初中数学北师大版八年级上学期 第一章 单元测试卷
一、单选题
1．（2019八上·永登期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
2．（2020八下·哈尔滨月考）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得
圆的半径
∴
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出圆的半径，即可求出a的值．
3．（2020八下·和平月考）在下列由线段 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，故不是直角三角形；
B、 ，故是直角三角形；
C、 ，故是直角三角形；
D、 ，故是直角三角形；
故答案为： ．
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．（2019八上·辽阳月考）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】在Rt△ABC中，
∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝ ，
故答案为：B.
【分析】由题意用勾股定理计算即可求解.
5．（2021八下·兴业期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（ ）
A． B． -2 C． D．2-
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（-2，3）
∴
∴
∵点A在x轴负半轴，
∴点A坐标为
∴点A横坐标为
故答案为：A
【分析】本题考查勾股定理及点的坐标，先根据点P的坐标利用勾股定理计算出OP的长度， 以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A， 则OA=OP，然后表示出A点坐标即可。
6．以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）.
A．2，3，4 B．4，6，5 C．14，13，12 D．7，25，24
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2=c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．
【解答】∵72+242=49+576=625=252．
∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．
故选D．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握．此题难度不大，属于基础题．
7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AD=3，cosB= ，则AC等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】首先根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，然后在直角△ACD中根据cos∠CAD=，由余弦函数的定义即可求出AC．
【解答】∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠CAD=∠B，
∴cos∠CAD=cosB=，
在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=3，
∴cos∠CAD==，
∴AC=5．
故选B．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系
8．（2021八上·新洲期末）如图，在 中， ， ， 平分 交 于 ， 于 ， 交 的延长线于 ，连接 ，给出四个结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，
∴CE＝EQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA＝∠EQB＝90°，
由勾股定理得：AC＝AQ，
∴∠QEB＝45°＝∠CBA，
∴EQ＝BQ，
∴AB＝AQ+BQ＝AC+CE，
∵BE＞EQ=CE，
∴③错误；
作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD＝ ∠CAB＝22.5°＝∠BAD，
∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠CAD，
∵AC=BC，∠ACN＝∠BCD，
∴△ACN≌△BCD（ASA），
∴CN＝CD，AN＝BD，
∵∠ACN+∠NCE＝90°，
∴∠NCB+∠BCD＝90°，
∴∠CND＝∠CDA＝45°，
∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN，
∴AN＝CN，
∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，
∴CN＝NE，∠DCB=90°－67.5°=22.5°，
∴BD＝AN＝EN＝ AE，∠ADC=180°－∠DAC－∠ACD=180°－22.5°－112.5°=45°，
∴①正确，②正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°，∠DBA＝67.5°，
∴∠MCD＝∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM＝DH，
在△DCM和△DBH中
，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH＝CM，
由勾股定理得：AM＝AH，
∴ ＝ ＝2，
∴AC+AB＝2AM，
即AC+AB＝2AC+2CM，∴AB﹣AC＝2CM，
∵AC＝CB，
∴AB﹣CB＝2CM，∴④正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE＝EQ，DM＝DH，根据勾股定理求出AC＝AQ，AM＝AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ＝QE，进而可判断③；根据三角形外角性质求出∠CND＝45°，证△ACN≌△BCD，推出CD＝CN，进而可判断①②；证△DCM≌△DBH，得到CM＝BH，进一步变形即可判断④，于是可得答案.
二、填空题
9．（2018八上·桥东期中）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】根据题意得，等腰△ABC中，OA=OB=3，由等腰三角形的性质可得OC⊥AB，根据勾股定理可得OC= ，又因OM=OC= ，于是可确定点M对应的数为 ．
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求得OC=，故OM=OC=.
10．（2019·梅列模拟）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．
【答案】100
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
11．（2020八上·辽阳期末）已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵52+122=132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC= ×5×12= ×13h，解得：h= .
故答案为 .
【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=直角边×直角边÷2，就可以求出最长边的高.
12．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是 ．
【答案】 cm2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如下图，AB＝5cm，∠AOB＝60°，∵在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AB＝5cm，∴AO＝AB＝5cm，AC＝10cm，∴ cm，∴这个矩形的面积为： cm2．
【分析】矩形的两条对角线相等且平分．
13．（2020八上·龙岗期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm．
【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据题意可知，A'D=5，BD=12-3+AE=12
∴将容器沿侧面展开，作点A关于EF的对称点A'
连接A'B，则A'B为最短距离
∴A'B==13
【分析】根据题意，将容器侧面展开，做出对称点，根据两点之间线段最短，结合勾股定理求出答案即可。
14．等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则BC=
【答案】2或4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积=AB CD=×5×CD=10，
解得：CD=4，
∴AD=；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD=AB﹣AD=2，
∴BC=
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD=AB+AD=8，
∴BD=
综上所述：BC的长为2或4；
故答案为：2或4．
【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．
15．（2020八下·长沙期末）如图，正方形 边长为 ，点 在 边上， 交 于点 ， ，则 的长度是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】∵正方形 边长为 ，
∴AC=2 ，
∵ ，
∴AE=AD=2，
∴CE=AC=AE= ，
∵AD∥PC，
∴ ，
又∵ ，且 ，
∴ ，
∴CP=CE= ，
∴BP=BC- CP=2-( )= ．
故答案为： ．
【分析】先根据勾股定理求得AC的长，继而求得CE的长，证得CP=CE，即可求解．
16．（2020九上·南宁期末）在矩形 中， 点 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 与点 ，交射线 于点 ，连接 ，则 的最小值是
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：点 的运动轨迹为以 为直径的 为圆心的圆弧.
连结GH，CH，CG≥CH-GH，
即CG=CH-GH时，也就是当 三点共线时， 值最小值.
最小值CG=CH-GH
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°
∴CH=
故答案为： .
【分析】根据题意可知点G在以AB为直径的圆上，设圆心为H，当H、G、C在一条直线上时，CG的值最小，利用勾股定理求出CH的长，CG就能求出了.
三、解答题
17．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测a卷）已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．
【答案】解：连接OC，
∵AD=4，BD=9，
∴AB=4+9=13，OC= ，
∴OD=BD-OB=9- = ，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】连接OC，根据题意得出直径AB=13，半径OC=6.5，根据线段的和差得出OD的长，然后根据勾股定理计算出CD的长，BC的长。
18．（2017·启东模拟）如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠B=45°，∠C=30°，AC=8米．请你求出BC的长．（结果可保留根号）
【答案】解：如图：过A作AD⊥BC于D．
在△ABD中，∵∠B=45°，
∴AD=BD．在△ACD中，
∵∠C=30°，AC=8，
∴AD= AC=4=BD，
∴CD= =4 ，
∴BC=BD+CD=4+4 ，
答：BC的长为：（4+4 ）m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过A作AD⊥BC于D利用等腰直角三角形得出AD=BD，再利用含30角得直角三角形边之间的关系得出ADS的长度，进而利用勾股定理得出CD，从而得出答案。
19．（2017八上·顺德期末）小华和小红都从同一点O出发，当小华向正北走了80米到A点，小红向正东走到B点时，两人相距为170米，则小红向正东方向走了多少米？
【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得
即
答：小红向正东方向走了150米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中直接用勾股定理计算出OB即可。
20．（2020八下·沈阳月考）如图，等边△ABC的边长为10，求它的面积.
【答案】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝10，
∴BD＝CD＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AD＝ ，
∴△ABC的面积为 .
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出面积即可.
21．（2018八上·南山期中）如图正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到 处，求出蚂蚁需要爬行的最短路径的长.
【答案】解：当沿着平面ABB'A'、平面A'B'C'D'爬行时，
cm
当沿着平面 、平面 爬行时，
cm
因为 ＜ ，
所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 cm.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据两点之间直线最短，可利用勾股定理求出最短路径。
22．（2015八下·鄂城期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2 ，AC=BC= ，求AD的长．
【答案】解：如图，设AD=x．依题意得
+ =BD+CD=BC．
即 + = ，
解得 x=
即AD=
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】如图，设AD=x，则在直角△ABD和直角△ACD中，利用勾股定理分别求得BD、CD的长度，则易列出关于x的方程，通过解方程求得x的值即可．
23．（2018九上·阜宁期末）大海中某小岛周围10 范围内有暗礁，一海轮在该岛的南偏西 方向的某处，由西向东行驶了 后到达该岛的南偏西 方向的另一处，如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？（≈1.732）．
【答案】解：设岛为A，船初位置为B，行20km后为C，位于岛正南方时为D，根据题意画出图形，∵∠BAC=∠ABC=30 ，
∴AC=CB=20km
又∵∠CAD=30°
∴DC=10
根据勾股定理得出：OC=10101.732=17.32
所以船与岛最短距离为10km，不会触礁.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，船在B处时位于A的南偏西 60 方向，在C处时位于该岛的南偏西 30 方向，故∠BAC=∠ABC=30 ，从而根据等边对等角得出AC=CB=20km，然后利用含30角的直角三角形的边之间的关系得出DC的长，进而利用勾股定理得出AD的长，然后再和10比较大小即可得出结论。
24．（2020八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？
【答案】解：设CD=xcm，
则AD=（8-x)cm
∴∠C=90°， BC=6 cm， AC=8cm
∴AB=10cm
根据折叠CD= =x
根据勾股定理
x=3
【知识点】勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】设CD=xcm，则AD=（8-x）cm，根据折叠的性质得CD=C D=xcm，由勾股定理得列出关于x的方程，解之求出x值，再由三角形面积公式即可求得答案.
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第一章 单元测试卷
一、单选题
1．（2019八上·永登期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
2．（2020八下·哈尔滨月考）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A． B． C． D．
3．（2020八下·和平月考）在下列由线段 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019八上·辽阳月考）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（2021八下·兴业期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（ ）
A． B． -2 C． D．2-
6．以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）.
A．2，3，4 B．4，6，5 C．14，13，12 D．7，25，24
7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AD=3，cosB= ，则AC等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2021八上·新洲期末）如图，在 中， ， ， 平分 交 于 ， 于 ， 交 的延长线于 ，连接 ，给出四个结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2018八上·桥东期中）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 .
10．（2019·梅列模拟）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．
11．（2020八上·辽阳期末）已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 .
12．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.1矩形的性质同步练习）如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是 ．
13．（2020八上·龙岗期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm．
14．等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则BC=
15．（2020八下·长沙期末）如图，正方形 边长为 ，点 在 边上， 交 于点 ， ，则 的长度是 ．
16．（2020九上·南宁期末）在矩形 中， 点 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 与点 ，交射线 于点 ，连接 ，则 的最小值是
三、解答题
17．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测a卷）已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．
18．（2017·启东模拟）如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠B=45°，∠C=30°，AC=8米．请你求出BC的长．（结果可保留根号）
19．（2017八上·顺德期末）小华和小红都从同一点O出发，当小华向正北走了80米到A点，小红向正东走到B点时，两人相距为170米，则小红向正东方向走了多少米？
20．（2020八下·沈阳月考）如图，等边△ABC的边长为10，求它的面积.
21．（2018八上·南山期中）如图正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到 处，求出蚂蚁需要爬行的最短路径的长.
22．（2015八下·鄂城期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2 ，AC=BC= ，求AD的长．
23．（2018九上·阜宁期末）大海中某小岛周围10 范围内有暗礁，一海轮在该岛的南偏西 方向的某处，由西向东行驶了 后到达该岛的南偏西 方向的另一处，如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？（≈1.732）．
24．（2020八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是多少平方厘米？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
2．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得
圆的半径
∴
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出圆的半径，即可求出a的值．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，故不是直角三角形；
B、 ，故是直角三角形；
C、 ，故是直角三角形；
D、 ，故是直角三角形；
故答案为： ．
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】在Rt△ABC中，
∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝ ，
故答案为：B.
【分析】由题意用勾股定理计算即可求解.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（-2，3）
∴
∴
∵点A在x轴负半轴，
∴点A坐标为
∴点A横坐标为
故答案为：A
【分析】本题考查勾股定理及点的坐标，先根据点P的坐标利用勾股定理计算出OP的长度， 以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A， 则OA=OP，然后表示出A点坐标即可。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2=c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．
【解答】∵72+242=49+576=625=252．
∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．
故选D．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握．此题难度不大，属于基础题．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】首先根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，然后在直角△ACD中根据cos∠CAD=，由余弦函数的定义即可求出AC．
【解答】∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠CAD=∠B，
∴cos∠CAD=cosB=，
在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=3，
∴cos∠CAD==，
∴AC=5．
故选B．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，
∴CE＝EQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA＝∠EQB＝90°，
由勾股定理得：AC＝AQ，
∴∠QEB＝45°＝∠CBA，
∴EQ＝BQ，
∴AB＝AQ+BQ＝AC+CE，
∵BE＞EQ=CE，
∴③错误；
作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD＝ ∠CAB＝22.5°＝∠BAD，
∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠CAD，
∵AC=BC，∠ACN＝∠BCD，
∴△ACN≌△BCD（ASA），
∴CN＝CD，AN＝BD，
∵∠ACN+∠NCE＝90°，
∴∠NCB+∠BCD＝90°，
∴∠CND＝∠CDA＝45°，
∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN，
∴AN＝CN，
∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，
∴CN＝NE，∠DCB=90°－67.5°=22.5°，
∴BD＝AN＝EN＝ AE，∠ADC=180°－∠DAC－∠ACD=180°－22.5°－112.5°=45°，
∴①正确，②正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°，∠DBA＝67.5°，
∴∠MCD＝∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM＝DH，
在△DCM和△DBH中
，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH＝CM，
由勾股定理得：AM＝AH，
∴ ＝ ＝2，
∴AC+AB＝2AM，
即AC+AB＝2AC+2CM，∴AB﹣AC＝2CM，
∵AC＝CB，
∴AB﹣CB＝2CM，∴④正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE＝EQ，DM＝DH，根据勾股定理求出AC＝AQ，AM＝AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ＝QE，进而可判断③；根据三角形外角性质求出∠CND＝45°，证△ACN≌△BCD，推出CD＝CN，进而可判断①②；证△DCM≌△DBH，得到CM＝BH，进一步变形即可判断④，于是可得答案.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】根据题意得，等腰△ABC中，OA=OB=3，由等腰三角形的性质可得OC⊥AB，根据勾股定理可得OC= ，又因OM=OC= ，于是可确定点M对应的数为 ．
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求得OC=，故OM=OC=.
10．【答案】100
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵52+122=132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC= ×5×12= ×13h，解得：h= .
故答案为 .
【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=直角边×直角边÷2，就可以求出最长边的高.
12．【答案】 cm2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如下图，AB＝5cm，∠AOB＝60°，∵在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AB＝5cm，∴AO＝AB＝5cm，AC＝10cm，∴ cm，∴这个矩形的面积为： cm2．
【分析】矩形的两条对角线相等且平分．
13．【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据题意可知，A'D=5，BD=12-3+AE=12
∴将容器沿侧面展开，作点A关于EF的对称点A'
连接A'B，则A'B为最短距离
∴A'B==13
【分析】根据题意，将容器侧面展开，做出对称点，根据两点之间线段最短，结合勾股定理求出答案即可。
14．【答案】2或4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积=AB CD=×5×CD=10，
解得：CD=4，
∴AD=；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD=AB﹣AD=2，
∴BC=
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD=AB+AD=8，
∴BD=
综上所述：BC的长为2或4；
故答案为：2或4．
【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】∵正方形 边长为 ，
∴AC=2 ，
∵ ，
∴AE=AD=2，
∴CE=AC=AE= ，
∵AD∥PC，
∴ ，
又∵ ，且 ，
∴ ，
∴CP=CE= ，
∴BP=BC- CP=2-( )= ．
故答案为： ．
【分析】先根据勾股定理求得AC的长，继而求得CE的长，证得CP=CE，即可求解．
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：点 的运动轨迹为以 为直径的 为圆心的圆弧.
连结GH，CH，CG≥CH-GH，
即CG=CH-GH时，也就是当 三点共线时， 值最小值.
最小值CG=CH-GH
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°
∴CH=
故答案为： .
【分析】根据题意可知点G在以AB为直径的圆上，设圆心为H，当H、G、C在一条直线上时，CG的值最小，利用勾股定理求出CH的长，CG就能求出了.
17．【答案】解：连接OC，
∵AD=4，BD=9，
∴AB=4+9=13，OC= ，
∴OD=BD-OB=9- = ，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】连接OC，根据题意得出直径AB=13，半径OC=6.5，根据线段的和差得出OD的长，然后根据勾股定理计算出CD的长，BC的长。
18．【答案】解：如图：过A作AD⊥BC于D．
在△ABD中，∵∠B=45°，
∴AD=BD．在△ACD中，
∵∠C=30°，AC=8，
∴AD= AC=4=BD，
∴CD= =4 ，
∴BC=BD+CD=4+4 ，
答：BC的长为：（4+4 ）m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】过A作AD⊥BC于D利用等腰直角三角形得出AD=BD，再利用含30角得直角三角形边之间的关系得出ADS的长度，进而利用勾股定理得出CD，从而得出答案。
19．【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得
即
答：小红向正东方向走了150米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中直接用勾股定理计算出OB即可。
20．【答案】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝10，
∴BD＝CD＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AD＝ ，
∴△ABC的面积为 .
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出面积即可.
21．【答案】解：当沿着平面ABB'A'、平面A'B'C'D'爬行时，
cm
当沿着平面 、平面 爬行时，
cm
因为 ＜ ，
所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 cm.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据两点之间直线最短，可利用勾股定理求出最短路径。
22．【答案】解：如图，设AD=x．依题意得
+ =BD+CD=BC．
即 + = ，
解得 x=
即AD=
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】如图，设AD=x，则在直角△ABD和直角△ACD中，利用勾股定理分别求得BD、CD的长度，则易列出关于x的方程，通过解方程求得x的值即可．
23．【答案】解：设岛为A，船初位置为B，行20km后为C，位于岛正南方时为D，根据题意画出图形，∵∠BAC=∠ABC=30 ，
∴AC=CB=20km
又∵∠CAD=30°
∴DC=10
根据勾股定理得出：OC=10101.732=17.32
所以船与岛最短距离为10km，不会触礁.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，船在B处时位于A的南偏西 60 方向，在C处时位于该岛的南偏西 30 方向，故∠BAC=∠ABC=30 ，从而根据等边对等角得出AC=CB=20km，然后利用含30角的直角三角形的边之间的关系得出DC的长，进而利用勾股定理得出AD的长，然后再和10比较大小即可得出结论。
24．【答案】解：设CD=xcm，
则AD=（8-x)cm
∴∠C=90°， BC=6 cm， AC=8cm
∴AB=10cm
根据折叠CD= =x
根据勾股定理
x=3
【知识点】勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】设CD=xcm，则AD=（8-x）cm，根据折叠的性质得CD=C D=xcm，由勾股定理得列出关于x的方程，解之求出x值，再由三角形面积公式即可求得答案.
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