初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2020·深圳模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（ ）
A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1
2．（2020九上·麻城月考）用因式分解法解方程x2-x﹣6=0为（ ）
A．（x+2）(x+3)=0 B．（x+2）(x-3)=0
C．（x-2）(x+3)=0 D．（x-2）(x-3)=0
3．（2020八下·新昌期中）用下列哪种方法解方程3x2＝16x最合适（ ）
A．开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
4．（2020九上·新乡期末）方程 的解是（ ）
A．4 B．-4 C．-1 D．4或-1
5．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
6．（北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》）已知 ，则m2+n2的值为（ ）
A．-4或2 B．-2或4 C．-4 D．2
7．（北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》）若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
二、填空题
8．（2021九上·南漳期末）解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 .
9．（2020九上·巢湖月考）方程(x-1)(x-3)=0的解为 。
10．（2021九下·郓城月考）当y= 时，代数式y2-2y的值为3．
11．（2021九上·紫阳期末）一元二次方程 的解是 .
12．（2021九上·天门期末）方程 的实数根为 .
13．（华师大版数学九年级上册第22章一元二次方程22.2.1直接开平方法和因式分解法同步练习）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是 ．
14．（北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为 。
15．（北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》）方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为 。
三、计算题
16．（2021八下·湖州期中）解下列方程
（1）
（2）
17．（2021八下·长兴期中）解方程：
（1）x2- 2x-3=0
（2）3x2-2 x=-1
四、解答题
18．（2020九上·榆林月考）阅读下面的例题.
解方程： .
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
（ 2 ）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
∴原方程的解是 ， .
请参照上述方法解方程 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C．
【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
2．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】利用十字乘法把 分解为 ，从而可得答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把方程化为一般形式后，方程不含常数项，用因式分解法最为简单，故答案为：C.
【分析】把方程化为一般形式后，方程的每一项含有公因式x，所以用提取公因式法分解因式即可求即用因式分解法求解.
4．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得：
故答案为：D.
【分析】观察题意可将（x-4）看作一个整体，用提公因式法可求解.
5．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
6．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】设y= m2+n2，
原方程变形为y（y+2）-8=0
整理得，y2+2y-8=0，
（y+4）（y-2）=0，
解得y1=-4，y2=2，
∵m2+n2≥0，
所以m2+n2的值为2，
故选D．
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】设t=x+y，则原方程可化为：t（1-t）+6=0
即-t2+t+6=0
t2-t-6=0
∴t=-2或3，即x+y=-2或3
故选C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法
8．【答案】x＋3＝0(或x－1＝0)
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+3）=0，
x﹣1=0或x+3=0.
故答案为x﹣1=0或x+3=0.
【分析】根据公式“x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)”可将方程的左边分解因式得：（x﹣1）（x+3）=0，由两个因式得乘积为0，这两个因式至少有一个因式为0可得x﹣1=0或x+3=0.
9．【答案】x1=1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： (x-1)(x-3)=0，
∴x-1=0或x-3=0，
∴ x1=1，x2=3 .
故答案为： x1=1，x2=3 .
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，得出x-1=0或x-3=0，即可求出方程的解.
10．【答案】3或-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】根据题意得：y2-2y=3，
y2-2y-3=0，
（y-3）（y+1）=0，
y-3=0，y+1=0，
y1=3，y2=-1，
【分析】利用因式分解法解方程求解即可。
11．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：对方程x2-6x=0进行因式分解可得x(x-6)=0，
∴x=0或x-6=0，
∴x1=0，x2=6.
故答案为：x1=0，x2=6.
【分析】首先对原方程进行因式分解可得x(x-6)=0，然后可得两个关于x的一元一次方程，求解即可.
12．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程整理得： ，
分解因式得： ，
解得： ， .
故答案为： ， .
【分析】方程整理后，方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.
13．【答案】8
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解方程x2-8x+15=0可得（x-3）(x-5), ∴x=3或x=5，
∴△ABC的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为3，∴△ABC的周长为2+3+3=8，
所以答案为：8．
【分析】先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．
14．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，
即（t-1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=-4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案为1．
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2
15．【答案】-8或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1
整理得：2x2-x-1=72-8x-1
2x2+7x-72=0，
则（x+8）（2x-9）=0，
解得：x1=-8，x2=
故答案为：-8或
【分析】首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可
16．【答案】（1）解：x（x-2）=0
x=0或x=2
（2）解：3x2-x-2=0
（x-1）（3x+2）=0
x=1或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先提公因式，然后即可求解；
（2）先移项，利用因式分解法即可求解.
17．【答案】（1）解：（x-3）（x+1）=0
∴x-3-0或x+1=0
解之：x1=3，x2=-1.
（2）解：将原方程转化为 3x2-2 x+1=0
∴
解之：x1=x2=.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：方程右边为0，左边可以分解因式，由此利用因式分解法解方程.
（2）将原方程转化为3x2-2 x+1=0，右边可以分解因式，由此利用因式分解法求出方程的解.
18．【答案】解： （1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
（ 2 ）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故原方程的解是 ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意分为两种情况：（1）当 时，原方程化为 ，（2）当 时，原方程化为 ，然后利用因式分解法求出方程的解即可.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2020·深圳模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（ ）
A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C．
【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
2．（2020九上·麻城月考）用因式分解法解方程x2-x﹣6=0为（ ）
A．（x+2）(x+3)=0 B．（x+2）(x-3)=0
C．（x-2）(x+3)=0 D．（x-2）(x-3)=0
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】利用十字乘法把 分解为 ，从而可得答案.
3．（2020八下·新昌期中）用下列哪种方法解方程3x2＝16x最合适（ ）
A．开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把方程化为一般形式后，方程不含常数项，用因式分解法最为简单，故答案为：C.
【分析】把方程化为一般形式后，方程的每一项含有公因式x，所以用提取公因式法分解因式即可求即用因式分解法求解.
4．（2020九上·新乡期末）方程 的解是（ ）
A．4 B．-4 C．-1 D．4或-1
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得：
故答案为：D.
【分析】观察题意可将（x-4）看作一个整体，用提公因式法可求解.
5．（2021·永州模拟）方程 的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 或 ，
故答案为：B.
【分析】观察方程特点：右边等于0，左边可以分解因式，从而根据几个因式的乘积等于0，则这几个因式至少有一个为0，从而将方程将次为几个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
6．（北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》）已知 ，则m2+n2的值为（ ）
A．-4或2 B．-2或4 C．-4 D．2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】设y= m2+n2，
原方程变形为y（y+2）-8=0
整理得，y2+2y-8=0，
（y+4）（y-2）=0，
解得y1=-4，y2=2，
∵m2+n2≥0，
所以m2+n2的值为2，
故选D．
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的
7．（北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》）若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】设t=x+y，则原方程可化为：t（1-t）+6=0
即-t2+t+6=0
t2-t-6=0
∴t=-2或3，即x+y=-2或3
故选C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法
二、填空题
8．（2021九上·南漳期末）解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 .
【答案】x＋3＝0(或x－1＝0)
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+3）=0，
x﹣1=0或x+3=0.
故答案为x﹣1=0或x+3=0.
【分析】根据公式“x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)”可将方程的左边分解因式得：（x﹣1）（x+3）=0，由两个因式得乘积为0，这两个因式至少有一个因式为0可得x﹣1=0或x+3=0.
9．（2020九上·巢湖月考）方程(x-1)(x-3)=0的解为 。
【答案】x1=1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： (x-1)(x-3)=0，
∴x-1=0或x-3=0，
∴ x1=1，x2=3 .
故答案为： x1=1，x2=3 .
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，得出x-1=0或x-3=0，即可求出方程的解.
10．（2021九下·郓城月考）当y= 时，代数式y2-2y的值为3．
【答案】3或-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】根据题意得：y2-2y=3，
y2-2y-3=0，
（y-3）（y+1）=0，
y-3=0，y+1=0，
y1=3，y2=-1，
【分析】利用因式分解法解方程求解即可。
11．（2021九上·紫阳期末）一元二次方程 的解是 .
【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：对方程x2-6x=0进行因式分解可得x(x-6)=0，
∴x=0或x-6=0，
∴x1=0，x2=6.
故答案为：x1=0，x2=6.
【分析】首先对原方程进行因式分解可得x(x-6)=0，然后可得两个关于x的一元一次方程，求解即可.
12．（2021九上·天门期末）方程 的实数根为 .
【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程整理得： ，
分解因式得： ，
解得： ， .
故答案为： ， .
【分析】方程整理后，方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.
13．（华师大版数学九年级上册第22章一元二次方程22.2.1直接开平方法和因式分解法同步练习）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是 ．
【答案】8
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解方程x2-8x+15=0可得（x-3）(x-5), ∴x=3或x=5，
∴△ABC的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为3，∴△ABC的周长为2+3+3=8，
所以答案为：8．
【分析】先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．
14．（北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为 。
【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，
即（t-1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=-4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案为1．
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2
15．（北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》）方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为 。
【答案】-8或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1
整理得：2x2-x-1=72-8x-1
2x2+7x-72=0，
则（x+8）（2x-9）=0，
解得：x1=-8，x2=
故答案为：-8或
【分析】首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可
三、计算题
16．（2021八下·湖州期中）解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：x（x-2）=0
x=0或x=2
（2）解：3x2-x-2=0
（x-1）（3x+2）=0
x=1或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先提公因式，然后即可求解；
（2）先移项，利用因式分解法即可求解.
17．（2021八下·长兴期中）解方程：
（1）x2- 2x-3=0
（2）3x2-2 x=-1
【答案】（1）解：（x-3）（x+1）=0
∴x-3-0或x+1=0
解之：x1=3，x2=-1.
（2）解：将原方程转化为 3x2-2 x+1=0
∴
解之：x1=x2=.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：方程右边为0，左边可以分解因式，由此利用因式分解法解方程.
（2）将原方程转化为3x2-2 x+1=0，右边可以分解因式，由此利用因式分解法求出方程的解.
四、解答题
18．（2020九上·榆林月考）阅读下面的例题.
解方程： .
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
（ 2 ）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
∴原方程的解是 ， .
请参照上述方法解方程 .
【答案】解： （1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
（ 2 ）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故原方程的解是 ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意分为两种情况：（1）当 时，原方程化为 ，（2）当 时，原方程化为 ，然后利用因式分解法求出方程的解即可.
1 / 1
