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第2章
常用逻辑用语
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列语句能作为命题是（
）
A．3比5大
B．太阳和月亮
C．高二年级的学生
D．
2．若，则为（
）
A．
B．
C．
D．
3．是的（
）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知下列命题：①若，则；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；⑤若，则，其中正确命题的个数是（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
5．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知一元二次方程有两个不同的实数根，则“且”的_______是“且”．（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．若是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，是的充分条件，则（
）
A．是的必要不充分条件
B．是的充要条件
C．是的充要条件
D．是的充要条件
10．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（
）
A．
B．所有的正方形都是矩形
C．
D．至少有一个实数，使
11．使，成立的充分不必要条件可以是（
）
A．
B．
C．
D．
12．下面说法正确的是（
）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．设，则“”是“且”的充分不必要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知命题，则该命题是_____________（填“真命题”或“假命题”）.
14．有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_____．
15．已知：或，：，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_____．
16．下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有______，p是q的必要条件的有______.（填序号）
①，；
②p：四边形是矩形，q：四边形是正方形；
③p：方程有两个不等的实数解，；
④，.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
（1）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；
（2）菱形都是正方形；
（3）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．
18．（12分）已知
，：关于的方程有实数根.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围.
19．（12分）已知命题p：关于x的方程的解集至多有两个子集，命题，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
20．（12分）已知P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
21．（12分）已知集合，
（1）若命题是真命题，求m的取值范围；
（2）命题是真命题，求m的取值范围.
22．（12分）已知“，使等式”是真命题.
（1）求实数的取值范围：
（2）设关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
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第2章
常用逻辑用语
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列语句能作为命题的是（
）
A．3比5大
B．太阳和月亮
C．高二年级的学生
D．
【答案】A
【分析】
根据命题定义逐个判断.
【详解】
根据命题定义：能判断真假的陈述句，A正确，B、C不是陈述句，D不能判断真假.
故选：A.
2．若，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由特称命题的否定为全称命题可得答案.
【详解】
，为特称命题，由特称命题的否定为全称命题.
则为:
故选：C
3．是的（
）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义即可解出．
【详解】
因为，但是，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
4．已知下列命题：①若，则；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；⑤若，则，其中正确命题的个数是（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】C
【分析】
举反例判断①，由圆的弦的性质判断②，根据矩形、菱形的判定判断③，根据圆的性质判断④，根据根式的性质判断⑤．
【详解】
①若，满足，但，故①错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，正确；
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误，
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，正确；
⑤若则，故错误．
故选：C．
5．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
直接利用定义法进行判断即可.
【详解】
荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．
故选：B
6．下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
按照充分条件、必要条件的概念结合不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
无法推出，故A错误；
“”能推出“”，故选项B是“”的必要条件，
但“”不能推出“”，不是充分条件，满足题意，故B正确；
“”不能推出“”即，故选项C不是“”的必要条件，故C错误；
无法推出，如时，故D错误；
故选：B.
7．已知一元二次方程有两个不同的实数根，则“且”的_______是“且”．（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分、必要条件的定义，结合题干条件，分析即可得答案.
【详解】
将所求转化为“且”是“且”的____________条件；
当且时，可得且成立，
当且时，若取，满足条件，但不满足且，故不成立，
所以“且”是“且”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
易错点为：需将所求进行等价转化，在利用充分、必要条件定义进行判断，属基础题.
8．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数的性质得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为，，所以，解得
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．若是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，是的充分条件，则（
）
A．是的必要不充分条件
B．是的充要条件
C．是的充要条件
D．是的充要条件
【答案】ABD
【分析】
根据充分性和必要性的定义，结合充分不必要性条件、充要条件的定义逐一判断即可.
【详解】
由题知是的必要条件，是的充分条件，是的必要条件，
所以，且，则，所以B，D正确.因为，且是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，所以A正确，C不正确.
故选：ABD
10．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（
）
A．
B．所有的正方形都是矩形
C．
D．至少有一个实数，使
【答案】AC
【分析】
先判断命题的否命题是否为全称命题，再判断是否为真命题.
【详解】
：该命题的否定为：，是全称命题，
因为，所以该命题的否定为真命题，故满足；
：该命题的否定为：存在一个正方形不是矩形，是特称命题，故不满足；
：该命题的否定为：，是全称命题，
因为，所以该命题的否定为真命题，故满足；
：该命题的否定为：是全称命题，
因为当时，，所以该命题的否定为假命题，故不满足.
故选：
11．使，成立的充分不必要条件可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】
根据集合的包含关系一一判断即可；
【详解】
解：因为的解集是，
A.因为，所以是成立的一个必要不充分条件；
B.因为，所以是成立的一个充分不必要条件；
C.因为的解集是，所以是成立的一个充要条件；
D.因为，所以是成立的一个充分不必要条件；
故选：BD.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，
则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，
对的集合与对应集合互不包含．
12．下面说法正确的是（
）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．设，则“”是“且”的充分不必要条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】
对四个选项一一验证：
对于ACD，利用充要条件来判断；
对于B，用命题的否定来判断.
【详解】
对于A：解得：或，所以不能推出，而能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
对于B：对任意的否定用存在，故命题“任意，则”的否定是“存在，则”成立，故B正确；
对于C：，可取x=3，y=0，不符合且，而且可以推出，故C错误；
对于D：若，但b=0时，有，而可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
【点睛】
结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：
(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
(2)若是的充分不必要条件，
则对应集合是对应集合的真子集；
(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知命题，则该命题是_____________（填“真命题”或“假命题”）.
【答案】假命题
【分析】
取，即可得出答案.
【详解】
当时，，所以命题为假命题.
故答案为：假命题.
14．有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_____．
【答案】（3）
【分析】
由所有男生都爱踢足球是一个全称命题，根据全称命题的否定求解即可.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，即要否定结论又要改写量词
所有男生都爱踢足球，是一个全称命题，
所以“所有男生都爱踢足球”的否定是：至少有一个男生不爱踢足球；
故答案为：（3）．
15．已知：或，：，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是__．
【答案】
【分析】
分别求出及所对应的集合，进而根据充分不必要条件的定义可列出不等关系，从而求出的取值范围即可．
【详解】
∵：或，∴：，
又∵：，，且是的必要不充分条件，
令，，
∴集合?，
∴，且等号不能同时成立，解得.
16．下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有______，p是q的必要条件的有______.（填序号）
①，；
②：四边形是矩形，q：四边形是正方形；
③：方程有两个不等的实数解，；
④，.
【答案】③
①②③④
【分析】
直接利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】
①因为自然数是实数，实数不一定是自然数，所以p推不出q的，q能推出p，故
p是q
必要不充分条件；
②因为矩形不一定是正方形，正方形一定是矩形，所以p推不出q的，q能推出p，故
p是q
必要不充分条件；
③若方程有两个不等的实数解，则，反之也成立，故p是q
充分必要条件；
④若，则或，
推不出，若，则且，所以，故故
p是q
必要不充分条件；
故答案为：③；①②③④.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
（1）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；
（2）菱形都是正方形；
（3）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．
【答案】答案见解析
【分析】
根据全称命题和特称命题的定义，结合全称命题的否定是特称命题、特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
【详解】
解：（1）该命题是特称命题，
该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0.因为
所以该命题的否定是假命题．
（2）该命题是全称命题，
该命题的否定是：菱形不都是正方形.因为只有当菱形的邻边互相垂直时，才能成为正方形，所以该命题的否定是真命题．
（3）该命题是特称命题，
该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数.因为方程x2﹣8x+12＝0的根为2或6，所以该命题的否定是真命题．
18．（12分）已知
，：关于的方程有实数根.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案；
（2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案.
【详解】
（1）∵关于的方程有实数根，∴，即，
∴若q为真命题，实数a的取值范围为：.
（2）∵为真命题，为假命题，
∴，解得.
19．（12分）已知命题p：关于x的方程的解集至多有两个子集，命题，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】
【分析】
先求出命题为真命题时实数的取值范围，由是的必要不充分条件，得出命题中的集合是命题中的集合的真子集，于是得出不等式求解，可得出实数的取值范围．
【详解】
当命题是真命题时，则关于的方程的解集至多有两个子集，
即关于的方程的解集至多只有一个实数解，
，化简得，解得，
或，且或，
由于是的必要不充分条件，
则或或，
所以，解得，
当时，：或，显然成立，
因此，实数的取值范围是.
20．（12分）已知P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
【答案】(1)
;(2)不存在
【分析】
(1)由题意知再列出不等式，即可求得m的取值范围；
(2)
易知，列出等式，求即可.
【详解】
(1)是的必要条件,且集合为非空集合，
，得,
所以m的取值范围.
(2)
若是的充要条件，则,
所以
，这样的不存在.
【点睛】
本题考查的是元素与集合的关系，集合与集合的关系以及充分必要条件，掌握不等式的计算和必要条件及充要条件的判断方法是解题的关键,是基础题.
21．（12分）已知集合，
（1）若命题是真命题，求m的取值范围；
（2）命题是真命题，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；
（2）由命题是真命题得，故，进而得，再根据集合关系求解即可得答案.
【详解】
解：（1）因为命题是真命题，所以，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，m的取值范围为.
（2）因为是真命题，所以，
所以，即，所以，
所以只需满足即可，即.
故m的取值范围为.
【点睛】
本题考查根据命题真假求参数取值范围，解题的关键在于将命题关系转化为集合关系，考查化归转化思想，是中档题.
22．（12分）已知“，使等式”是真命题.
（1）求实数的取值范围：
（2）设关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用参数分离法将用表示，结合二次函数的性质求出的范围即可求解；
（2）先求出集合，有已知条件可得是的子集，结合数轴即可求解
【详解】
（1）若“，使等式”是真命题，
则，
因为，所以，
所以.
（2）由不等式可得，
所以，
若“”是“”的充分条件，
则是的子集，所以解得，
经检验、符合题意，
所以的取值范围是.
【点睛】
结论点睛：从集合的观点分析充分、必要条件，根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，
则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，
对的集合与对应集合互不包含．
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