初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.1 认识一元二次方程
一、单选题
1．（2021八下·瑶海期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴ ，
根据一元二次方程的定义A满足条件，故A符合题意；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当 =0，b≠0时 ，一元一次方程，当 时 是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故答案为：A．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
2．（2021八下·丽水期中）将一元二次方程3x2﹣2x＝6化为一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．﹣2，6 B．﹣2，﹣6 C．2，6 D．2，﹣6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵3x2﹣2x＝6 ，
∴3x2﹣2x-6 =0，
∴一次项系数为-2，常数项为-6，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，因此先将原方程化为一般式，再确定每项系数即可．
3．（2021·黄冈模拟）方程 化为一般形式后， 的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由原方程移项，得
，
所以 .
故答案为：C.
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程的一般形式，其中a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c为常数项，据此即可得出答案.
4．（2021九下·江西月考）关于 的方程 是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得， 且 ，即 ，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义，列出 和 ，求解即可．
5．（2021九上·贵州期末）小颖在探索一元二次方程 的近似解时作了如下列表计算.观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）
x 0 1 2 3
5
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：根据表格中的数据，知：
方程的一个解x的范围是：2＜x＜3，
所以方程的其中一个解的整数部分是2.
故答案为：C.
【分析】根据表格中的数据可知，当x=2和3时，x2+x-7的值在-1和5之间，所以可得x的范围2＜x＜3，则方程的其中一个解的整数部分可求解.
6．（2020九上·北京月考）若关于 的方程 是关于 的一元二次方程，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意可得 ， ，
解得， ．
故答案为： ．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：一、未知数的最高次数是2；二、二次项系数不为0．由此可得 ， ，求解即可．
7．（2020九上·新余月考）关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．0或2 C．1或2 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得，m2-2m=0，
解得：m=0，或m=2，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义列出m2-2m=0，求解即可。
8．（2020九上·景县期末）若关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：将x=0代入方程；
a2-1=0，解得x=1或-1
∵方程为一元二次方程
∴a≠1
∴a=-1
故答案为：B.
【分析】根据题意，将x=0代入即可得到a的值，由一元二次方程的性质可知，二次项系数不为0，即可得到符合题意的a的值。
9．（2020八上·咸阳开学考）若（x＋3）（x－5）＝x2＋mx＋n，则（ ）
A．m＝－2，n＝15 B．m＝2，n＝－15
C．m＝2，n＝15 D．m＝－2，n＝－15
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：（x＋3）（x－5）
＝x2-5x＋3x-15
= x2-2x-15
= x2＋mx＋n
∴m=-2，n=-15，
故答案为：D.
【分析】将等式左边展开，再合并同类项，
二、填空题
10．（2021九上·来宾期末）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为-1
则其和为2+4-1=5；
故答案为：5.
【分析】 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．
11．（2021八下·龙口期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝ ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到 ，解得m＝2．
【分析】一元二次方程最高次项为2次，二次项系数不为0
12．（2020九上·北京期中）下列关于x的方程中是一元二次方程的是 （只填序号）．
⑴x2+1＝0；⑵ ；⑶ ；
⑷ ；⑸ ；⑹（x－2）（x－3）＝5．
【答案】（1）和（6）
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：（1）x2+1＝0，是一元二次方程；
⑵ ，是分式方程，不是一元二次方程；
⑶ 是二元二次方程，不是一元二次方程；
⑷ 是一元三次方程，不是一元二次方程；；
⑸ 化简可得： ，是一元一次方程，不是一元二次方程；
⑹（x－2）（x－3）＝5化简可得：x2-5x-11=0，是一元二次方程；
故答案为：（1）和（6）．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
13．（2021九下·东坡开学考）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，则a＝ .
【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，
∴
解之：a=±2且a≠2
∴a=-2.
故答案为：-2.
【分析】利用一元二次方程的二次项系数不为0，可得到a-2≠0，再根据此方程不含一次项，可得到a2-4≠0，由此可求出a的值.
14．（2018九上·紫金期中）如图，某中学准备围建一个矩形面积为72m2的苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30m的篱笆围成．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm，可列方程为 ．
【答案】x（30-2x）=72
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵垂直于墙的边长为xm，
∴平行于墙的一边长是(30-2x)m，
又∵苗圃面积72m2
∴x（30-2x）=72。
故答案为：x（30-2x）=72.
【分析】根据篱笆长30m，垂直于墙的边长xm，则可表示出平行于墙的边长，再结合苗圃面积72m2即可列方程。
15．（2020九上·滨海期中）把方程 化为一元二次方程的一般形式，其结果是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
，
，
∴方程 化为一元二次方程的一般形式为 ，
故答案为: ．
【分析】根据一元二次方程的一般式直接进行求解即可．
三、解答题
16．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
【答案】解：由①知这是一元二次方程，由②③可确定 ，而 的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－ =0.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】开放性的命题，由题知：此题是一个一元二次方程，由②③可确定 a 、 c ，而 b 的值不唯一确定，可为任意数，从而得出答案。
17．（2020九上·灵璧期中）若方程(m-2) +(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.
【答案】解：根据题意,得m2-2=2且m-2≠0,
解得m=±2且m≠2,
所以m=-2,m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-2=2且m-2≠0,据此求出m的值，然后代入代数式计算即可.
18．（2019八下·深圳期末）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
【答案】解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27， 整理，得 16t2﹣9＝27， 所以t2＝ ． ∵t≥0， ∴t＝ ． ∴x2+y2的值是 ．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据题意，将方程进行转化和整理，求出答案即可。
19．已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
【答案】解：将上述方程整理可化简为
因为a为有理数即可知 恒成立， ，
所以该方程为一元二次方程
且二次项系数，一次项系数以及常数项分别为 ，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将方程合并同类项，根据一元二次方程的含义，讨论二次项的系数即可得到答案。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.1 认识一元二次方程
一、单选题
1．（2021八下·瑶海期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八下·丽水期中）将一元二次方程3x2﹣2x＝6化为一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．﹣2，6 B．﹣2，﹣6 C．2，6 D．2，﹣6
3．（2021·黄冈模拟）方程 化为一般形式后， 的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九下·江西月考）关于 的方程 是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·贵州期末）小颖在探索一元二次方程 的近似解时作了如下列表计算.观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）
x 0 1 2 3
5
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2020九上·北京月考）若关于 的方程 是关于 的一元二次方程，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·新余月考）关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．0或2 C．1或2 D．0
8．（2020九上·景县期末）若关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．
9．（2020八上·咸阳开学考）若（x＋3）（x－5）＝x2＋mx＋n，则（ ）
A．m＝－2，n＝15 B．m＝2，n＝－15
C．m＝2，n＝15 D．m＝－2，n＝－15
二、填空题
10．（2021九上·来宾期末）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 .
11．（2021八下·龙口期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝ ．
12．（2020九上·北京期中）下列关于x的方程中是一元二次方程的是 （只填序号）．
⑴x2+1＝0；⑵ ；⑶ ；
⑷ ；⑸ ；⑹（x－2）（x－3）＝5．
13．（2021九下·东坡开学考）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，则a＝ .
14．（2018九上·紫金期中）如图，某中学准备围建一个矩形面积为72m2的苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30m的篱笆围成．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm，可列方程为 ．
15．（2020九上·滨海期中）把方程 化为一元二次方程的一般形式，其结果是 ．
三、解答题
16．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
17．（2020九上·灵璧期中）若方程(m-2) +(3-m)x-2=0是关于x的一元二次方程,试求代数式m2+2m-4的值.
18．（2019八下·深圳期末）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
19．已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴ ，
根据一元二次方程的定义A满足条件，故A符合题意；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当 =0，b≠0时 ，一元一次方程，当 时 是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故答案为：A．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵3x2﹣2x＝6 ，
∴3x2﹣2x-6 =0，
∴一次项系数为-2，常数项为-6，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，因此先将原方程化为一般式，再确定每项系数即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由原方程移项，得
，
所以 .
故答案为：C.
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程的一般形式，其中a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c为常数项，据此即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得， 且 ，即 ，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义，列出 和 ，求解即可．
5．【答案】C
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：根据表格中的数据，知：
方程的一个解x的范围是：2＜x＜3，
所以方程的其中一个解的整数部分是2.
故答案为：C.
【分析】根据表格中的数据可知，当x=2和3时，x2+x-7的值在-1和5之间，所以可得x的范围2＜x＜3，则方程的其中一个解的整数部分可求解.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意可得 ， ，
解得， ．
故答案为： ．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：一、未知数的最高次数是2；二、二次项系数不为0．由此可得 ， ，求解即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得，m2-2m=0，
解得：m=0，或m=2，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义列出m2-2m=0，求解即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：将x=0代入方程；
a2-1=0，解得x=1或-1
∵方程为一元二次方程
∴a≠1
∴a=-1
故答案为：B.
【分析】根据题意，将x=0代入即可得到a的值，由一元二次方程的性质可知，二次项系数不为0，即可得到符合题意的a的值。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：（x＋3）（x－5）
＝x2-5x＋3x-15
= x2-2x-15
= x2＋mx＋n
∴m=-2，n=-15，
故答案为：D.
【分析】将等式左边展开，再合并同类项，
10．【答案】5
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为-1
则其和为2+4-1=5；
故答案为：5.
【分析】 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到 ，解得m＝2．
【分析】一元二次方程最高次项为2次，二次项系数不为0
12．【答案】（1）和（6）
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：（1）x2+1＝0，是一元二次方程；
⑵ ，是分式方程，不是一元二次方程；
⑶ 是二元二次方程，不是一元二次方程；
⑷ 是一元三次方程，不是一元二次方程；；
⑸ 化简可得： ，是一元一次方程，不是一元二次方程；
⑹（x－2）（x－3）＝5化简可得：x2-5x-11=0，是一元二次方程；
故答案为：（1）和（6）．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
13．【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，
∴
解之：a=±2且a≠2
∴a=-2.
故答案为：-2.
【分析】利用一元二次方程的二次项系数不为0，可得到a-2≠0，再根据此方程不含一次项，可得到a2-4≠0，由此可求出a的值.
14．【答案】x（30-2x）=72
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵垂直于墙的边长为xm，
∴平行于墙的一边长是(30-2x)m，
又∵苗圃面积72m2
∴x（30-2x）=72。
故答案为：x（30-2x）=72.
【分析】根据篱笆长30m，垂直于墙的边长xm，则可表示出平行于墙的边长，再结合苗圃面积72m2即可列方程。
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
，
，
∴方程 化为一元二次方程的一般形式为 ，
故答案为: ．
【分析】根据一元二次方程的一般式直接进行求解即可．
16．【答案】解：由①知这是一元二次方程，由②③可确定 ，而 的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－ =0.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】开放性的命题，由题知：此题是一个一元二次方程，由②③可确定 a 、 c ，而 b 的值不唯一确定，可为任意数，从而得出答案。
17．【答案】解：根据题意,得m2-2=2且m-2≠0,
解得m=±2且m≠2,
所以m=-2,m2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=4-4-4=-4.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-2=2且m-2≠0,据此求出m的值，然后代入代数式计算即可.
18．【答案】解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27， 整理，得 16t2﹣9＝27， 所以t2＝ ． ∵t≥0， ∴t＝ ． ∴x2+y2的值是 ．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据题意，将方程进行转化和整理，求出答案即可。
19．【答案】解：将上述方程整理可化简为
因为a为有理数即可知 恒成立， ，
所以该方程为一元二次方程
且二次项系数，一次项系数以及常数项分别为 ，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将方程合并同类项，根据一元二次方程的含义，讨论二次项的系数即可得到答案。
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