初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.1 菱形的性质与判定
一、单选题
1．（2021·河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，据此判断.
2．（2021八下·吉林期中）已知菱形ABCD的周长为16，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．2
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD的周长为16，且菱形的四条边相等，
∴ 菱形ABCD的边长为4.
故答案为：A.
【分析】根据菱形四条边相等的性质以及菱形ABCD的周长为16，即可得出菱形的边长.
3．（2021九上·建平期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断平行四边形ABCD是菱形
4．（2020九上·顺德月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA =OB；③∠ADB =∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．①②
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD， OA =OC，∠ADB =∠CDB，AB=BC，
∴ 正确的有 ①③.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD， OA =OC，∠ADB =∠CDB，AB=BC，即可判断①③是正确的.
5．（2020九上·兰州月考）若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（ ）
A．96 B．48 C．24 D．12
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S＝ ×6×8＝24.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
6．（2020九上·莲湖月考）菱形 的边长是 ，一条对角线 的长是 ，则此菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
四边形 是菱形，
， ， ， ，
又 的长是 ，
，
，
，
菱形的面积 .
故答案为：D.
【分析】根据菱形 的边长是 ，一条对角线 的长是 ，可以求出另一条对角线的长度是 ，利用菱形的面积等于 可求出结果.
7．（2021·瓯海模拟）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故答案为：D．
【分析】由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形，再由一组邻边相等，即可得出四边形ABCD是菱形．
8．（2021八下·长春开学考）如图，在菱形 中， 相交于 ， ， 是线段 上一点，则 的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵在菱形 中，
∴ ，即：∠AOB=90°，
∴ ＜90°，
∵ ，
∴∠ABO= ，
∴∠BAO=55°，
∵ =∠BAO+∠ABE，
∴ ＞55°，
即：55°＜ ＜90°．
故答案为：B．
【分析】由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO= ，从而得：∠BAO=55°，进而可得：55°＜ ＜90°，即可得到答案．
9．（2021·邹城模拟）如图，菱形 的对角线的长分别为2和5，P是对角线 上任一点（点P不与点A，C重合），且 交 于E， 交 于F，则阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．7.5 C．5 D．2.5
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF=S△AOE．
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为 ×5=2.5．
故答案为：D．
【分析】先求出PE//AF，PF//AE，再根据△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，计算求解即可。
二、填空题
10．（2021八下·崇川月考）菱形的一条对角线长为 ，面积是 ，则菱形的另一条对角线长为 cm.
【答案】2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的另一条对角线长为xcm，则
×6×x=6cm2，
∴x=2cm.
故答案为：2.
【分析】设菱形的另一条对角线长为xcm，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列方程，求解即可.
11．（2021·临海模拟）如图，菱形 中，已知 ，则 的度数为 .
【答案】35°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠DAC=∠BAC，
∴∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=110°，
∴∠DAB=70°，
∴∠BAC=35°，
故答案为：35°.
【分析】利用菱形的性质可证得DC∥AB，∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质可求出∠DAB的度数，即可求出∠BAC的度数.
12．（2021九上·贵州期末）如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是 .
【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形，
理由如下：
根据题意得：AB=AC=BD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：菱形.
【分析】根据作图过程可得AB=AC=BD=DC，再由菱形的判定“四边都相等的四边形是菱形”可判断四边形ABCD是菱形.
13．（2020八下·贵港期末）如图， 的对角线 、 相交于点O，则添加一个适当的条件 ，可使其成为菱形（只填一个即可）.
【答案】
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：答案不唯一： 如添加的条件为：AC⊥BD，
证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为：AC⊥BD，
【分析】添加的条件是AC⊥BD，根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到行四边形ABCD是菱形.
14．（2021·苏州）如图，四边形 为菱形， ，延长 到 ，在 内作射线 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，若 ，则对角线 的长为 .（结果保留根号）
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD， ，BD=2DO
∴
∵
∴
∵
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴
在 和 中，
∴ ≌
∴
∴
故答案为： .
【分析】连接AC，由菱形的性质和已知条件用角角边可证△CDO≌△CDF，由全等三角形的对应边相等可得DO=DF，由菱形的性质BD=2DO可求解.
15．（2021·长沙）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 是边 的中点，若 ，则 的长为 .
【答案】12
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是菱形，
，
点 是边 的中点，
是 的中位线，
，
故答案为：12.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得OA=OC，AC⊥BD，由已知可知OE是三角形ABC的中位线，根据中位线定理得BC=2OE可求解.
16．（2021·黑山模拟）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．AD=10，EF=4，则BG的长 ．
【答案】2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴OE=AE= AD=5；
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵AE=5，EF=4，
∴AF= =3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：2．
【分析】由三角形中位线定理可得OF//AB，可证出四边形OEFG是矩形；由菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，由直角三角形的性质可求出OE=AE= AD=5；由矩形的性质可求出FG=OE=5，根据勾股定理得到AF= =3，即可求解。
17．（2021·元阳模拟）如图，菱形 的周长为8厘米， ，点M为 的中点，点N是边 上任一点，把 沿直线 折叠，点A落在图中的点E处，当 厘米时， 是直角三角形．
【答案】 或1
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵菱形 的周长为8厘米，
∴AB=BC=CD=AD=2厘米，
∵点M为 的中点，
∴ 厘米．
由翻折可知 ，
∴ ．
①当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 厘米；
②当 时，点E在以M为圆心，AM为半径的圆上，也在以BC为直径的圆上，根据菱形ABCD的特点，可知点E落在菱形对角线 上，
∵点M为 的中点， 为折痕，此时 于点E，
∴点N为 的中点， 厘米．
当 或1厘米时， 是直角三角形．
【分析】根据题意进行分类讨论，当∠EBC=90°或∠BEC=90°时，结合菱形的性质，求出AN的值。
18．（2021九上·富平期末）如图，在边长为10的菱形 中，对角线 ，点O是线段 上的动点， 于E， 于F.则 .
【答案】9.6
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、OA，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，对角线 ，边长为10，
∴DG=8，AC⊥BD，
∴AG= ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
解得：OE+OF=9.6，
故答案为：9.6.
【分析】连接AC、OA,先由菱形性质得到DG=8，AC⊥BD，再由勾股定理得到AG=6,接着根据，由等面积法得到OE+OF的值.
三、解答题
19．（2020八下·横县期末）如图， ABCD中对角线BD平分∠ABC.
求证： ABCD是菱形.
【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴ AB =AD，
∴ ABCD是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出 ∠2=∠3 ， BD平分∠ABC， 得出 ∠1=∠3， 进而得出AB =AD；根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证出ABCD是菱形。
20．（2021·广安）如图，四边形 是菱形，点 、 分别在边 、 的延长线上，且 .连接 、 .
求证： .
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质可得BC=CD，∠ADC=∠ABC，由等角的补角相等可得∠CDF=∠CBE，用边角边可证△BEC≌△DFC，根据全等三角形的对应边相等可求解.
21．（2021八下·杨浦期末）如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．
【答案】证明：∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，
∴∠ABD+∠ABE= ×180°=90°，
即∠EBD=90°，
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC，
∵CD∥AB，
∴四边形OBCD是平行四边形，
∵OB=OD，
∴平行四边形OBCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先求出 四边形AEBD是矩形 ，再求出 ∠ODB=∠DBC， 最后证明求解即可。
22．（2021·临清模拟）已知，如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．
【答案】证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，
∴∠AEB＝∠ACF，
∴BD∥CF．
∵∠CBF＝∠DCB．
∴CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】证出BD∥CF，CD∥BF，得出四边形DBFC是平行四边形，再证出CD＝BD，即可得出结论，
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.1 菱形的性质与判定
一、单选题
1．（2021·河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．（2021八下·吉林期中）已知菱形ABCD的周长为16，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．2
3．（2021九上·建平期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
4．（2020九上·顺德月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA =OB；③∠ADB =∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．①②
5．（2020九上·兰州月考）若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（ ）
A．96 B．48 C．24 D．12
6．（2020九上·莲湖月考）菱形 的边长是 ，一条对角线 的长是 ，则此菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·瓯海模拟）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
8．（2021八下·长春开学考）如图，在菱形 中， 相交于 ， ， 是线段 上一点，则 的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·邹城模拟）如图，菱形 的对角线的长分别为2和5，P是对角线 上任一点（点P不与点A，C重合），且 交 于E， 交 于F，则阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．7.5 C．5 D．2.5
二、填空题
10．（2021八下·崇川月考）菱形的一条对角线长为 ，面积是 ，则菱形的另一条对角线长为 cm.
11．（2021·临海模拟）如图，菱形 中，已知 ，则 的度数为 .
12．（2021九上·贵州期末）如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是 .
13．（2020八下·贵港期末）如图， 的对角线 、 相交于点O，则添加一个适当的条件 ，可使其成为菱形（只填一个即可）.
14．（2021·苏州）如图，四边形 为菱形， ，延长 到 ，在 内作射线 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，若 ，则对角线 的长为 .（结果保留根号）
15．（2021·长沙）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 是边 的中点，若 ，则 的长为 .
16．（2021·黑山模拟）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．AD=10，EF=4，则BG的长 ．
17．（2021·元阳模拟）如图，菱形 的周长为8厘米， ，点M为 的中点，点N是边 上任一点，把 沿直线 折叠，点A落在图中的点E处，当 厘米时， 是直角三角形．
18．（2021九上·富平期末）如图，在边长为10的菱形 中，对角线 ，点O是线段 上的动点， 于E， 于F.则 .
三、解答题
19．（2020八下·横县期末）如图， ABCD中对角线BD平分∠ABC.
求证： ABCD是菱形.
20．（2021·广安）如图，四边形 是菱形，点 、 分别在边 、 的延长线上，且 .连接 、 .
求证： .
21．（2021八下·杨浦期末）如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．
22．（2021·临清模拟）已知，如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．求证：四边形DBFC是菱形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD的周长为16，且菱形的四条边相等，
∴ 菱形ABCD的边长为4.
故答案为：A.
【分析】根据菱形四条边相等的性质以及菱形ABCD的周长为16，即可得出菱形的边长.
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断平行四边形ABCD是菱形
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD， OA =OC，∠ADB =∠CDB，AB=BC，
∴ 正确的有 ①③.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD， OA =OC，∠ADB =∠CDB，AB=BC，即可判断①③是正确的.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S＝ ×6×8＝24.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
四边形 是菱形，
， ， ， ，
又 的长是 ，
，
，
，
菱形的面积 .
故答案为：D.
【分析】根据菱形 的边长是 ，一条对角线 的长是 ，可以求出另一条对角线的长度是 ，利用菱形的面积等于 可求出结果.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故答案为：D．
【分析】由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形，再由一组邻边相等，即可得出四边形ABCD是菱形．
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵在菱形 中，
∴ ，即：∠AOB=90°，
∴ ＜90°，
∵ ，
∴∠ABO= ，
∴∠BAO=55°，
∵ =∠BAO+∠ABE，
∴ ＞55°，
即：55°＜ ＜90°．
故答案为：B．
【分析】由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO= ，从而得：∠BAO=55°，进而可得：55°＜ ＜90°，即可得到答案．
9．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF=S△AOE．
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为 ×5=2.5．
故答案为：D．
【分析】先求出PE//AF，PF//AE，再根据△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，计算求解即可。
10．【答案】2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的另一条对角线长为xcm，则
×6×x=6cm2，
∴x=2cm.
故答案为：2.
【分析】设菱形的另一条对角线长为xcm，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列方程，求解即可.
11．【答案】35°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠DAC=∠BAC，
∴∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=110°，
∴∠DAB=70°，
∴∠BAC=35°，
故答案为：35°.
【分析】利用菱形的性质可证得DC∥AB，∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质可求出∠DAB的度数，即可求出∠BAC的度数.
12．【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形，
理由如下：
根据题意得：AB=AC=BD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：菱形.
【分析】根据作图过程可得AB=AC=BD=DC，再由菱形的判定“四边都相等的四边形是菱形”可判断四边形ABCD是菱形.
13．【答案】
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：答案不唯一： 如添加的条件为：AC⊥BD，
证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为：AC⊥BD，
【分析】添加的条件是AC⊥BD，根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到行四边形ABCD是菱形.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD， ，BD=2DO
∴
∵
∴
∵
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴
在 和 中，
∴ ≌
∴
∴
故答案为： .
【分析】连接AC，由菱形的性质和已知条件用角角边可证△CDO≌△CDF，由全等三角形的对应边相等可得DO=DF，由菱形的性质BD=2DO可求解.
15．【答案】12
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是菱形，
，
点 是边 的中点，
是 的中位线，
，
故答案为：12.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得OA=OC，AC⊥BD，由已知可知OE是三角形ABC的中位线，根据中位线定理得BC=2OE可求解.
16．【答案】2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴OE=AE= AD=5；
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵AE=5，EF=4，
∴AF= =3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：2．
【分析】由三角形中位线定理可得OF//AB，可证出四边形OEFG是矩形；由菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，由直角三角形的性质可求出OE=AE= AD=5；由矩形的性质可求出FG=OE=5，根据勾股定理得到AF= =3，即可求解。
17．【答案】 或1
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵菱形 的周长为8厘米，
∴AB=BC=CD=AD=2厘米，
∵点M为 的中点，
∴ 厘米．
由翻折可知 ，
∴ ．
①当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 厘米；
②当 时，点E在以M为圆心，AM为半径的圆上，也在以BC为直径的圆上，根据菱形ABCD的特点，可知点E落在菱形对角线 上，
∵点M为 的中点， 为折痕，此时 于点E，
∴点N为 的中点， 厘米．
当 或1厘米时， 是直角三角形．
【分析】根据题意进行分类讨论，当∠EBC=90°或∠BEC=90°时，结合菱形的性质，求出AN的值。
18．【答案】9.6
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、OA，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，对角线 ，边长为10，
∴DG=8，AC⊥BD，
∴AG= ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
解得：OE+OF=9.6，
故答案为：9.6.
【分析】连接AC、OA,先由菱形性质得到DG=8，AC⊥BD，再由勾股定理得到AG=6,接着根据，由等面积法得到OE+OF的值.
19．【答案】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴ AB =AD，
∴ ABCD是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出 ∠2=∠3 ， BD平分∠ABC， 得出 ∠1=∠3， 进而得出AB =AD；根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证出ABCD是菱形。
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质可得BC=CD，∠ADC=∠ABC，由等角的补角相等可得∠CDF=∠CBE，用边角边可证△BEC≌△DFC，根据全等三角形的对应边相等可求解.
21．【答案】证明：∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，
∴∠ABD+∠ABE= ×180°=90°，
即∠EBD=90°，
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC，
∵CD∥AB，
∴四边形OBCD是平行四边形，
∵OB=OD，
∴平行四边形OBCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先求出 四边形AEBD是矩形 ，再求出 ∠ODB=∠DBC， 最后证明求解即可。
22．【答案】证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，
∴∠AEB＝∠ACF，
∴BD∥CF．
∵∠CBF＝∠DCB．
∴CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
∵BC平分∠DBF，
∴∠CBF＝∠CBD，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴CD＝BD，
∴四边形DBFC是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】证出BD∥CF，CD∥BF，得出四边形DBFC是平行四边形，再证出CD＝BD，即可得出结论，
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