161 161…， 中，无理数有（ ）.
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据无理数是无限不循环小数，可得答案． ，π， 是无理数，所以无理数有3个.
故答案为：C．
【分析】常见的无理数有三种形式：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③含有π的数，据此即可找出题目中的无理数，需要注意的是所有的分数都是有理数.
2．（2018八上·河南期中）在实数 ，- ， ， 中，是无理数的是（ ）
A． ， B．- ， C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.π是无限不循环小数，是无理数，故符合题意；
B. - 是分数，属于有理数，故不符合题意；
C. =3，是整数，属于有理数，故不符合题意；
D. =2，是整数，属于有理数，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由无理数是无限不循环小数和开放开不尽的数，判断即可.
3．（2019八上·西安月考）下列判断：①立方根等于它本身的数是0和1；②任何非负数都有两个平方根；③算术平方根不可能是负数；④任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数；⑤不带根号的数都是有理数；其中错误的有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：①立方根等于它本身的数是0， 和1；故①错误；
②0的平方根是0，只有一个平方根；故②错误；
③算术平方根不可能是负数；正确；
④0的立方根是0；故④错误；
⑤ 是无理数；故⑤错误；
∴错误的选项有4个.
故答案为：C.
【分析】根据平方根的意义，立方根的意义，算术平方根的意义及无理数的定义判断即可.
4．（2020·永嘉模拟）给出四个实数﹣2，0，0.5， ，其中无理数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．0.5 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：﹣2，0是整数，属于有理数；
0.5是有限小数，属于有理数；
是无理数.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此解答即可.
5．在下列各数中 ；0；3π； ； ；1.1010010001…，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．在0，﹣ ，﹣1，﹣2这四个数中是负无理数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．﹣1
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：﹣ 时负无理数，
故选：C．
【分析】根据小于零的无理数是负无理数，可得答案．
二、填空题
7．（2020七下·南宁月考）在实数 ， ， ，π， 0.303003...(相邻两个 3 之间依次多一个 0)中，无理数有 个.
【答案】3
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】 ，是有理数， 是有理数，
无理数有 ，π， 0.303003...(相邻两个 3 之间依次多一个 0)
故无理数有3个
故答案为：3.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
8．（2021八上·苏州期末）下列 个数： ， ，其中无理数有 个．
【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】因为无理数是无限不循环小数，着五个数中只有 ， 这两个数是无限不循环小数，是无理数．
故答案为2．
【分析】利用无理数是无限不循环的小数，可得到已知数中无理数的个数.
9．（2019八上·靖远月考）在－4， ，0，π，1，－ ， 这些数中，是无理数的是 .
【答案】π
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：π是无理数.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
10．（2019八下·邵东期末）已知数据 ，－7， ， ，－2017，其中出现无理数的频率是 .
【答案】0.6
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵数据 ，－7， ， ，－2017中无理数有 ， ， 共3个，
∴出现无理数的频率是3÷5=0.6.
故答案为：0.6.
【分析】用无理数的个数除以总个数即可.
11．（2021七上·沭阳期末）写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4： .
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】无理数的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】∵一个无理数，这个无理数的绝对值小于4，
∴这个无理数可以是： .
故答案是： （答案不唯一）.
【分析】根据对无理数的认识进行解答即可.
12．（2020八上·崂山期末）请写出一个-3到-2之间的无理数： ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ = ， = ，
∴ 到 之间的无理数有 ，
故答案为： ．（答案不唯一）
【分析】答案不唯一，根据无理数的定义写出一个符合条件的无理数即可．
三、解答题
13．（2020七上·句容月考）请将下列各数： ；填入相应的括号内.
（ 1 ）整数集合 ；
（ 2 ）分数集合 ；
（ 3 ）负有理数集合 ；
（ 4 ）无理数集合 .
【答案】解：（1）整数集合{ ，...}
（ 2 ）分数集合{ ，...}
（ 3 ）负有理数集合{ ，...}
（ 4 ）无理数集合{ ，...}
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【分析】 分别根据整数、分数、负有理数、无理数的定义进行判断填写即可．
14．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设,a与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
【答案】解：设=与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2，
因为b是整数且不为0，
所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数），
所以b2=5n2，
所以b也为5的倍数，
与a，b是互质的正整数矛盾．
所以是无理数．
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】先设=，再由已知条件得出，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数），
则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案．
15．如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上．并求出所画正方形的边长．
【答案】解：如图所示：
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【分析】利用勾股定理，两直角边都是1的直角三角形斜边长是；两直角边长是2和1的直角三角形斜边长是；可确定边长是或的正方形．
16．（2019七上·泰州月考）把下列各数分别填入相应的集合里：0，－3.14，－(－10)， ，－4 ，15%， ，0.3， ，10.01001000100001…
非负整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
【答案】解：非负整数集合：{0、－(－10) }
正分数集合：{ 、15%、0.3、 }
无理数集合：{ 、10.01001000100001…}
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【分析】无理数是指无限不循环小数；根据有理数的相关定义和无理数的意义可求解.
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