初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.6 实数
一、单选题
1．（2018·广州）四个数0，1， ， 中，无理数的是（ ）
A． B．1 C． D．0
2．（2016七上·嘉兴期中）数轴上的点与下列各数中的什么数一一对应（ ）
A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数
3．（2017七上·杭州期中）下列说法正确的个数有（ ）
①近似数2千万和近似数2000万的精确度一样. ②
③平方根等于本身的数有0. ④实数与数轴上的点一一对应.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2020七下·桦南期中）下列说法错误的有（ ）个
①互为相反数的数的立方根也互为相反数；
② 不是整式；
③算术平方根等于它本身的数只有零；
④实数和数轴上的点一一对应；
⑤任何两数相加，和不小于任何一个加数．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2019七上·江都月考）已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A．0 B．4b C．-2a-2c D．2a-4b
6．下列说法中，正确的是（ ）
A． 是正整数 B． 是素数
C． 是分数 D． 是有理数
7．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A．a+1 B． C．a2+1 D．
8．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
9．20﹣ ＝ ．
10．（2020·泉港模拟）计算： ．
11．（2020八下·襄阳开学考） = ;( )( )= .
12．（2020八上·沈阳期末）如图，数轴上点A表示的数据为 ．
13．（2019·晋宁模拟）化简 的结果为 .
14．（2019七下·崇明期末）计算： ．
三、解答题
15．（2019七上·秦安月考）把下列各数表示在数轴上，并用“ ”将这些数连接起来.
4，0， 0.5， 2.5.
16．（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣tan30°；
（2）化简：÷（﹣）．
17．（2019七上·福州期中）已知a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣|a+b|+|a﹣b|．
18．阅读下面材料：随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认不是有理数，并给出了证明．假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得=，于是p=q，两边平方得p2=2q2．因为2q2是偶数，所以p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即q2=2s2，所以q也是偶数，这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾，这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．
请你有类似的方法，证明不是有理数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A. 属于无限不循环小数，是无理数，A符合题意；
B.1是整数，属于有理数，B不符合题意；
C. 是分数，属于有理数，C不符合题意；
D.0是整数，属于有理数，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】无理数：无限不循环小数，由此即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：每一个数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数与数轴上的点是一一对应的．
故选D．
【分析】根据实数与数轴的对应关系解答．
3．【答案】B
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示；近似数及有效数字；真命题与假命题
【解析】【解答】①∵近似数2千万精确到千万位，近似数2000万精确到万位，∴精确度不一样，①不符合题意；
②∵∴②错误，②不符合题意；
③∵平方根等于本身的数只有0，∴③正确，③符合题意；
④∵实数与数轴上的点是一一对应的，∴④正确，④符合题意；
故答案为：B.
【分析】①根据近似数的精确度来分析；②根据二次根式的性质来分析；③根据平方根的定义来分析；④根据实数与数轴的关系来分析.
4．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①互为相反数的数的立方根也互为相反数，则本题说法符合题意；
② 是整式，则本题说法不符合题意；
③算术平方根等于它本身的数有0和1，则本题说法不符合题意；
④实数和数轴上的点一一对应，则本题说法符合题意；
⑤当两个负数相加时，和小于任何一个加数，则本题说法不符合题意.
则本题中说法错误的有②③和⑤，
故答案为：C．
【分析】①根据立方根的性质得出答案；②根据整式的定义得出答案；③根据算术平方根的性质进行求解；④根据数轴与实数之间的关系得出答案；⑤根据有理数的加法计算法则可以得出答案．
5．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】由数轴可知b＜a＜0＜c。且-b＞-a＞c。所以a+c＞0，a-2b＞0，c-2b＞0.
则原式=a+c-(a-2b)-(c-2b)=a+c-a+2b-c+2b=4b
【分析】本题难度较低，主要考查学生对实数与数轴知识点的掌握。分析abc三个数字之间大小关系为解题关键。
6．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A.0既不是正数，也不是负数，不符合题意.
B.1不是素数，最小的素数是2，不符合题意.
C. 是无理数，不是分数，不符合题意.
D. 是有理数， 符合题意.
故答案为：D
【分析】根据实数的分类，逐一判断可解答。
7．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：一个自然数的算术平方根是a，这个数是a2，
则该自然数的下一个自然数的算术平方根是 ，
故选：D．
【分析】根据算术平方根的意义，可得答案．
8．【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【分析】先利用勾股定理求出a=3
，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．
【解答】∵边长为3的正方形的对角线长为a，
∴a=．
①a=3是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，说法错误；
④a是18的算术平方根，说法正确．
所以说法正确的有①②④．
故选C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性．
9．【答案】-1
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1
【分析】任何一个非0数的0次幂都是1
10．【答案】8
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】 9-1=8．
故答案为：8．
【分析】先根据乘方的意义和零指数幂的意义计算，再算减法即可．
11．【答案】-80；-1
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
=-80
( )( )
=2-3
=-1
故答案为：-80；-1
【分析】先化简二次根式，零指数幂、有理数的乘方及负整数指数幂，然后进行有理数的混合运算，注意先做乘除后做加减；用平方差公式进行计算.
12．【答案】﹣
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：
∴数轴上点A表示的数据为-
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求得OB的长，根据同圆的半径相等即可得到OA的长，从而得到结果.
13．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】原式=2+ -1+2=
故答案为：
【分析】先算平方，再去绝对值，然后算立方根，从左往右依次相加即可.
14．【答案】
【知识点】计算器在数的开方中的应用；实数的运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：-2
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
15．【答案】解： 2.5< 0.5<0<4.
【知识点】有理数大小比较；无理数在数轴上表示
【解析】【分析】根据数轴的三要素规范的画出数轴，然后根据原点右边的点所表示的数是正数，原点表示数字0，原点左边的点表示的是负数，将各个数在数轴上表示出来，最后根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可把各个数按由大到小的顺序“<”连接起来.
16．【答案】解：（1）原式=4+﹣1﹣3×=4+﹣1﹣3=；
（2）原式=÷= =．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用二次根式性质及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【分析】此题考查了实数的运算，涉及知识点有分式运算，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数等，解题时，注意符号的变化。
17．【答案】解：由题意可得，a＜b＜0，a+b＜0，a﹣b＜0，
故|a|﹣|a+b|+|a﹣b|＝﹣a+（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a+a+b﹣a+b＝﹣a+2b．
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴可得a＜b＜0，a+b＜0，a﹣b＜0，再根据绝对值的性质化简后运算即可．
18．【答案】解：假设是有理数，
则存在两个互质的正整数m，n，使得=，
于是有2m3=n3，
∵n3是2的倍数，
∴n是2的倍数，
设n=2t（t是正整数），则n3=8t3，即8t3=2m3，
∴4t3=m3，
∴m也是2的倍数，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾，
∴假设错误，
∴不是有理数．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据题意利用反证法假设是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.6 实数
一、单选题
1．（2018·广州）四个数0，1， ， 中，无理数的是（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】A
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A. 属于无限不循环小数，是无理数，A符合题意；
B.1是整数，属于有理数，B不符合题意；
C. 是分数，属于有理数，C不符合题意；
D.0是整数，属于有理数，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】无理数：无限不循环小数，由此即可得出答案.
2．（2016七上·嘉兴期中）数轴上的点与下列各数中的什么数一一对应（ ）
A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：每一个数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数与数轴上的点是一一对应的．
故选D．
【分析】根据实数与数轴的对应关系解答．
3．（2017七上·杭州期中）下列说法正确的个数有（ ）
①近似数2千万和近似数2000万的精确度一样. ②
③平方根等于本身的数有0. ④实数与数轴上的点一一对应.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示；近似数及有效数字；真命题与假命题
【解析】【解答】①∵近似数2千万精确到千万位，近似数2000万精确到万位，∴精确度不一样，①不符合题意；
②∵∴②错误，②不符合题意；
③∵平方根等于本身的数只有0，∴③正确，③符合题意；
④∵实数与数轴上的点是一一对应的，∴④正确，④符合题意；
故答案为：B.
【分析】①根据近似数的精确度来分析；②根据二次根式的性质来分析；③根据平方根的定义来分析；④根据实数与数轴的关系来分析.
4．（2020七下·桦南期中）下列说法错误的有（ ）个
①互为相反数的数的立方根也互为相反数；
② 不是整式；
③算术平方根等于它本身的数只有零；
④实数和数轴上的点一一对应；
⑤任何两数相加，和不小于任何一个加数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①互为相反数的数的立方根也互为相反数，则本题说法符合题意；
② 是整式，则本题说法不符合题意；
③算术平方根等于它本身的数有0和1，则本题说法不符合题意；
④实数和数轴上的点一一对应，则本题说法符合题意；
⑤当两个负数相加时，和小于任何一个加数，则本题说法不符合题意.
则本题中说法错误的有②③和⑤，
故答案为：C．
【分析】①根据立方根的性质得出答案；②根据整式的定义得出答案；③根据算术平方根的性质进行求解；④根据数轴与实数之间的关系得出答案；⑤根据有理数的加法计算法则可以得出答案．
5．（2019七上·江都月考）已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A．0 B．4b C．-2a-2c D．2a-4b
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】由数轴可知b＜a＜0＜c。且-b＞-a＞c。所以a+c＞0，a-2b＞0，c-2b＞0.
则原式=a+c-(a-2b)-(c-2b)=a+c-a+2b-c+2b=4b
【分析】本题难度较低，主要考查学生对实数与数轴知识点的掌握。分析abc三个数字之间大小关系为解题关键。
6．下列说法中，正确的是（ ）
A． 是正整数 B． 是素数
C． 是分数 D． 是有理数
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A.0既不是正数，也不是负数，不符合题意.
B.1不是素数，最小的素数是2，不符合题意.
C. 是无理数，不是分数，不符合题意.
D. 是有理数， 符合题意.
故答案为：D
【分析】根据实数的分类，逐一判断可解答。
7．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A．a+1 B． C．a2+1 D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：一个自然数的算术平方根是a，这个数是a2，
则该自然数的下一个自然数的算术平方根是 ，
故选：D．
【分析】根据算术平方根的意义，可得答案．
8．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【分析】先利用勾股定理求出a=3
，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．
【解答】∵边长为3的正方形的对角线长为a，
∴a=．
①a=3是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，说法错误；
④a是18的算术平方根，说法正确．
所以说法正确的有①②④．
故选C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性．
二、填空题
9．20﹣ ＝ ．
【答案】-1
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1
【分析】任何一个非0数的0次幂都是1
10．（2020·泉港模拟）计算： ．
【答案】8
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】 9-1=8．
故答案为：8．
【分析】先根据乘方的意义和零指数幂的意义计算，再算减法即可．
11．（2020八下·襄阳开学考） = ;( )( )= .
【答案】-80；-1
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
=-80
( )( )
=2-3
=-1
故答案为：-80；-1
【分析】先化简二次根式，零指数幂、有理数的乘方及负整数指数幂，然后进行有理数的混合运算，注意先做乘除后做加减；用平方差公式进行计算.
12．（2020八上·沈阳期末）如图，数轴上点A表示的数据为 ．
【答案】﹣
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：
∴数轴上点A表示的数据为-
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求得OB的长，根据同圆的半径相等即可得到OA的长，从而得到结果.
13．（2019·晋宁模拟）化简 的结果为 .
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】原式=2+ -1+2=
故答案为：
【分析】先算平方，再去绝对值，然后算立方根，从左往右依次相加即可.
14．（2019七下·崇明期末）计算： ．
【答案】
【知识点】计算器在数的开方中的应用；实数的运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：-2
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
三、解答题
15．（2019七上·秦安月考）把下列各数表示在数轴上，并用“ ”将这些数连接起来.
4，0， 0.5， 2.5.
【答案】解： 2.5< 0.5<0<4.
【知识点】有理数大小比较；无理数在数轴上表示
【解析】【分析】根据数轴的三要素规范的画出数轴，然后根据原点右边的点所表示的数是正数，原点表示数字0，原点左边的点表示的是负数，将各个数在数轴上表示出来，最后根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可把各个数按由大到小的顺序“<”连接起来.
16．（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣tan30°；
（2）化简：÷（﹣）．
【答案】解：（1）原式=4+﹣1﹣3×=4+﹣1﹣3=；
（2）原式=÷= =．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用二次根式性质及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【分析】此题考查了实数的运算，涉及知识点有分式运算，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数等，解题时，注意符号的变化。
17．（2019七上·福州期中）已知a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣|a+b|+|a﹣b|．
【答案】解：由题意可得，a＜b＜0，a+b＜0，a﹣b＜0，
故|a|﹣|a+b|+|a﹣b|＝﹣a+（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a+a+b﹣a+b＝﹣a+2b．
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴可得a＜b＜0，a+b＜0，a﹣b＜0，再根据绝对值的性质化简后运算即可．
18．阅读下面材料：随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认不是有理数，并给出了证明．假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得=，于是p=q，两边平方得p2=2q2．因为2q2是偶数，所以p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即q2=2s2，所以q也是偶数，这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾，这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数．
请你有类似的方法，证明不是有理数．
【答案】解：假设是有理数，
则存在两个互质的正整数m，n，使得=，
于是有2m3=n3，
∵n3是2的倍数，
∴n是2的倍数，
设n=2t（t是正整数），则n3=8t3，即8t3=2m3，
∴4t3=m3，
∴m也是2的倍数，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾，
∴假设错误，
∴不是有理数．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据题意利用反证法假设是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
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