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初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.7 二次根式
一、单选题
1．（2020八下·许昌期末）与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·潜江期末）估计5 ﹣ 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
3．下列各式中，是二次根式的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ （x≤3）；⑥ （x＞0）；⑦ ； ⑧ ；⑨ ；⑩ ．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．（2019八下·余杭期末）二次根式 中，字母a的取值范围是（ ）
A．a> B．a< C．a≥ D．a≤
5．（2019八下·东莞期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八下·龙江月考）实数a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简 - 的结果是 （ ）
A．0 B．- 2 a C．2（b a） D．- 2b
7．（2018八上·河口期中）已知 是整数，则满足条件的最小的正整数n的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
8．（2019八上·石家庄期中）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·青羊模拟）使代数式 有意义的x的取值范围是 .
10．（2020八上·金华月考）最简二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围
11．（2019八下·贵池期中）如果代数式 有意义，则 的取值范围为 .
12．（2019·南京模拟）计算： .
13．（2020·昆明模拟）函数 中自变量的取值范围是 ．
14．（2020·哈尔滨模拟）计算： = 。
15．（2020七上·景德镇期中）化简 ＝
16．若x、y都为实数，且 ，则 = 。
三、解答题
17．（2019八下·丰城期末）已知m＝ ﹣ ，n＝ + ，求代数式m2+mn+n2的值．
18．若a，b为实数，且b=，求﹣．
19．先化简，再求值：，其中a= ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解： ＝ ，
A、 ＝2，与 不是同类二次根式；
B、 ＝ ，与 不是同类二次根式；
C、 ＝ ，与 是同类二次根式；
D、 ＝ ，与 不是同类二次根式；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：5 ＝5 2 ＝3 ＝ ，
∵7＜ ＜8，
∴5 的值应在7和8之间，
故答案为：D.
【分析】先合并后，再根据无理数的估计解答即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：二次根式有：①⑤⑦⑨⑩共有5个．
故选B．
【分析】根据二次根式的定义，形如 （其中a≥0）的式子就是二次根式．
4．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
1-3a≥0
解之： a≤
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，列不等式求解即可。
5．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故原题计算不符合题意；
B、 ，故原题计算符合题意；
C、 ，故原题计算不符合题意；
D、 ，故原题计算不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据是否是同类二次根式判断是否可以进行加减运算，若是同类二次根式需化成最简二次根式然后把系数相加减法即可.乘除法，注意系数和系数相乘除法，被开方数之间相乘除最终结果再相乘，并化为最简二次根式即可.
6．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】利用数轴判断 的正负性，利用二次根式化简的法则可得答案．
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ 2 是整数，∴最小正整数n的值是5．
故答案为：D．
【分析】由 2 即可求出结论.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴可得
∴
解得：
故答案为：B．
【分析】根据题意二次根式和绝对值的化简性质，列出一元一次不等式组，从而求解．
9．【答案】x>-3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有题意可知：
则x+3>0
x>-3
故答案为：x>-3
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0；分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
10．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可.
11．【答案】 ,
【知识点】分式有意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的取值范围为： 且 ；
故答案为： 且 .
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，以及零指数幂有意义的条件，即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=2
= ，
故答案为： .
【分析】先分别化简各二次根式，然后再按运算顺序进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
解得： ；
故答案为： ．
【分析】根据函数可得，再计算求解即可。
14．【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
【分析】先将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。
15．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【分析】本题的关键在于将被开方数转化成完全平方数，再利用二次根式的性质求解即可。
16．【答案】26
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，，，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x+y=25+1=26．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，比较不等式组从而得出方程求解得出x的值，进而算出y的值，再代入代数式计算出结果。
17．【答案】解：当m＝ ﹣ ，n＝ + 时，
m2+mn+n2
＝（m+n）2﹣mn
＝ ﹣（ ﹣ ）×（ + ）
＝ ﹣[ ﹣ ]
＝12﹣（3﹣2）
＝12﹣1
＝11．
【知识点】二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】原式利用完全平方公式变形后，将m与n的值代入计算即可求出值．
18．【答案】解：由题意得，a2﹣1≥0且1﹣a2≥0，所以a2≥1且a2≤1，所以a2=1，解得a=±1，又∵a+1≠0，∴a≠﹣1，所以，a=1，b==，所以，﹣=﹣=﹣=﹣3．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出a，再求出b，然后代入代数式进行计算即可得解．
19．【答案】【解答】原式= ，当a=时，原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】会计算二次根式的加减法，并能够代入求值．
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初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.7 二次根式
一、单选题
1．（2020八下·许昌期末）与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解： ＝ ，
A、 ＝2，与 不是同类二次根式；
B、 ＝ ，与 不是同类二次根式；
C、 ＝ ，与 是同类二次根式；
D、 ＝ ，与 不是同类二次根式；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可.
2．（2019八下·潜江期末）估计5 ﹣ 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：5 ＝5 2 ＝3 ＝ ，
∵7＜ ＜8，
∴5 的值应在7和8之间，
故答案为：D.
【分析】先合并后，再根据无理数的估计解答即可.
3．下列各式中，是二次根式的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ （x≤3）；⑥ （x＞0）；⑦ ； ⑧ ；⑨ ；⑩ ．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：二次根式有：①⑤⑦⑨⑩共有5个．
故选B．
【分析】根据二次根式的定义，形如 （其中a≥0）的式子就是二次根式．
4．（2019八下·余杭期末）二次根式 中，字母a的取值范围是（ ）
A．a> B．a< C．a≥ D．a≤
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
1-3a≥0
解之： a≤
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，列不等式求解即可。
5．（2019八下·东莞期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故原题计算不符合题意；
B、 ，故原题计算符合题意；
C、 ，故原题计算不符合题意；
D、 ，故原题计算不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据是否是同类二次根式判断是否可以进行加减运算，若是同类二次根式需化成最简二次根式然后把系数相加减法即可.乘除法，注意系数和系数相乘除法，被开方数之间相乘除最终结果再相乘，并化为最简二次根式即可.
6．（2020八下·龙江月考）实数a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简 - 的结果是 （ ）
A．0 B．- 2 a C．2（b a） D．- 2b
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】利用数轴判断 的正负性，利用二次根式化简的法则可得答案．
7．（2018八上·河口期中）已知 是整数，则满足条件的最小的正整数n的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ 2 是整数，∴最小正整数n的值是5．
故答案为：D．
【分析】由 2 即可求出结论.
8．（2019八上·石家庄期中）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴可得
∴
解得：
故答案为：B．
【分析】根据题意二次根式和绝对值的化简性质，列出一元一次不等式组，从而求解．
二、填空题
9．（2021·青羊模拟）使代数式 有意义的x的取值范围是 .
【答案】x>-3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有题意可知：
则x+3>0
x>-3
故答案为：x>-3
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0；分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
10．（2020八上·金华月考）最简二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可.
11．（2019八下·贵池期中）如果代数式 有意义，则 的取值范围为 .
【答案】 ,
【知识点】分式有意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的取值范围为： 且 ；
故答案为： 且 .
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，以及零指数幂有意义的条件，即可得到答案.
12．（2019·南京模拟）计算： .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=2
= ，
故答案为： .
【分析】先分别化简各二次根式，然后再按运算顺序进行计算即可.
13．（2020·昆明模拟）函数 中自变量的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
解得： ；
故答案为： ．
【分析】根据函数可得，再计算求解即可。
14．（2020·哈尔滨模拟）计算： = 。
【答案】2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
【分析】先将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。
15．（2020七上·景德镇期中）化简 ＝
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【分析】本题的关键在于将被开方数转化成完全平方数，再利用二次根式的性质求解即可。
16．若x、y都为实数，且 ，则 = 。
【答案】26
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，，，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x+y=25+1=26．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，比较不等式组从而得出方程求解得出x的值，进而算出y的值，再代入代数式计算出结果。
三、解答题
17．（2019八下·丰城期末）已知m＝ ﹣ ，n＝ + ，求代数式m2+mn+n2的值．
【答案】解：当m＝ ﹣ ，n＝ + 时，
m2+mn+n2
＝（m+n）2﹣mn
＝ ﹣（ ﹣ ）×（ + ）
＝ ﹣[ ﹣ ]
＝12﹣（3﹣2）
＝12﹣1
＝11．
【知识点】二次根式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】原式利用完全平方公式变形后，将m与n的值代入计算即可求出值．
18．若a，b为实数，且b=，求﹣．
【答案】解：由题意得，a2﹣1≥0且1﹣a2≥0，所以a2≥1且a2≤1，所以a2=1，解得a=±1，又∵a+1≠0，∴a≠﹣1，所以，a=1，b==，所以，﹣=﹣=﹣=﹣3．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出a，再求出b，然后代入代数式进行计算即可得解．
19．先化简，再求值：，其中a= ．
【答案】【解答】原式= ，当a=时，原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】会计算二次根式的加减法，并能够代入求值．
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