初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2020八下·扬州期中）用公式法解方程 x2+4 x=2 ,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B． 4 C． D．64
2．以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bc+c=0 B．x2+bx-c=0 C．x2-bx+c=0 D．x2-bx-c=0
3．用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时，化方程为一般式当中的a、b、c，依次为（ ）
A．2，-3，1 B．2，3，-1 C．-2，-3，-1 D．-2，3，1
4．（2020·随县）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·番禺期末）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+ ，x2＝1﹣ D．x1＝1+ ，x2＝1﹣
6．若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m
7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
8．（2020九上·汾阳月考）当 满足 时，方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020九上·巩义月考）关于x的一元二次方程 的两根是 .
10．（2021九上·高邮期末）如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
11．（2020九上·龙岗期末）对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是 。
12．（2020九上·灌云月考）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为 .
13．（2020八下·长兴期中）已知x2-2 x+1=0，则x- = 。
14．（2019九上·龙泉驿期中）若代数式 的值等于代数式 的值，则x= ．
15．（2019九上·西安开学考）若 ,则 的值是 .
三、计算题
16．（2021九上·武功期末）解方程：4x2-8x+1=0
17．（2021九上·渭南期末）解方程： .
18．（2021九上·北海期末）用公式法解一元二次方程： .
19．（2020八上·杨浦期中）解方程：
四、综合题
20．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可.
2．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：一元二次方程的求根公式为x=
∵a＞0
∴根据题意可知，b＜0，c＜0
故答案为：D.
【分析】根据一元二次发工程求根公式，即可得到a＞0，b＜0，c＜0，得到答案即可。
3．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知，2x2+3x-1=0
∴a=2，b=3，c=-1
故答案为：B.
【分析】根据题意，公式法解方程时，首先将一元二次方程化为一般式，即可得到a，b和c的值。
4．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故答案为：C.
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
则x＝ ＝1± ，
即x1＝1+ ，x2＝1﹣ ，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得．
6．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】解答：方程可以化简为x2-（a+b）x+ab-1=0，
根据求根公式得到：
又因 b
∵a ,b
∵a＜b，∴a＜ ＜b，
∴m＜a＜b＜n．
所以本题选A
分析：方程可以化简为x2-（a+b）x+ab-1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a＜b，即可判断．
7．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．
【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．
8．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解得
因为方程 ,
所以 ，
所以 ，
故答案为：D
【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．
9．【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∵a=1，b=-2，c=-1，
∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=8，
∴ ， ，
故答案为： ，
【分析】先确定方程中的a、b、c，然后算出根的判别式的值，最后再利用公式法求解.
10．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
11．【答案】2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵x 4=-4，
∴x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
12．【答案】16或22
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：Δ=b2-4ac= = ，
无论k取何实数值都有Δ = ≥0，
，
则x1=2k，x2= k+1，
①在等腰三角形△ABC中，当边长b，c相等时，
即2k=k+1时，解得k=1，
此时x1=x2=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去），
②在等腰三角形△ABC中，当边长a与x1相等时，
即2k=6时，解得k=3，
此时x1=6，x2= 4，
此时△ABC的周长为6+6+4=16，
③在等腰三角形△ABC中，当边长a与x2相等时，
即k+1=6时，解得k=5，
此时x1=10，x2= 6，
此时△ABC的周长为6+6+10=22，
综上所述：△ABC的周长为16或22；
故答案为16或22.
【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x1=2k，x2= k+1，根据等腰三角形的性质分类讨论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可.
13．【答案】±4
【知识点】分母有理化；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
当,时；
当，时
综上：
故答案为： ±4 .
【分析】先根据求根公式求出方程的根，再分别代入，求出值即可。
14．【答案】 或
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得， ，
整理得， ，
解得：x＝ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据代数式的值相等列出方程，然后解方程即可．
15．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为： .
【分析】首先利用求根公式法算出方程的根，再将代数式拆项变为x2-x-1-2x后整体代入即可算出答案.
16．【答案】解：这里a=4，b=-8，c=1.
∵△=（-8）2-4×4×1=48＞0，
∴x= = .
即x1=，x2=
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式“”计算即可求解.
17．【答案】解：整理得： .
∵ ， ， ，
∴ ，
则 ，
故 ， .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先将方程化成一般式，再利用公式法求解即可.
18．【答案】解： ， ， ，
，
，
原方程的解为 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式的值为8大于0可知方程有两个不相等的实数根，从而将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.
19．【答案】解：
整理，得
∴x－1=0或x－3=0
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程去括号、合并同类项，解方程得到答案即可。
20．【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2020八下·扬州期中）用公式法解方程 x2+4 x=2 ,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B． 4 C． D．64
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可.
2．以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bc+c=0 B．x2+bx-c=0 C．x2-bx+c=0 D．x2-bx-c=0
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：一元二次方程的求根公式为x=
∵a＞0
∴根据题意可知，b＜0，c＜0
故答案为：D.
【分析】根据一元二次发工程求根公式，即可得到a＞0，b＜0，c＜0，得到答案即可。
3．用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时，化方程为一般式当中的a、b、c，依次为（ ）
A．2，-3，1 B．2，3，-1 C．-2，-3，-1 D．-2，3，1
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知，2x2+3x-1=0
∴a=2，b=3，c=-1
故答案为：B.
【分析】根据题意，公式法解方程时，首先将一元二次方程化为一般式，即可得到a，b和c的值。
4．（2020·随县）将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故答案为：C.
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案.
5．（2020九上·番禺期末）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+ ，x2＝1﹣ D．x1＝1+ ，x2＝1﹣
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
则x＝ ＝1± ，
即x1＝1+ ，x2＝1﹣ ，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得．
6．若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】解答：方程可以化简为x2-（a+b）x+ab-1=0，
根据求根公式得到：
又因 b
∵a ,b
∵a＜b，∴a＜ ＜b，
∴m＜a＜b＜n．
所以本题选A
分析：方程可以化简为x2-（a+b）x+ab-1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a＜b，即可判断．
7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．
【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．
8．（2020九上·汾阳月考）当 满足 时，方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解得
因为方程 ,
所以 ，
所以 ，
故答案为：D
【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值．
二、填空题
9．（2020九上·巩义月考）关于x的一元二次方程 的两根是 .
【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∵a=1，b=-2，c=-1，
∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=8，
∴ ， ，
故答案为： ，
【分析】先确定方程中的a、b、c，然后算出根的判别式的值，最后再利用公式法求解.
10．（2021九上·高邮期末）如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
11．（2020九上·龙岗期末）对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是 。
【答案】2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵x 4=-4，
∴x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
12．（2020九上·灌云月考）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为 .
【答案】16或22
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：Δ=b2-4ac= = ，
无论k取何实数值都有Δ = ≥0，
，
则x1=2k，x2= k+1，
①在等腰三角形△ABC中，当边长b，c相等时，
即2k=k+1时，解得k=1，
此时x1=x2=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去），
②在等腰三角形△ABC中，当边长a与x1相等时，
即2k=6时，解得k=3，
此时x1=6，x2= 4，
此时△ABC的周长为6+6+4=16，
③在等腰三角形△ABC中，当边长a与x2相等时，
即k+1=6时，解得k=5，
此时x1=10，x2= 6，
此时△ABC的周长为6+6+10=22，
综上所述：△ABC的周长为16或22；
故答案为16或22.
【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x1=2k，x2= k+1，根据等腰三角形的性质分类讨论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可.
13．（2020八下·长兴期中）已知x2-2 x+1=0，则x- = 。
【答案】±4
【知识点】分母有理化；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
当,时；
当，时
综上：
故答案为： ±4 .
【分析】先根据求根公式求出方程的根，再分别代入，求出值即可。
14．（2019九上·龙泉驿期中）若代数式 的值等于代数式 的值，则x= ．
【答案】 或
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得， ，
整理得， ，
解得：x＝ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据代数式的值相等列出方程，然后解方程即可．
15．（2019九上·西安开学考）若 ,则 的值是 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为： .
【分析】首先利用求根公式法算出方程的根，再将代数式拆项变为x2-x-1-2x后整体代入即可算出答案.
三、计算题
16．（2021九上·武功期末）解方程：4x2-8x+1=0
【答案】解：这里a=4，b=-8，c=1.
∵△=（-8）2-4×4×1=48＞0，
∴x= = .
即x1=，x2=
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式“”计算即可求解.
17．（2021九上·渭南期末）解方程： .
【答案】解：整理得： .
∵ ， ， ，
∴ ，
则 ，
故 ， .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先将方程化成一般式，再利用公式法求解即可.
18．（2021九上·北海期末）用公式法解一元二次方程： .
【答案】解： ， ， ，
，
，
原方程的解为 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式的值为8大于0可知方程有两个不相等的实数根，从而将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.
19．（2020八上·杨浦期中）解方程：
【答案】解：
整理，得
∴x－1=0或x－3=0
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程去括号、合并同类项，解方程得到答案即可。
四、综合题
20．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
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