初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.2 配方法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2021八下·绍兴期中）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝5
C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
2．（2020九上·房县期中）用配方法将方程 x2- 4x-2= 0 变形为（x- 2）2=m 的过程中， m的值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．（2020九上·沭阳期中）将一元二次方程2x2﹣6x+1＝0配方，得（x+h）2＝k，则h、k的值分别为（ ）
A．3、8 B．﹣3、8 C． 、 D． 、
4．（2021九上·建湖月考）已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式，那么q的值是
A．9 B．3 C．2 D．-2
5．（2021八下·绍兴期中）若方程x2﹣8x+m＝0可通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，则x2+8x+m＝5可配方成（ ）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
6．（2020九上·龙岗期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．
A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C．2t2-7t-4=0化为 D．3y2-4y-2=0化为
7．（2020九上·迁安月考）下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．（人教版初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.1配方法 同步训练）把一元二次方程 化成 的形式，则 的值（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
二、填空题
9．（2019八下·北京期末）用配方法解方程 时，将方程化为 的形式，则m= ，n= ．
10．（2018七上·虹口期中）已知： ，则 = ．
11．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知实数 满足 ，则代数式 的值为 ．
12．（2021八下·海曙月考）将一元二次方程x2-8x-5=0化成 的形式，则 = ．
13．（2020九上·沭阳期中）当 时，代数式 与 的值相等.
14．（2020八下·绍兴月考）将一元二次方程 ，化为 = ，则m为 ．
15．（2020九上·延长期末）用配方法解方程 时，可配方为 ，其中 .
16．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
三、计算题
17．（2020·芜湖模拟）用配方法解方程：
18．（2020·福州模拟）解方程：x2+2x﹣2＝0．
四、解答题
19．（2020八下·吉林期中）已知 ，当 取何值时
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.2.1用配方法解一元二次方程 同步训练）已知当x=2时，二次三项式 的值等于4，那么当x为何值时，这个二次三项式的值是9？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：两边同时加4，得
x2-4x+4=5
∴（x-2）2=5
故答案为：D．
【分析】用配方法解一元二次方程：第一步，把常数项移到等号左边；第二步，二次项系数化为1；第三步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成完全平方的形式.
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程 x2- 4x-2= 0 变形，
x2- 4x=2，
x2- 4x+4=2+4，
（x-2）2=6，
用配方法将方程 x2- 4x-2= 0 变形为（x- 2）2=m 的过程中，
m的值是6.
故答案为：B.
【分析】先将常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程的左边写成完全平方式即得.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣3x＝﹣ ，
则x2﹣3x+ ＝﹣ + ，即（x﹣ ）2＝ ，
∴h＝﹣ ，k＝ ，
故答案为：D.
【分析】先把常数移到左边，再根据完全平方式，结合等式的性质对左边配方，最后作比较即可求出求值.
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项，得x2-6x=-q，
配方，得x2-6x+9=-q+9，即（x-3）2=9-q，
又由原方程可以配方成（x-p）2=7，则可得p=3，9-q=7，
故求得q=2.
故答案为：C.
【分析】由 x2-6x+q=0 可得x2-6x+9=-q+9，等号左边为完全平方式，即为（x-3）2=9-q，根据原式可得9-q=7，即可求解。
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x2-8x+m=0配方，得
∴m=10，n=4
对x2+8x+m=5配方，得
∴
故答案为：D.
【分析】通过对已知方程的配方，由对应的形式，可以得到m=10，n=4.所以，再对求解的方程配方，并把配方后的方程中的m换为10，把配方后的方程中的4换为n.
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
即
∴选项A不符合题意；
即
∴选项B符合题意；
即
∴选项C不符合题意；
即
∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．
7．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，
去分母得： ，即 ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ，
则四个步骤中出现错误的是④．
故答案为： ．
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
8．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】易得 ，所以 ，即 =8.
【分析】此题考查根据配方法把一般式转化为直接开平方形．
9．【答案】m =1；n =6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x2-2x=5，
x2-2x+1=6，
（x-1）2=6，
所以m=1，n=6．
故答案为1，6．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上1，然后把方程作边写成完全平方形式，从而得到m、n的值．
10．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原式可化为：
所以可得：
解得
故答案为3
【分析】配方法化这个二元一次方程的表达式，最终得到答案
11．【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0，
∴ ，
∴2x+ =1+1=2
【分析】根据完全平方公式的特点可将已知的方程的左边配成完全平方式，右边是一个非负数，然后用直接开平方法求得x的值，再将所求的x的值代入所求的代数式中求值。
12．【答案】-33
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-8x-5=0 ，移项得 x2-8x=5，配方得x2-8x+16=5+16，∴（x-4）2=21，∴a=-4，b=21，∴3a-b=3×（-4）-21=-33.
故答案为：-33.
【分析】由配方法解一元二次方程：首先移项，在等号的左边只含二次项和一次项，然后配方，在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，接着左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得a、b的值，代入可得结果.
13．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=1
故答案为：1.
【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.
14．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∴ ,
∴a(x2+x+)=-c+ ,
∴a(x+)2= ,
∴(x+)2=.
∴m=-.
故答案为：-.
【分析】首先方程两边同时减去-c, 然后方程两边同时加上将方程的右边配方，最后和 = 比较即可得出m的值.
15．【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
可配方为 ，
.
故答案为： .
【分析】把方程 左边配成完全平方，与 比较即可.
16．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
17．【答案】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算可得．
18．【答案】解：原方程化为：x2+2x＝2， x2+2x+1＝3 （x+1）2＝3， x+1＝± x1＝﹣1+ ，x2＝﹣1﹣ ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
19．【答案】当 时， ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
当 时， ．
【分析】利用 ，建立一元二次方程求解即可．
20．【答案】解：把x=2代入方程 得
∴m=2，
把m=2代入
∴原方程的实数根为 或 答：
当 或 时，这个二次三项式的值是9.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将x=2代入x 2 2 m x + 8 =4，求出m的值，再将m的值代入方程x2 2mx+8=9，然后利用配方法求出方程的解。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.2 配方法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2021八下·绍兴期中）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝5
C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：两边同时加4，得
x2-4x+4=5
∴（x-2）2=5
故答案为：D．
【分析】用配方法解一元二次方程：第一步，把常数项移到等号左边；第二步，二次项系数化为1；第三步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成完全平方的形式.
2．（2020九上·房县期中）用配方法将方程 x2- 4x-2= 0 变形为（x- 2）2=m 的过程中， m的值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程 x2- 4x-2= 0 变形，
x2- 4x=2，
x2- 4x+4=2+4，
（x-2）2=6，
用配方法将方程 x2- 4x-2= 0 变形为（x- 2）2=m 的过程中，
m的值是6.
故答案为：B.
【分析】先将常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程的左边写成完全平方式即得.
3．（2020九上·沭阳期中）将一元二次方程2x2﹣6x+1＝0配方，得（x+h）2＝k，则h、k的值分别为（ ）
A．3、8 B．﹣3、8 C． 、 D． 、
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣3x＝﹣ ，
则x2﹣3x+ ＝﹣ + ，即（x﹣ ）2＝ ，
∴h＝﹣ ，k＝ ，
故答案为：D.
【分析】先把常数移到左边，再根据完全平方式，结合等式的性质对左边配方，最后作比较即可求出求值.
4．（2021九上·建湖月考）已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式，那么q的值是
A．9 B．3 C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项，得x2-6x=-q，
配方，得x2-6x+9=-q+9，即（x-3）2=9-q，
又由原方程可以配方成（x-p）2=7，则可得p=3，9-q=7，
故求得q=2.
故答案为：C.
【分析】由 x2-6x+q=0 可得x2-6x+9=-q+9，等号左边为完全平方式，即为（x-3）2=9-q，根据原式可得9-q=7，即可求解。
5．（2021八下·绍兴期中）若方程x2﹣8x+m＝0可通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，则x2+8x+m＝5可配方成（ ）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x2-8x+m=0配方，得
∴m=10，n=4
对x2+8x+m=5配方，得
∴
故答案为：D.
【分析】通过对已知方程的配方，由对应的形式，可以得到m=10，n=4.所以，再对求解的方程配方，并把配方后的方程中的m换为10，把配方后的方程中的4换为n.
6．（2020九上·龙岗期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．
A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C．2t2-7t-4=0化为 D．3y2-4y-2=0化为
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
即
∴选项A不符合题意；
即
∴选项B符合题意；
即
∴选项C不符合题意；
即
∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．
7．（2020九上·迁安月考）下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，
去分母得： ，即 ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ，
则四个步骤中出现错误的是④．
故答案为： ．
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
8．（人教版初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.1配方法 同步训练）把一元二次方程 化成 的形式，则 的值（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】易得 ，所以 ，即 =8.
【分析】此题考查根据配方法把一般式转化为直接开平方形．
二、填空题
9．（2019八下·北京期末）用配方法解方程 时，将方程化为 的形式，则m= ，n= ．
【答案】m =1；n =6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x2-2x=5，
x2-2x+1=6，
（x-1）2=6，
所以m=1，n=6．
故答案为1，6．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上1，然后把方程作边写成完全平方形式，从而得到m、n的值．
10．（2018七上·虹口期中）已知： ，则 = ．
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原式可化为：
所以可得：
解得
故答案为3
【分析】配方法化这个二元一次方程的表达式，最终得到答案
11．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知实数 满足 ，则代数式 的值为 ．
【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0，
∴ ，
∴2x+ =1+1=2
【分析】根据完全平方公式的特点可将已知的方程的左边配成完全平方式，右边是一个非负数，然后用直接开平方法求得x的值，再将所求的x的值代入所求的代数式中求值。
12．（2021八下·海曙月考）将一元二次方程x2-8x-5=0化成 的形式，则 = ．
【答案】-33
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-8x-5=0 ，移项得 x2-8x=5，配方得x2-8x+16=5+16，∴（x-4）2=21，∴a=-4，b=21，∴3a-b=3×（-4）-21=-33.
故答案为：-33.
【分析】由配方法解一元二次方程：首先移项，在等号的左边只含二次项和一次项，然后配方，在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，接着左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得a、b的值，代入可得结果.
13．（2020九上·沭阳期中）当 时，代数式 与 的值相等.
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=1
故答案为：1.
【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.
14．（2020八下·绍兴月考）将一元二次方程 ，化为 = ，则m为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∴ ,
∴a(x2+x+)=-c+ ,
∴a(x+)2= ,
∴(x+)2=.
∴m=-.
故答案为：-.
【分析】首先方程两边同时减去-c, 然后方程两边同时加上将方程的右边配方，最后和 = 比较即可得出m的值.
15．（2020九上·延长期末）用配方法解方程 时，可配方为 ，其中 .
【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
可配方为 ，
.
故答案为： .
【分析】把方程 左边配成完全平方，与 比较即可.
16．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
三、计算题
17．（2020·芜湖模拟）用配方法解方程：
【答案】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算可得．
18．（2020·福州模拟）解方程：x2+2x﹣2＝0．
【答案】解：原方程化为：x2+2x＝2， x2+2x+1＝3 （x+1）2＝3， x+1＝± x1＝﹣1+ ，x2＝﹣1﹣ ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
四、解答题
19．（2020八下·吉林期中）已知 ，当 取何值时
【答案】当 时， ．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
当 时， ．
【分析】利用 ，建立一元二次方程求解即可．
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.2.1用配方法解一元二次方程 同步训练）已知当x=2时，二次三项式 的值等于4，那么当x为何值时，这个二次三项式的值是9？
【答案】解：把x=2代入方程 得
∴m=2，
把m=2代入
∴原方程的实数根为 或 答：
当 或 时，这个二次三项式的值是9.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将x=2代入x 2 2 m x + 8 =4，求出m的值，再将m的值代入方程x2 2mx+8=9，然后利用配方法求出方程的解。
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