初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
2．（2021·覃塘模拟）若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0，
∴ x1x2=.
故答案为：C.
【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案.
3．（2021·桂平模拟）若 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ； .
则 .
故答案为：B.
【分析】一元二次方程根与系数得关系可知：两根之和等于-，两根之积等于.
4．（2021·黄梅模拟）已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 的值为（ ）
A．2 B．－1 C．－ D．－2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题意得，
， ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】通分，可得.根据韦达定理，代入求值.
5．（2021九上·秦淮期末）关于x的方程 （p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．根的符号与p的值有关
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-3）（x-2）=p2（p为常数），
∴x2-5x+6-p2=0，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为6-p2，
∴根的符号与p的值有关，
故答案为：D.
【分析】先把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0）的形式，根据一元二次方程根与系数的关系得出两个根的积为6-p2，即可得出根的符号与p的值有关.
6．（2021·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.
7．（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果.
8．（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的两个不相等的零点
即 是 的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程 有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴ <0
∴
∵ ，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当m=3时， 无意义；
当 时， ，
∴ 取值范围不确定，
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系可以求出 ， 的值，用作差法比较 的大小关系， 的大小关系，根据 可求出m的取值范围，结合 的大小关系， 的大小关系从而得出选项．
二、填空题
9．（2021·娄底模拟）关于x的一元二次方程 有一根是 ，则另外一根是 .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，则-1 x2=-5.
故x2=5.
故答案是：5.
【分析】根据根与系数的关系作答即可.
10．（2021·江西模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值＝ .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1x2＝ =﹣3.
故答案为﹣3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1x2=”可求解.
11．（2021·南京一模）若x2－4x－7＝0的两个根为x1、x2，则x1＋x2－x1x2的值是 .
【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ， .
∴ .
故答案为：11.
【分析】根据根与系数的关系可得代入可得结果.
12．（2021·仙桃）关于x的方程 有两个实数根 .且 .则 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
化成整式方程为 ，
解得 或 ，
经检验， 是所列分式方程的增根， 是所列分式方程的根，
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得：α+β=2m，αβ=m2-m，根据可得m2-3m=0，求解可得m的值，最后进行检验即可.
13．（2021·鄂州）已知实数a、b满足 ，若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵实数a、b满足 ，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴ ，
∵一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ + =2， =﹣3，
∴ = ，
故答案为： .
【分析】根据非负数之和等于0的性质分别列式求出a、b，代入一元二次方程，再根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将原式变形代值计算即可.
14．（2021·南京）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.
15．（2021八下·贵池期末）已知m2-2m-1=0，n2-2n-1=0且mn，则 的值为 ．
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得， 是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
∴
故答案为：-6．
【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。
三、计算题
16．（2021·新化模拟）先化简，再求值：
，其中a，b是一元二次方程 的两个实数根.
【答案】解：原式= =﹣ab
∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式及去括号法则分别去括号，再合并同类项化为最简形式，进而根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案.
17．（2020九上·呼和浩特期中）已知 、 满足 ， ，求 的值．
【答案】解：∵ 、 满足 ， ，
∴若 ，则 ；
若 ，则a，b是关于x的方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 值为2或-47．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】由a，b满足 ， ，可分别从 与 去分析求解，注意当 ，则a，b是关于x的方程 的两根，再利用根与系数的关系求解即可；
18．（2020九上·武汉期中） 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，求代数式 ， 的值.
【答案】解∵ 是关于 的一元二次方程 的两个实数根
∴ ，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，，将原式变形为，，然后分别代入计算即可.
19．（2020九上·随县月考）已知关于x的一元二次方程 .
（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求m的值.
【答案】（1）解：
方程有两个实数根
，即
的最小整数值为 .
（2）解：由根与系数的关系得： ，
由 得：
，
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意利用判别式的意义进行分析，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）由题意利用根与系数的关系得到 ， ，进而再利用完全平方公式的恒等变形将已知方程 ，变形为（x1+x2）2-x1x2=后整体代入即可得出一个关于字母m的方程，解方程即可.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
2．（2021·覃塘模拟）若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为
A．-3 B．3 C．-4 D．4
3．（2021·桂平模拟）若 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
4．（2021·黄梅模拟）已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 的值为（ ）
A．2 B．－1 C．－ D．－2
5．（2021九上·秦淮期末）关于x的方程 （p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．根的符号与p的值有关
6．（2021·贵港）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
7．（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·娄底模拟）关于x的一元二次方程 有一根是 ，则另外一根是 .
10．（2021·江西模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值＝ .
11．（2021·南京一模）若x2－4x－7＝0的两个根为x1、x2，则x1＋x2－x1x2的值是 .
12．（2021·仙桃）关于x的方程 有两个实数根 .且 .则 .
13．（2021·鄂州）已知实数a、b满足 ，若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，则 .
14．（2021·南京）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 .
15．（2021八下·贵池期末）已知m2-2m-1=0，n2-2n-1=0且mn，则 的值为 ．
三、计算题
16．（2021·新化模拟）先化简，再求值：
，其中a，b是一元二次方程 的两个实数根.
17．（2020九上·呼和浩特期中）已知 、 满足 ， ，求 的值．
18．（2020九上·武汉期中） 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，求代数式 ， 的值.
19．（2020九上·随县月考）已知关于x的一元二次方程 .
（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0，
∴ x1x2=.
故答案为：C.
【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ； .
则 .
故答案为：B.
【分析】一元二次方程根与系数得关系可知：两根之和等于-，两根之积等于.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题意得，
， ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】通分，可得.根据韦达定理，代入求值.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-3）（x-2）=p2（p为常数），
∴x2-5x+6-p2=0，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为6-p2，
∴根的符号与p的值有关，
故答案为：D.
【分析】先把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0）的形式，根据一元二次方程根与系数的关系得出两个根的积为6-p2，即可得出根的符号与p的值有关.
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的两个不相等的零点
即 是 的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程 有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴ <0
∴
∵ ，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当m=3时， 无意义；
当 时， ，
∴ 取值范围不确定，
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系可以求出 ， 的值，用作差法比较 的大小关系， 的大小关系，根据 可求出m的取值范围，结合 的大小关系， 的大小关系从而得出选项．
9．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x2，则-1 x2=-5.
故x2=5.
故答案是：5.
【分析】根据根与系数的关系作答即可.
10．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1x2＝ =﹣3.
故答案为﹣3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1x2=”可求解.
11．【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ， .
∴ .
故答案为：11.
【分析】根据根与系数的关系可得代入可得结果.
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
化成整式方程为 ，
解得 或 ，
经检验， 是所列分式方程的增根， 是所列分式方程的根，
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得：α+β=2m，αβ=m2-m，根据可得m2-3m=0，求解可得m的值，最后进行检验即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵实数a、b满足 ，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴ ，
∵一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ + =2， =﹣3，
∴ = ，
故答案为： .
【分析】根据非负数之和等于0的性质分别列式求出a、b，代入一元二次方程，再根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将原式变形代值计算即可.
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.
15．【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得， 是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
∴
故答案为：-6．
【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。
16．【答案】解：原式= =﹣ab
∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式及去括号法则分别去括号，再合并同类项化为最简形式，进而根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案.
17．【答案】解：∵ 、 满足 ， ，
∴若 ，则 ；
若 ，则a，b是关于x的方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 值为2或-47．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】由a，b满足 ， ，可分别从 与 去分析求解，注意当 ，则a，b是关于x的方程 的两根，再利用根与系数的关系求解即可；
18．【答案】解∵ 是关于 的一元二次方程 的两个实数根
∴ ，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，，将原式变形为，，然后分别代入计算即可.
19．【答案】（1）解：
方程有两个实数根
，即
的最小整数值为 .
（2）解：由根与系数的关系得： ，
由 得：
，
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意利用判别式的意义进行分析，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）由题意利用根与系数的关系得到 ， ，进而再利用完全平方公式的恒等变形将已知方程 ，变形为（x1+x2）2-x1x2=后整体代入即可得出一个关于字母m的方程，解方程即可.
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