初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.3 立方根
一、单选题
1．（2019七上·鸡西期末）已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣1和﹣5﹣a，则这个正数的立方根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：由一个正数的两个平方根分别为3a-1和-5-a，得
3a-1+（-5-a）=0．解得a=3，该数为64.
所以这个正数的立方根是4.
故答案为：D．
【分析】根据一个正数的两平方根互为相反数，可得方程，根据解方程，可得a的值，根据立方运算，可得答案．
2．（2020七下·吉林月考）-8的立方根是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】B
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：因为
所以 的立方根是-2
故答案为：B
【分析】如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，即3个x连续相乘等于a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根.
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．10的立方根是 B．-2是4的一个平方根
C． 的平方根是 D．0.01的算术平方根是0.1
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、 10的立方根是 ，故A不符合题意；
B、 2是4的一个平方根，故B不符合题意；
C、 的平方根是± ，故C符合题意；
D、0.01的算术平方根是0.1，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用立方根、算术平方根及平方根的性质进行解答即可。
4．（2020八上·重庆月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；实数的绝对值
【解析】【解答】解：A、 ，正确；
B、 ，故错误；
C、 ，故错误；
D、 ，故错误.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质、立方根的定义、绝对值的性质逐项分析判断.
5．下列说法正确的是（ ）
A．25的平方根是5 B．﹣22的算术平方根是2
C．0.8的立方根是0.2 D．是的一个平方根
【答案】D
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、25的平方根是±5，故错误；
B、﹣22=﹣4，﹣4没有算术平方根，故错误；
C、0.8的立方根是，故错误；
D、正确；
故选：D．
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根，逐一判定即可解答．
6．－27的立方根与的平方根之和是（ ）
A．0 B．－6 C．0或－6 D．6
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方；有理数的加法
【解析】【解答】∵-27的立方根是-3，而=9，9的平方根是±3，
所以它们的和为0或-6．
故选C．
【分析】根据立方根的定义求得-27的立方根是-3，根据平方根的性质，的平方根是±3，由此即可得到它们的和．此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同。
7．下列说法错误的是（ ）
A．一个正数的算术平方根一定是正数
B．一个数的立方根一定比这个数小
C．一个非零的数的立方根，仍然是一个非零的数
D． 负数没有平方根，但有立方根
【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、一个正数的算术平方根一定是正数正确，故本选项不符题意；
B、一个数的立方根一定比这个数小错误，例如：-8的立方根是-2，-2＞-8，故本选项符合题意；
C、一个非零的数的立方根，仍然是一个非零的数正确，故本选项不符题意；
D、负数没有平方根，但有立方根正确，故本选项不符题意．
故选B．
【点评】本题考查了立方根，平方根算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键
8．（2018八上·西安月考）﹣27的立方根与 的算术平方根的和是（ ）
A．0 B．6 C．6或﹣12 D．0或6
【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】∵ =9，
∴ 的算术平方根是3，
∵-27的立方根是-3，
∴﹣27的立方根与 的算术平方根的和是：-3+3=0，
故答案为：A.
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根；一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根，据此作出判断即可.
二、填空题
9．（2019七下·龙岩期末）计算： .
【答案】1
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】
【分析】分别开平方、开立方即可。
10．（2020七上·枣阳期末）若 ， ，则 .
【答案】1或5
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】∵a2＝4，b3=27，
∴a＝±2，b=3，
当a＝2，b=3时，a＋b＝2＋3＝5；
当a＝－2，b=3时，a＋b＝－2＋3＝1.
所以a＋b＝1或5，
故答案为：1或5.
【分析】先根据a2＝4，b3=27求出ab的值，再分情况计算即可.
11．（2019八上·灌云期末） 5的立方根为 .
【答案】
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】5的立方根为 ，
故答案为： .
【分析】根据立方根的定义求解可得.
12．（2020八上·岐山期末）若 与 是同类项，则 的立方根是 .
【答案】2
【知识点】立方根及开立方；同类项
【解析】【解答】若 与 是同类项，则： ，解方程得： .∴ =2﹣3×（﹣2）=8.8的立方根是2.故答案为2.
【分析】根据同类项的定义“所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项”可得关于m、n的方程组，解方程组可求得m、n的值，代入m-3n计算再求立方根即可.
13．（2020七下·孟村期末） ．
【答案】11
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：原式=7-（-4）
=7+4
=11
故答案为：11．
【分析】根据算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可．
14．81的平方根是 ，9的算术平方根是 ，﹣27的立方根是
【答案】±9；3；﹣3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：81的平方根是±9，9的算术平方根是3，﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：±9，3，﹣3．
【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义分别填空即可．
15．计算：2﹣1﹣（π﹣3）0﹣= ．
【答案】-1
【知识点】立方根及开立方；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】
原式=
【分析】考查实数的混合运算.
16．（2020七下·朝阳期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）求 ；
①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定 是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定 的十位上的数是 ；
由此求得 ＝ ．
（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ＝ ．
【答案】（1）两；9；3；39
（2）47
【知识点】立方根及开立方；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜100000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
③33＜59＜43，因此可以确定 的十位上的数是3，
最后得出 ＝39，
故答案为：两，9，3、39；（2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7；
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，可以确定 的十位数字为4，
于是可得 ＝47；
故答案为：47．
【分析】（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；（2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
三、解答题
17．（2016·福州）计算：|﹣1|﹣ +（﹣2016）0．
【答案】解：|﹣1|﹣+（﹣2016）0
=1﹣2+1
=0．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；立方根及开立方；零指数幂
【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．
18．已知M= 是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．
【答案】解：因为M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，
所以可得：m﹣4=2，2m﹣4n+3=3，
解得：m=6，n=3，
把m=6，n=3代入m+3=9，n﹣2=1，
所以可得M=3，N=1，
把M=3，N=1代入M﹣N=3﹣1=2．
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据算术平方根及立方根的定义，求出M、N的值，代入可得出M﹣N的平方根．
19．（2019七下·白水期末）已知 的平方根为 的算术平方根为4，求a-b的立方根
【答案】解：∵（±3）2=9，
∴2b+1=9.
∴b=4.
∵42=16，
∴3a+2b-1=16.
∴3a+7=16.
解得a=3.
∴a-b=3-4=-1.
∵（-1）3=-1，
∴-1的立方根是-1，即a-b的立方根是-1.
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】由平方根的定义可知2b+1=9，3a+2b-1=16，然后可求得a、b的值，接下来再求得a-b的值，之后利用立方根的定义求解即可.
20．（2019七下·合肥期末）已知3既是（x-1）的算术平方根，又是（x-2y+1）的立方根，求x2-y2的平方根．
【答案】解：3既是（x-1）的算术平方根，又是（x-2y+1）的立方根，
x-1=32=9，x-2y+1=33，
x=10，y=-8，
x2-y2
=（x+y）（x-y）
=（10-8）×（10+8）
=36．
∴x2-y2的平方根为±6
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】根据算术平方根的平方，可得被开方数，根据立方根的立方，可得被开方数，根据平方差公式，可得答案．
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.3 立方根
一、单选题
1．（2019七上·鸡西期末）已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣1和﹣5﹣a，则这个正数的立方根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
2．（2020七下·吉林月考）-8的立方根是（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．10的立方根是 B．-2是4的一个平方根
C． 的平方根是 D．0.01的算术平方根是0.1
4．（2020八上·重庆月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．25的平方根是5 B．﹣22的算术平方根是2
C．0.8的立方根是0.2 D．是的一个平方根
6．－27的立方根与的平方根之和是（ ）
A．0 B．－6 C．0或－6 D．6
7．下列说法错误的是（ ）
A．一个正数的算术平方根一定是正数
B．一个数的立方根一定比这个数小
C．一个非零的数的立方根，仍然是一个非零的数
D． 负数没有平方根，但有立方根
8．（2018八上·西安月考）﹣27的立方根与 的算术平方根的和是（ ）
A．0 B．6 C．6或﹣12 D．0或6
二、填空题
9．（2019七下·龙岩期末）计算： .
10．（2020七上·枣阳期末）若 ， ，则 .
11．（2019八上·灌云期末） 5的立方根为 .
12．（2020八上·岐山期末）若 与 是同类项，则 的立方根是 .
13．（2020七下·孟村期末） ．
14．81的平方根是 ，9的算术平方根是 ，﹣27的立方根是
15．计算：2﹣1﹣（π﹣3）0﹣= ．
16．（2020七下·朝阳期末）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）求 ；
①由103＝1000，1003＝1 000 000，可以确定 是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定 的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，可以确定 的十位上的数是 ；
由此求得 ＝ ．
（2）已知103823也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得 ＝ ．
三、解答题
17．（2016·福州）计算：|﹣1|﹣ +（﹣2016）0．
18．已知M= 是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．
19．（2019七下·白水期末）已知 的平方根为 的算术平方根为4，求a-b的立方根
20．（2019七下·合肥期末）已知3既是（x-1）的算术平方根，又是（x-2y+1）的立方根，求x2-y2的平方根．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：由一个正数的两个平方根分别为3a-1和-5-a，得
3a-1+（-5-a）=0．解得a=3，该数为64.
所以这个正数的立方根是4.
故答案为：D．
【分析】根据一个正数的两平方根互为相反数，可得方程，根据解方程，可得a的值，根据立方运算，可得答案．
2．【答案】B
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：因为
所以 的立方根是-2
故答案为：B
【分析】如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，即3个x连续相乘等于a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根.
3．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、 10的立方根是 ，故A不符合题意；
B、 2是4的一个平方根，故B不符合题意；
C、 的平方根是± ，故C符合题意；
D、0.01的算术平方根是0.1，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用立方根、算术平方根及平方根的性质进行解答即可。
4．【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；实数的绝对值
【解析】【解答】解：A、 ，正确；
B、 ，故错误；
C、 ，故错误；
D、 ，故错误.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质、立方根的定义、绝对值的性质逐项分析判断.
5．【答案】D
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、25的平方根是±5，故错误；
B、﹣22=﹣4，﹣4没有算术平方根，故错误；
C、0.8的立方根是，故错误；
D、正确；
故选：D．
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根，逐一判定即可解答．
6．【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方；有理数的加法
【解析】【解答】∵-27的立方根是-3，而=9，9的平方根是±3，
所以它们的和为0或-6．
故选C．
【分析】根据立方根的定义求得-27的立方根是-3，根据平方根的性质，的平方根是±3，由此即可得到它们的和．此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同。
7．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、一个正数的算术平方根一定是正数正确，故本选项不符题意；
B、一个数的立方根一定比这个数小错误，例如：-8的立方根是-2，-2＞-8，故本选项符合题意；
C、一个非零的数的立方根，仍然是一个非零的数正确，故本选项不符题意；
D、负数没有平方根，但有立方根正确，故本选项不符题意．
故选B．
【点评】本题考查了立方根，平方根算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键
8．【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】∵ =9，
∴ 的算术平方根是3，
∵-27的立方根是-3，
∴﹣27的立方根与 的算术平方根的和是：-3+3=0，
故答案为：A.
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根；一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根，据此作出判断即可.
9．【答案】1
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】
【分析】分别开平方、开立方即可。
10．【答案】1或5
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】∵a2＝4，b3=27，
∴a＝±2，b=3，
当a＝2，b=3时，a＋b＝2＋3＝5；
当a＝－2，b=3时，a＋b＝－2＋3＝1.
所以a＋b＝1或5，
故答案为：1或5.
【分析】先根据a2＝4，b3=27求出ab的值，再分情况计算即可.
11．【答案】
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】5的立方根为 ，
故答案为： .
【分析】根据立方根的定义求解可得.
12．【答案】2
【知识点】立方根及开立方；同类项
【解析】【解答】若 与 是同类项，则： ，解方程得： .∴ =2﹣3×（﹣2）=8.8的立方根是2.故答案为2.
【分析】根据同类项的定义“所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项”可得关于m、n的方程组，解方程组可求得m、n的值，代入m-3n计算再求立方根即可.
13．【答案】11
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：原式=7-（-4）
=7+4
=11
故答案为：11．
【分析】根据算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可．
14．【答案】±9；3；﹣3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：81的平方根是±9，9的算术平方根是3，﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：±9，3，﹣3．
【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义分别填空即可．
15．【答案】-1
【知识点】立方根及开立方；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】
原式=
【分析】考查实数的混合运算.
16．【答案】（1）两；9；3；39
（2）47
【知识点】立方根及开立方；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜59319＜100000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
②因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
③33＜59＜43，因此可以确定 的十位上的数是3，
最后得出 ＝39，
故答案为：两，9，3、39；（2）∵103＝1000，1003＝1 000 000，而1000＜103823＜1000000，
∴10＜ ＜100，
因此结果为两位数；
只有7的立方的个位数字是3，因此结果的个位数字是7；
如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，可以确定 的十位数字为4，
于是可得 ＝47；
故答案为：47．
【分析】（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；（2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
17．【答案】解：|﹣1|﹣+（﹣2016）0
=1﹣2+1
=0．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；立方根及开立方；零指数幂
【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．
18．【答案】解：因为M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，
所以可得：m﹣4=2，2m﹣4n+3=3，
解得：m=6，n=3，
把m=6，n=3代入m+3=9，n﹣2=1，
所以可得M=3，N=1，
把M=3，N=1代入M﹣N=3﹣1=2．
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】根据算术平方根及立方根的定义，求出M、N的值，代入可得出M﹣N的平方根．
19．【答案】解：∵（±3）2=9，
∴2b+1=9.
∴b=4.
∵42=16，
∴3a+2b-1=16.
∴3a+7=16.
解得a=3.
∴a-b=3-4=-1.
∵（-1）3=-1，
∴-1的立方根是-1，即a-b的立方根是-1.
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】由平方根的定义可知2b+1=9，3a+2b-1=16，然后可求得a、b的值，接下来再求得a-b的值，之后利用立方根的定义求解即可.
20．【答案】解：3既是（x-1）的算术平方根，又是（x-2y+1）的立方根，
x-1=32=9，x-2y+1=33，
x=10，y=-8，
x2-y2
=（x+y）（x-y）
=（10-8）×（10+8）
=36．
∴x2-y2的平方根为±6
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】根据算术平方根的平方，可得被开方数，根据立方根的立方，可得被开方数，根据平方差公式，可得答案．
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