初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.3 正方形的性质与判定
一、单选题
1．（2020八下·湖北期末）下列不能判断是正方形的有（ ）
A．对角线互相垂直的矩形
B．对角线相等的矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形
D．对角线相等的菱形
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A、对角线互相垂直的矩形是正方形，此项不符题意
B、对角线相等的矩形不一定是正方形，此项符合题意
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，此项不符题意
D、对角线相等的菱形是正方形，此项不符题意
故答案为：B.
【分析】由正方形的判定：对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线相等的菱形是正方形，可知ACD都能判定是正方形，只有B：对角线相等的矩形，肯定还是矩形，但不一定是正方形，对角线互相垂直的矩形才是正方形，由此可判断出不能判断是正方形的选项.
2．（2020八下·上蔡期末）下列说法正确的个数是（ ）
①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，正确；
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
综上，四个均正确，
故答案为：D.
【分析】根据正方形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案.
3．（2020八下·淮安期末）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，
正方形的对角线即角平分线，AC、BD交于点O，
则∠CBO 45°.
故答案为：B.
【分析】正方形中对角线分别平分一组对角，根据对角线即角平分线的性质可以解题.
4．（2020九上·清涧期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使 ，连接AE交CD于点F，则 （ ）
A．67.5° B．65° C．55° D．45°
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，CE=CA，
∴∠ACE=45°+90°=135°，∠E=22.5°，
∴∠AFD=90°-22.5°=67.5°，
故答案为：A.
【分析】由等腰三角形的两底角相等及正方形的一条对角线平分一组对角即得∠ACE=135°，∠E=22.5°，进而根据三角形的内角和定理即可得出答案.
5．（2019九上·深圳期中）正方形的一条对角线之长为4,则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．4 C．8 D．8
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积= ×4×4=8，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
6．（2021·玉林）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的判定可得结果.
7．（2021·滨海模拟）如图，四边形 是正方形， 是坐标原点，对角线 ， 分别位于 轴和 轴上，点 的坐标是 ，则正方形 的周长是（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】 四边形ABCD是正方形，且点
，
在 中， ，
既 ，
，
∴正方形的周长为 ．
故答案为：D
【分析】先求出OD=OC=3，再利用勾股定理求解即可。
8．（2021·丽水模拟）如图是由七巧板拼成的正方形，则小正方形和大正方形的面积之比是（ ）
A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：9
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，则大正方形的面积是4a2，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积，
则正方形和大正方形的面积之比为，
故选：C.
【分析】设正方形的边长为2a，则可以表示出大正方形和小正方形的面积，然后列出比例式即可求解.
9．（2020·苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，DP．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，
∴AB=CD，S正方形ABCD=1，
∵S△ADP= S正方形ABCD= ，S△ABP+S△ACP=S△ABC= S正方形ABCD= ，
∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，
∴ AP BB′+ AP CC′+ AP DD′= AP （BB′+CC′+DD′）=1，
则BB′+CC′+DD′= ，
∵1≤AP≤ ，
∴当P与C重合时，有最小值 ．
故答案为：B
【分析】连接AC，DP．根据正方形的性质，可得AB=CD，S正方形ABCD=1，S△ADP= S正方形ABCD= ，S△ABP+S△ACP=S△ABC= S正方形ABCD= ，从而可得S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，利用三角形的面积公式可得BB′+CC′+DD′= ，当AP最大时BB′+CC′+DD′的值最小，所以当P与C重合时，有最小值，据此解答即可.
二、填空题
10．（2020八上·社旗月考）若一个正方形的面积为a2+a+ ，则此正方形的周长为 .
【答案】4a+2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为a2＋a＋ =（a+ ）2，
∴正方形的边长为a+ ，
∴正方形的周长为4a+2.
故答案为4a+2.
【分析】由完全平方公式可将正方形的面积分解因式得原式=（a+）2，再根据正方形的面积等于边长的平方可将正方形的面积开平方求得边长，然后由正方形的周长=4边长可求解.
11．（2020八下·秦淮期末）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为10和3，那么大正方形的面积是 .
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形Ⅰ的面积为10，故，其边长为 ，
正方形Ⅱ的面积为3，故，其边长为 ，
∴大正方形的边长为 ，
∴大正方形的面积= ，
故答案为： .
【分析】已知正方形面积可以求出正方形的边长，进而求出大正方形的边长即可解答.
12．（2019·云南模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 （只需添加一个即可）
【答案】∠ABC=90°或AC=BD
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：条件为∠ABC=90°，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC=90°．
【分析】开放性的命题，答案不唯一，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断出四边形ABCD是菱形，根据正方形的判定方法，即是菱形又是矩形的四边形是正方形，故添加的条件能判定出四边形ABCD又是矩形即可。
13．（2020九上·埇桥月考）若一个正方形的面积是12，则它的边长是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形的面积是12，边长= ．
故答案是： ．
【分析】正方形的边长是面积的算术平方根．
14．（2020九上·枣庄月考）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为 ．
【答案】n-1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接O1B=O1C，由题意得三个正方形的边长相等，
∴O1B=O1C，∠EBO1=∠DCO1=45°，
∠BO1C=∠EO1D=90°，
∴∠BO1E=∠CO1D，
∴△BO1E≌△CO1D，
∴△BO1E面积=△CO1D面积，
∴四边形O1ECD面积=△BO1C面积=2×2÷4=1，
同理：另一阴影面积=1，
所以n个小正方形按如图摆放，共得到n-1个阴影四边形，面积为n-1．
故答案为：n-1
【分析】连接O1B=O1C，证明△BO1E≌△CO1D，进而证明四边形O1ECD面积为1，再得到共有n-1个阴影四边形，问题得解．
15．（2020七下·天府新期末）如图，正方形ABCD中，AE＝2cm，CG＝5cm．长方形EFGD的面积是11，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积是 cm2．
【答案】53
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为xcm，
由题意DE=x﹣2(cm)，DG=x﹣5(cm)，则(x﹣2)(x﹣5)=11，
∴x2﹣7x=1
∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形，
∴DE=ME=x﹣2(cm)，DG=DH=x﹣5(cm)，
∴MF=x﹣2+x﹣5=2x﹣7(cm)，
∴图中阴影部分的面积=(2x﹣7)2=4x2﹣28x+49=4(x2﹣7x)+49=4+49=53(cm2)，
故答案为：53．
【分析】设正方形ABCD的边长为xcm，可得DE=x﹣2(cm)，DG=x﹣5(cm)，由矩形的面积公式可得x2﹣7x=1，由图中阴影部分的面积=(2x﹣7)2，整体代入可求解．
16．（2020·通州模拟）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 ．
【答案】1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，
图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1，
故答案为：1．
【分析】根据线段的和差关系可求出图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解。
17．（2020·平阳模拟）如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF。若点E，A，G在同一直线上，EG=8 ，BC=7，则△ABC的面积为 。
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CH⊥AG于点H，
∵正方形ABED，正方形ACGF，
∴AM=EM=BM，AH=HG=CH
设BM=x，CH=y
∴2x+2y=
∴
∴
在Rt△ABC中，
AB2+CA2=BC2
∴2x2+2y2=49
∴
∴
解之：xy=
∴S△ABC=
故答案为：
【分析】过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CH⊥AG于点H，利用正方形的性质，可证得AM=EM=BM，AH=HG=CH，设BM=x，CH=y，求出x+y的值，利用勾股定理用含x，y的代数式分别表示出AB，CA，再利用勾股定理求出2x2+2y2=49，由此可求出xy的值，然后利用三角形的面积公式可求解。
18．（2020八下·昌吉期中）如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ .
【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接EO
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8，
∴AO＝CO＝BO＝4，
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴
∴EF+EG＝4
故答案为4.
【分析】连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO，再把AO＝BO＝4代入可求EF+EG的值.
三、解答题
19．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是正方形，对角线 、 相交于点F， ， .求证：四边形 是正方形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形.
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】由正方形的性质得∠FDC＝∠DCF＝45°， 由等腰直角三角形的性质得 ∠EDC＝∠ECD＝45°， 进而即可判断出四边形DFCE是矩形， 最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得出结论.
20．（2019九上·天河月考）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵ ，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
∵AG＝AF+FG，
∴BF＝AG＝DG+FG，
∴BF﹣DG＝FG．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的性质可得AB＝AD，∠DAB＝90°，进而由BF⊥AE，DG⊥AE得∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，又∠DAG+∠BAF＝90°，因而有∠ADG＝∠BAF，故可证得△BAF≌△ADG，然后利用全等三角形的性质可得BF＝AG，AF＝DG，而AG＝AF+FG，则有BF＝AG＝DG+FG，故BF﹣DG＝FG.
21．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.
求证：AB＝EF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAC=90°
∵EF⊥AM，
∴∠EFA=90°
∵∠MAB+∠MAE=90°，∠EAM+∠E=90°，
∴∠MAB=∠E
∵AE=AM，
∴ΔABM≌ΔEFA
∴AB=EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形是正方形，可知角B与角BAC都是直角，再由EF与AM垂直，可知角E与角EAF互余，由同角的余角相等可知角E与角BAM相等，与已知条件中的AE与AM相等，即可判断三角形AEF与三角形ABM全等，再由全等三角形的对应边相等，即可证得AB与EF相等。
22．（2019九上·龙泉驿期中）如图，已知在矩形 中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线， ， 相交于点 ， ， 相交于点 求证：四边形 是正方形．
【答案】证明：∵在矩形ABCD中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴△FDC是等腰直角三角形，
同理可得：△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，
∴∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形EMFN是矩形，
在△FDC和△EAB中， ，
∴△FDC≌△EAB（ASA），
∴FD＝EA，
又∵MD＝MA，
∴ME＝MF，
∴矩形EMFN是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】根据矩形的性质和角平分线定义易得△FDC、△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，则∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，可得四边形EMFN是矩形，然后证明△FDC≌△EAB，求出ME＝MF即可证得结论．
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1.3 正方形的性质与判定
一、单选题
1．（2020八下·湖北期末）下列不能判断是正方形的有（ ）
A．对角线互相垂直的矩形
B．对角线相等的矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形
D．对角线相等的菱形
2．（2020八下·上蔡期末）下列说法正确的个数是（ ）
①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020八下·淮安期末）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（2020九上·清涧期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使 ，连接AE交CD于点F，则 （ ）
A．67.5° B．65° C．55° D．45°
5．（2019九上·深圳期中）正方形的一条对角线之长为4,则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．4 C．8 D．8
6．（2021·玉林）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
7．（2021·滨海模拟）如图，四边形 是正方形， 是坐标原点，对角线 ， 分别位于 轴和 轴上，点 的坐标是 ，则正方形 的周长是（ ）
A． B．12 C． D．
8．（2021·丽水模拟）如图是由七巧板拼成的正方形，则小正方形和大正方形的面积之比是（ ）
A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：9
9．（2020·苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
10．（2020八上·社旗月考）若一个正方形的面积为a2+a+ ，则此正方形的周长为 .
11．（2020八下·秦淮期末）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为10和3，那么大正方形的面积是 .
12．（2019·云南模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 （只需添加一个即可）
13．（2020九上·埇桥月考）若一个正方形的面积是12，则它的边长是 ．
14．（2020九上·枣庄月考）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为 ．
15．（2020七下·天府新期末）如图，正方形ABCD中，AE＝2cm，CG＝5cm．长方形EFGD的面积是11，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积是 cm2．
16．（2020·通州模拟）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 ．
17．（2020·平阳模拟）如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF。若点E，A，G在同一直线上，EG=8 ，BC=7，则△ABC的面积为 。
18．（2020八下·昌吉期中）如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ .
三、解答题
19．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是正方形，对角线 、 相交于点F， ， .求证：四边形 是正方形.
20．（2019九上·天河月考）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
21．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.3正方形 同步练习）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.
求证：AB＝EF.
22．（2019九上·龙泉驿期中）如图，已知在矩形 中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线， ， 相交于点 ， ， 相交于点 求证：四边形 是正方形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A、对角线互相垂直的矩形是正方形，此项不符题意
B、对角线相等的矩形不一定是正方形，此项符合题意
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，此项不符题意
D、对角线相等的菱形是正方形，此项不符题意
故答案为：B.
【分析】由正方形的判定：对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线相等的菱形是正方形，可知ACD都能判定是正方形，只有B：对角线相等的矩形，肯定还是矩形，但不一定是正方形，对角线互相垂直的矩形才是正方形，由此可判断出不能判断是正方形的选项.
2．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，正确；
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
综上，四个均正确，
故答案为：D.
【分析】根据正方形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案.
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，
正方形的对角线即角平分线，AC、BD交于点O，
则∠CBO 45°.
故答案为：B.
【分析】正方形中对角线分别平分一组对角，根据对角线即角平分线的性质可以解题.
4．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，CE=CA，
∴∠ACE=45°+90°=135°，∠E=22.5°，
∴∠AFD=90°-22.5°=67.5°，
故答案为：A.
【分析】由等腰三角形的两底角相等及正方形的一条对角线平分一组对角即得∠ACE=135°，∠E=22.5°，进而根据三角形的内角和定理即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积= ×4×4=8，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
6．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的判定可得结果.
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】 四边形ABCD是正方形，且点
，
在 中， ，
既 ，
，
∴正方形的周长为 ．
故答案为：D
【分析】先求出OD=OC=3，再利用勾股定理求解即可。
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，则大正方形的面积是4a2，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积，
则正方形和大正方形的面积之比为，
故选：C.
【分析】设正方形的边长为2a，则可以表示出大正方形和小正方形的面积，然后列出比例式即可求解.
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，DP．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，
∴AB=CD，S正方形ABCD=1，
∵S△ADP= S正方形ABCD= ，S△ABP+S△ACP=S△ABC= S正方形ABCD= ，
∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，
∴ AP BB′+ AP CC′+ AP DD′= AP （BB′+CC′+DD′）=1，
则BB′+CC′+DD′= ，
∵1≤AP≤ ，
∴当P与C重合时，有最小值 ．
故答案为：B
【分析】连接AC，DP．根据正方形的性质，可得AB=CD，S正方形ABCD=1，S△ADP= S正方形ABCD= ，S△ABP+S△ACP=S△ABC= S正方形ABCD= ，从而可得S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，利用三角形的面积公式可得BB′+CC′+DD′= ，当AP最大时BB′+CC′+DD′的值最小，所以当P与C重合时，有最小值，据此解答即可.
10．【答案】4a+2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为a2＋a＋ =（a+ ）2，
∴正方形的边长为a+ ，
∴正方形的周长为4a+2.
故答案为4a+2.
【分析】由完全平方公式可将正方形的面积分解因式得原式=（a+）2，再根据正方形的面积等于边长的平方可将正方形的面积开平方求得边长，然后由正方形的周长=4边长可求解.
11．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形Ⅰ的面积为10，故，其边长为 ，
正方形Ⅱ的面积为3，故，其边长为 ，
∴大正方形的边长为 ，
∴大正方形的面积= ，
故答案为： .
【分析】已知正方形面积可以求出正方形的边长，进而求出大正方形的边长即可解答.
12．【答案】∠ABC=90°或AC=BD
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：条件为∠ABC=90°，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC=90°．
【分析】开放性的命题，答案不唯一，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断出四边形ABCD是菱形，根据正方形的判定方法，即是菱形又是矩形的四边形是正方形，故添加的条件能判定出四边形ABCD又是矩形即可。
13．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形的面积是12，边长= ．
故答案是： ．
【分析】正方形的边长是面积的算术平方根．
14．【答案】n-1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接O1B=O1C，由题意得三个正方形的边长相等，
∴O1B=O1C，∠EBO1=∠DCO1=45°，
∠BO1C=∠EO1D=90°，
∴∠BO1E=∠CO1D，
∴△BO1E≌△CO1D，
∴△BO1E面积=△CO1D面积，
∴四边形O1ECD面积=△BO1C面积=2×2÷4=1，
同理：另一阴影面积=1，
所以n个小正方形按如图摆放，共得到n-1个阴影四边形，面积为n-1．
故答案为：n-1
【分析】连接O1B=O1C，证明△BO1E≌△CO1D，进而证明四边形O1ECD面积为1，再得到共有n-1个阴影四边形，问题得解．
15．【答案】53
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为xcm，
由题意DE=x﹣2(cm)，DG=x﹣5(cm)，则(x﹣2)(x﹣5)=11，
∴x2﹣7x=1
∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形，
∴DE=ME=x﹣2(cm)，DG=DH=x﹣5(cm)，
∴MF=x﹣2+x﹣5=2x﹣7(cm)，
∴图中阴影部分的面积=(2x﹣7)2=4x2﹣28x+49=4(x2﹣7x)+49=4+49=53(cm2)，
故答案为：53．
【分析】设正方形ABCD的边长为xcm，可得DE=x﹣2(cm)，DG=x﹣5(cm)，由矩形的面积公式可得x2﹣7x=1，由图中阴影部分的面积=(2x﹣7)2，整体代入可求解．
16．【答案】1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，
图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1，
故答案为：1．
【分析】根据线段的和差关系可求出图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解。
17．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CH⊥AG于点H，
∵正方形ABED，正方形ACGF，
∴AM=EM=BM，AH=HG=CH
设BM=x，CH=y
∴2x+2y=
∴
∴
在Rt△ABC中，
AB2+CA2=BC2
∴2x2+2y2=49
∴
∴
解之：xy=
∴S△ABC=
故答案为：
【分析】过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CH⊥AG于点H，利用正方形的性质，可证得AM=EM=BM，AH=HG=CH，设BM=x，CH=y，求出x+y的值，利用勾股定理用含x，y的代数式分别表示出AB，CA，再利用勾股定理求出2x2+2y2=49，由此可求出xy的值，然后利用三角形的面积公式可求解。
18．【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接EO
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8，
∴AO＝CO＝BO＝4，
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴
∴EF+EG＝4
故答案为4.
【分析】连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO，再把AO＝BO＝4代入可求EF+EG的值.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形.
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】由正方形的性质得∠FDC＝∠DCF＝45°， 由等腰直角三角形的性质得 ∠EDC＝∠ECD＝45°， 进而即可判断出四边形DFCE是矩形， 最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得出结论.
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵ ，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
∵AG＝AF+FG，
∴BF＝AG＝DG+FG，
∴BF﹣DG＝FG．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的性质可得AB＝AD，∠DAB＝90°，进而由BF⊥AE，DG⊥AE得∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，又∠DAG+∠BAF＝90°，因而有∠ADG＝∠BAF，故可证得△BAF≌△ADG，然后利用全等三角形的性质可得BF＝AG，AF＝DG，而AG＝AF+FG，则有BF＝AG＝DG+FG，故BF﹣DG＝FG.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAC=90°
∵EF⊥AM，
∴∠EFA=90°
∵∠MAB+∠MAE=90°，∠EAM+∠E=90°，
∴∠MAB=∠E
∵AE=AM，
∴ΔABM≌ΔEFA
∴AB=EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形是正方形，可知角B与角BAC都是直角，再由EF与AM垂直，可知角E与角EAF互余，由同角的余角相等可知角E与角BAM相等，与已知条件中的AE与AM相等，即可判断三角形AEF与三角形ABM全等，再由全等三角形的对应边相等，即可证得AB与EF相等。
22．【答案】证明：∵在矩形ABCD中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴△FDC是等腰直角三角形，
同理可得：△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，
∴∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形EMFN是矩形，
在△FDC和△EAB中， ，
∴△FDC≌△EAB（ASA），
∴FD＝EA，
又∵MD＝MA，
∴ME＝MF，
∴矩形EMFN是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】根据矩形的性质和角平分线定义易得△FDC、△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，则∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，可得四边形EMFN是矩形，然后证明△FDC≌△EAB，求出ME＝MF即可证得结论．
1 / 1
