初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.2 矩形的性质与判定

初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.2 矩形的性质与判定
一、单选题
1．（2021·重庆模拟）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线相等
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故属于假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故属于假命题；
C、菱形的对角线垂直，但不相等，故属于假命题；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故属于真命题.
故答案为：D.
【分析】A、根据平行四边形的判定定理判断即可；
B、根据矩形的判定定理判断即可；
C、根据菱形的性质判断即可；
D、根据菱形的判定定理判断即可.
2．（2021九上·贵州期末）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的有（　　）
①测量对角线是否相互平分；②测量两组对边是否相等；
③测量对角线是否相等；④测量其中三个角是否为直角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
②两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
③对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
④其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形.
故答案为：C.
【分析】①根据平行四边形的判定“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可知， 测量对角线是否相互平分可判断四边形是否是平行四边形；
②根据平行四边形的判定“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知， 测量两组对边是否相等可判断四边形是否是平行四边形；
③根据矩形的判定“对角线相等且平分的四边形是矩形”可知，测量对角线是否相等不能判定四边形的形状；
④根据矩形的判定“三个角是直角的四边形是矩形”可知，测量其中三个角是否为直角能判定矩形.
3．（2020九上·榆林月考）在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相平分且相等
B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．对角线互相垂直平分
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A.矩形的对角线互相平分且相等，选项说法正确，不符合题意；
B.矩形的四个角相等，等于90°，选项说法正确，不符合题意；
C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项说法正确，不符合题意；
D.矩形对角线互相平分但不一定垂直，选项说法错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质，即对角线平分相等，四个角都是直角，既是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可.
4．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在长方形钟面示意图中，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形宽为 40cm， 钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为（　　）cm
A．80 B．60 C．50 D．40
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】如上图，矩形的宽对应2个空格，长为40cm
∴1个空格的长度为：40÷2=20cm
矩形的长对应4个空格
∴长为：4×20=80cm
故答案为：A
【分析】根据矩形的宽40cm对应2个空格长度，得到1个空格长度，利用矩形的长对应4个空格长求得.
5．（2021·徐汇模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到F，使得EF＝DE，那么四边形ADCF是（　　）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．矩形 D．菱形
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴ ，
∴DF＝BC，
∵CA＝CB，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可。
6．（2020八上·历城期末）如图，四边形 是长方形，点 是 长线上一点， 是 上一点，并且 ， ．若 ，则 的度数是（　　）
A． B． C．30° D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝15°，
∴∠GAF＝∠F＝15°，
∴∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F＝30°，
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质求出AD∥BC，∠DCB＝90°，再求出∠GAF＝∠F＝15°，最后求解即可。
7．（2020八下·定远期末）如图， 的对角线 ， 相交于点O，添加下列条件后，不能得出四边形 是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=∠DCB，
∵∠DAB+∠DCB=180°，
∴∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
B、∵AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
C、∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
D、∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故不能得出四边形ABCD是矩形；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法逐项判定即可。
8．（2020八下·福州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，下列说法正确的是（　　）
A．边CD的长也逐渐增大 B．∠AOB也逐渐增大
C．边OD的长也逐渐增大 D．∠ACB也逐渐增大
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD= BD，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，
∵边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，
∴CD的长不变，AC，BD的长逐渐增大，∠BAC的度数逐渐增大，
∴边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质可得AB=CD，OA=OB=OC=OD= BD，∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，由若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，可得边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，即可求解．
9．（2021·衡阳）如图，矩形纸片 ，点M、N分别在矩形的边 、 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点C落在矩形的边 上，记为点P，点D落在G处，连接 ，交 于点Q，连接 .下列结论：①四边形 是菱形；②点P与点A重合时， ；③ 的面积S的取值范围是 .其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①如图1，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，
∴PM=CN，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
故②错误，不符合题意.
③当 过点D时，如图3所示：
此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为 ，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ，
∴ ，故③正确，符合题意.
故答案为：①③.
【分析】①利用一组对边平行且相等可证四边形 为平行四边形，由折叠的性质可得CN=NP，可证平行四边形 为菱形，据此判断即可；②当点P与A重合时，
设 ，则 ，在 中，由，建立方程求出x值，可求出CN、AC，CQ，利用勾股定理求出QN，由菱形的性质得出MN=2QN，据此判断即可；③当 过点D时，此时， 最短，四边形 的面积最小；当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，分别求出最大与最小值，即得结论，据此判断即可.
二、填空题
10．（2020九上·兰州月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，要使四边形ABCD为矩形，则需要添加的条件是　 　(只填一个即可).
【答案】∠DAB=90°
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠DAB=90°.
【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.
11．（2020八下·北京期中）如图，为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线 AC，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理　 　．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角；
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角．
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据矩形的判定和性质定理，即可解答．
12．（2020八下·洪泽期中）矩形ABCD，AB=2，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，则AC长是　 　.
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴AC=2OA=4，
【分析】根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，利用邻补角的定义可得∠AOB=180°-∠AOD=60°，从而可得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质得OA=OB=AB=2，由AC=2OA即可求出结论.
13．（初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习）如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM， CN，MN，若AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AB，CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
14．（2019八下·静安期末）在矩形 中, 与 相交于点 ， ,那么 的度数为，　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形 是矩形
∴OA=OC=OB=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，
∴ = ∠AOB= ×46°=23°
即 =23°．
故答案为：23°.
【分析】根据矩形的性质可得∠OAD=∠ODA，再根据三角形的外角性质可得∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，从而可求∠OAD度数．
15．（2021·香坊模拟）在矩形 中， ， 的平分线 交 所在的直线于点 ，若 ，则 的长为　 　．
【答案】5或1
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图1，当点 在 上时，
四边形 是矩形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
；
如图2，当点 在 的延长线上时，同理 ，
．
故答案为：5或1．
【分析】分类讨论，利用矩形的性质进行求解即可。
16．（2020九上·顺德月考）如下图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积 与矩形QCNK的面积 的大小关系是 　 　 （填“＞”或“＜”或“=”）.
【答案】=
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PQ∥AB，MN∥AD，
∴四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形，
∴S△MKB=S△BKQ，S△PDK=S△NDK，S△ADB=S△CDB，
∴S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK
∴S1=S2．
故答案为：=．
【分析】 根据已知可知图中所有的四边形都是矩形，利用矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分，由S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK，即可得出结论．
17．（2020八下·彭州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝　 　°．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，OA=OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴ ，
∴ ，
∵AE⊥BD，
∴ ，
∴ ，
．
故答案是 ．
【分析】由已知条件可先求得 ，在Rt△ABE中可求得 ，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得 ，即可求得结果；
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
三、解答题
19．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.1.2 矩形的判定 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
20．（2021七下·吉林期中）小明想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长与宽之比为4：3，小明不知道能否裁得出米，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗(通过计算说明)？
【答案】解：不能．设长方形纸片的长为4x(x>0)厘米，则宽为3x厘米，由题意，得4x·3x
=360，即x2= 30，x> 0，∴x = ，
∴长方形纸片的长为4 厘米∵ > 5，
∴长方形纸片的长大于20厘米∴正方形纸片的面积为400平方厘米，
∴其边长为20屋米，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】设出长方形的长和宽，根据面积公式计算，判断得到答案即可。
21．（2020八下·花都期末）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOD＝60°，AD＝2，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝2，
∴AC＝2OA＝4，
即AC的长度为4．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】先求出 OA＝OC＝OB＝OD， 再证明△AOD是等边三角形，最后计算求解即可。
22．（2020九上·长春期中）如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连结点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．
【答案】证明：∵在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，
∴AB = BC，∠ADB = ∠AFB= 90°，∠DBC=30°，
∠BAD = ∠ABF = 60°
∴△ABF≌△ABD，
∴BD = AF．
∵△BDE是等边三角形，
∴BD = BE，∠EBD = 60°．
∴AF = BE，∠EBF = ∠EBD + ∠DBC = 90°．
∴∠AFC = ∠EBF．
∴AF∥BE．
∴四边形AEBF是平行四边形．
∵∠EBF=90°，
∴平行四边形AEBF是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据等边三角形的性质证明△ABF≌△ABD，得到BD = AF，再证明四边形AEBF是平行四边形，再根据∠EBF=90°即可求解．
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.2 矩形的性质与判定
一、单选题
1．（2021·重庆模拟）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线相等
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2．（2021九上·贵州期末）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的有（　　）
①测量对角线是否相互平分；②测量两组对边是否相等；
③测量对角线是否相等；④测量其中三个角是否为直角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020九上·榆林月考）在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线互相平分且相等
B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．对角线互相垂直平分
4．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在长方形钟面示意图中，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形宽为 40cm， 钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为（　　）cm
A．80 B．60 C．50 D．40
5．（2021·徐汇模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到F，使得EF＝DE，那么四边形ADCF是（　　）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．矩形 D．菱形
6．（2020八上·历城期末）如图，四边形 是长方形，点 是 长线上一点， 是 上一点，并且 ， ．若 ，则 的度数是（　　）
A． B． C．30° D．
7．（2020八下·定远期末）如图， 的对角线 ， 相交于点O，添加下列条件后，不能得出四边形 是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2020八下·福州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，下列说法正确的是（　　）
A．边CD的长也逐渐增大 B．∠AOB也逐渐增大
C．边OD的长也逐渐增大 D．∠ACB也逐渐增大
9．（2021·衡阳）如图，矩形纸片 ，点M、N分别在矩形的边 、 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点C落在矩形的边 上，记为点P，点D落在G处，连接 ，交 于点Q，连接 .下列结论：①四边形 是菱形；②点P与点A重合时， ；③ 的面积S的取值范围是 .其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题
10．（2020九上·兰州月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，要使四边形ABCD为矩形，则需要添加的条件是　 　(只填一个即可).
11．（2020八下·北京期中）如图，为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线 AC，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理　 　．
12．（2020八下·洪泽期中）矩形ABCD，AB=2，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，则AC长是　 　.
13．（初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习）如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM， CN，MN，若AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为　 　.
14．（2019八下·静安期末）在矩形 中, 与 相交于点 ， ,那么 的度数为，　 　．
15．（2021·香坊模拟）在矩形 中， ， 的平分线 交 所在的直线于点 ，若 ，则 的长为　 　．
16．（2020九上·顺德月考）如下图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积 与矩形QCNK的面积 的大小关系是 　 　 （填“＞”或“＜”或“=”）.
17．（2020八下·彭州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝　 　°．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为　 　．
三、解答题
19．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.1.2 矩形的判定 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
20．（2021七下·吉林期中）小明想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长与宽之比为4：3，小明不知道能否裁得出米，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗(通过计算说明)？
21．（2020八下·花都期末）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．
22．（2020九上·长春期中）如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连结点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故属于假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故属于假命题；
C、菱形的对角线垂直，但不相等，故属于假命题；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故属于真命题.
故答案为：D.
【分析】A、根据平行四边形的判定定理判断即可；
B、根据矩形的判定定理判断即可；
C、根据菱形的性质判断即可；
D、根据菱形的判定定理判断即可.
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
②两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
③对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
④其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形.
故答案为：C.
【分析】①根据平行四边形的判定“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可知， 测量对角线是否相互平分可判断四边形是否是平行四边形；
②根据平行四边形的判定“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知， 测量两组对边是否相等可判断四边形是否是平行四边形；
③根据矩形的判定“对角线相等且平分的四边形是矩形”可知，测量对角线是否相等不能判定四边形的形状；
④根据矩形的判定“三个角是直角的四边形是矩形”可知，测量其中三个角是否为直角能判定矩形.
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A.矩形的对角线互相平分且相等，选项说法正确，不符合题意；
B.矩形的四个角相等，等于90°，选项说法正确，不符合题意；
C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项说法正确，不符合题意；
D.矩形对角线互相平分但不一定垂直，选项说法错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质，即对角线平分相等，四个角都是直角，既是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可.
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】如上图，矩形的宽对应2个空格，长为40cm
∴1个空格的长度为：40÷2=20cm
矩形的长对应4个空格
∴长为：4×20=80cm
故答案为：A
【分析】根据矩形的宽40cm对应2个空格长度，得到1个空格长度，利用矩形的长对应4个空格长求得.
5．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴ ，
∴DF＝BC，
∵CA＝CB，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可。
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝15°，
∴∠GAF＝∠F＝15°，
∴∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F＝30°，
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质求出AD∥BC，∠DCB＝90°，再求出∠GAF＝∠F＝15°，最后求解即可。
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=∠DCB，
∵∠DAB+∠DCB=180°，
∴∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
B、∵AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
C、∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
D、∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故不能得出四边形ABCD是矩形；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法逐项判定即可。
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD= BD，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，
∵边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，
∴CD的长不变，AC，BD的长逐渐增大，∠BAC的度数逐渐增大，
∴边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质可得AB=CD，OA=OB=OC=OD= BD，∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，由若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，可得边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，即可求解．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①如图1，
∵ ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，NC=NP
∴ ，
∴ ，
∴PM=CN，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 为菱形，
故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
∴
∴ ，
故②错误，不符合题意.
③当 过点D时，如图3所示：
此时， 最短，四边形 的面积最小，则S最小为 ，
当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，则S最大为 ，
∴ ，故③正确，符合题意.
故答案为：①③.
【分析】①利用一组对边平行且相等可证四边形 为平行四边形，由折叠的性质可得CN=NP，可证平行四边形 为菱形，据此判断即可；②当点P与A重合时，
设 ，则 ，在 中，由，建立方程求出x值，可求出CN、AC，CQ，利用勾股定理求出QN，由菱形的性质得出MN=2QN，据此判断即可；③当 过点D时，此时， 最短，四边形 的面积最小；当P点与A点重合时， 最长，四边形 的面积最大，分别求出最大与最小值，即得结论，据此判断即可.
10．【答案】∠DAB=90°
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠DAB=90°.
【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.
11．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角；
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角．
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据矩形的判定和性质定理，即可解答．
12．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴AC=2OA=4，
【分析】根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，利用邻补角的定义可得∠AOB=180°-∠AOD=60°，从而可得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质得OA=OB=AB=2，由AC=2OA即可求出结论.
13．【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AB，CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形 是矩形
∴OA=OC=OB=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，
∴ = ∠AOB= ×46°=23°
即 =23°．
故答案为：23°.
【分析】根据矩形的性质可得∠OAD=∠ODA，再根据三角形的外角性质可得∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，从而可求∠OAD度数．
15．【答案】5或1
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图1，当点 在 上时，
四边形 是矩形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
；
如图2，当点 在 的延长线上时，同理 ，
．
故答案为：5或1．
【分析】分类讨论，利用矩形的性质进行求解即可。
16．【答案】=
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PQ∥AB，MN∥AD，
∴四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形，
∴S△MKB=S△BKQ，S△PDK=S△NDK，S△ADB=S△CDB，
∴S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK
∴S1=S2．
故答案为：=．
【分析】 根据已知可知图中所有的四边形都是矩形，利用矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分，由S1=S△DAB-S△MKB-S△PDK，S2=S△CDB-S△BKQ-S△DNK，即可得出结论．
17．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，OA=OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴ ，
∴ ，
∵AE⊥BD，
∴ ，
∴ ，
．
故答案是 ．
【分析】由已知条件可先求得 ，在Rt△ABE中可求得 ，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得 ，即可求得结果；
18．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
19．【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
20．【答案】解：不能．设长方形纸片的长为4x(x>0)厘米，则宽为3x厘米，由题意，得4x·3x
=360，即x2= 30，x> 0，∴x = ，
∴长方形纸片的长为4 厘米∵ > 5，
∴长方形纸片的长大于20厘米∴正方形纸片的面积为400平方厘米，
∴其边长为20屋米，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】设出长方形的长和宽，根据面积公式计算，判断得到答案即可。
21．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOD＝60°，AD＝2，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝2，
∴AC＝2OA＝4，
即AC的长度为4．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】先求出 OA＝OC＝OB＝OD， 再证明△AOD是等边三角形，最后计算求解即可。
22．【答案】证明：∵在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，
∴AB = BC，∠ADB = ∠AFB= 90°，∠DBC=30°，
∠BAD = ∠ABF = 60°
∴△ABF≌△ABD，
∴BD = AF．
∵△BDE是等边三角形，
∴BD = BE，∠EBD = 60°．
∴AF = BE，∠EBF = ∠EBD + ∠DBC = 90°．
∴∠AFC = ∠EBF．
∴AF∥BE．
∴四边形AEBF是平行四边形．
∵∠EBF=90°，
∴平行四边形AEBF是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据等边三角形的性质证明△ABF≌△ABD，得到BD = AF，再证明四边形AEBF是平行四边形，再根据∠EBF=90°即可求解．
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