初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.6 应用一元二次方程
一、单选题
1．（2021九上·恩施期末）如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的 ，则路宽x应满足的方程是（ ）
A．(40－x)(70－x)＝2450 B．(40－x)(70－x)＝350
C．(40－2x)(70－3x)＝2450 D．(40－2x)(70－3x)＝350
2．（2020九上·东莞期中）初三、三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题意，可列方程（ ）
A．x（x+1）=1640 B．x（x－1）=1640
C．2x（x+1）=1640 D．x（x－1）=2×1640
3．（2020·中山模拟）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形.设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）
A．x（20+x）=64 B．x（20﹣x）=64
C．x（40+x）=64 D．x（40﹣x）=64
4．（2021七下·温州期末）将边长为m的三个正方形纸片按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35。则图2中长方形的周长是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
5．（2021八下·蜀山期末）某模具公司销售员小王一月份销售额为8万元，已知小王第一季度销售额为34.88万元，若设小王平均每月销售额的增长率均为x，可以列出方程为（ ）
A． 8（1+x）2=34.88
B． 8（1+3x）=34.88
C． 8[1+（1+x）+（1+x）2]= 34.88
D． 34.88（1-x）2=8
6．（2021八下·北仑期中）如图，在一个长方形舞台ABCD中铺上一块正方形的地毯，供演出用。已知长方形舞台的面积为30 m2，若正方形的边长为x m，则下列关于x方程正确的是 （ ）
A．(1.5+x)(1+x)=30 B．(1.5－x)(1－x)=30
C．(3+x)(2+x)=30 D．x2+2×3=30
7．（2021九上·平昌期末）一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有 人感染，设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两根，则（ ）
A．k=16 B．k=25
C．k=-16或k=-25 D．k=16或k=25
二、填空题
9．（2020九上·云梦月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支. 若主干、支干和小分支的总数是
57，设每个支干长出
x 个小分支，则可列方程为
10．（2021八下·龙湾期中）某种品牌手机经过4，5月份连续两次降价，每部售价由5000元降到3600元，且5月份降价的百分率是4月份降价的百分率的2倍．设4月份降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
11．（2021·济南模拟）由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 ．
12．（2021七下·江阴期中）已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2014= .
13．（2021·椒江模拟）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c＝a+k（b﹣a），这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得 ，据此可得，最佳乐观系数k的值等于 ．
14．（2020九上·万荣期末）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即为剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是888cm2，则剪掉的小正方形的边长为 cm．
三、解答题
15．（2021·庆阳模拟）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
16．（2021·福建模拟）如图，在足够大的空地上有一段长为 的旧墙 ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ，其中 .已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了 木栏.若所围成的矩形菜园的面积为 ，求 的长.
17．（2021八下·瑶海期中）如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，求道路的宽
18．（2021八下·合肥期中）国贸大厦销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，国贸决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么国贸平均每天可多售出2件，国贸若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设路宽为x，
（40-2x）（70-3x）=（1- ）×70×40，
（40-2x）（70-3x）=2450.
故答案为：C.
【分析】设路宽为x，根据矩形的面积=长×宽可列关于x的方程，解方程可求解.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设全班有 名学生，则每人要赠送 张相片，由题意得，
，
故答案为：B．
【分析】根据全班共送了1640张照片，可列方程。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（20-x）cm，
根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：x（20﹣x）=64，
故答案为：B.
【分析】根据长方形的面积=长×宽可列方程.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图一得n=3m-2，
∵图2长方形的面积为25，
∴3mn=35，
∴3m（3m-2）=35，
解得，，
∴n=5，
故图2中长方形的周长为，
故答案为：A.
【分析】先用m表示n，再运用长方形面积公式求出m，进而求出n，接着运用长方形周长公式即可求解.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：
二月份销售额：
三月份销售额：
第一季度销售额：8==34.88
故答案为：C
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），本题可以先求出二月的销售额，在表达出三月份的，然后三个月的销售额相加，即可列出方程。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若正方形的边长为x m，根据题意得
(3+x)(2+x)=30.
故答案为：C.
【分析】利用图形可得到长方形的长和宽，再利用长方形的面积等于长乘以宽，列方程即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，
即(1+x)2=121，
故答案为：C.
【分析】第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的有（x+1)人，则传染了（x+1)人，根据共有121人列出方程即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】当BC是腰，则AB或AC有一个是8，故82-10×8+k=0，
解得：k=16，
当BC是底，则AB和AC是腰，则b2-4ac=102-4×1×k=100-4k=0，
解得：k=25，
综上所述：k=16或k=25．
故选：D．
【分析】根据当BC是腰，则AB或AC有一个是8，进而得出k的值，再利用当BC是底，则AB和AC是腰，再利用根的判别式求出即可
9．【答案】x +x+1=57
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x +x+1=57.
故答案为 ：x +x+1=57.
【分析】 由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2＋x＋1个分支，结合题意即可列方程．
10．【答案】5000（1-x）（1-2x）=3600
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设4月份降价的百分率为x， 则五月份降价的百分率为2x，由题意得：
5000（1-x）（1-2x）=3600，
故答案为：5000（1-x）（1-2x）=3600.
【分析】设4月份降价的百分率为x， 则五月份降价的百分率为2x，依据 某种品牌手机经过4，5月份连续两次降价，售价由5000元降到3600元，即可列出方程.
11．【答案】5.2m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可知小长方形的面积为： 1.6÷10=0.16m2，设小长方形的宽为xm，则小长方形的长为：4xm，因此可得小长方形的面积为4x2=0.16，解得小长方形的宽为x=0.2m，所以大长方形的宽为5×0.2=1m，长为：8x=8×0.2=1.6m，所以大长方形的周长为：（1+1.6）×2=5.2m.
【分析】先求出4x2=0.16，再求出x=0.2m，最后计算求解即可。
12．【答案】2015
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】∵m2+m﹣1=0，
∴m2+m=1，
∴m3+2m2+2014
=m（m2+m）+m2+2014
=m2+m+2014
=1+2014
=2015.
故答案为2015.
【分析】根据降次可得m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014，根据m2+m﹣1=0可得m2+m=1，代入可得结果.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵c＝a+k（b﹣a），
∴（c-a）2=（b-a）（b-c），c-a=k（b-a）
∴k2（b-a）2=（b-a）（b-c）
∵b＞a
∴b-a≠0
∴k2（b-a）=b-a-k（b-a）
∴k2=1-k即k2+k-1=0
解之：
∵0≤k≤1
∴.
故答案为：.
【分析】将已知条件转化为（c-a）2=（b-a）（b-c），c-a=k（b-a），再整体代入可得到k2（b-a）2=（b-a）（b-c），根据已知可得到b-a≠0，由此可推出k2+k-1=0；然后利用公式法求出方程的解，根据0≤k≤1，可得到k的值.
14．【答案】6
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，
根据题意，得：2x2+20x×2=30×40-888，
x2+20x-156=0，
解这个方程得：x1=6，x2=-26（不合题意，应舍去），
故答案为：6．
【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值．
15．【答案】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3.由题意得；
10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答：周瑜去世的年龄为36岁.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3 ，根据“个位平方与寿符 ”构建方程求解，即可解答.
16．【答案】解：设 的长为 ，则 的长为 .
依题意，得 ，
解得 ， .
当 时， （不符合题意，舍去）.
当 时， .
∴ 的长为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设AB＝x米，则AD＝ 米，根据矩形的面积公式得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，故可求出AD的长.
17．【答案】解：设道路的宽为x米，
则可列方程：
x（24﹣4x）+x（40﹣4x）+16x2＝ ×40×24，
即：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10（舍去）．
答：道路的宽为2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设道路的宽为x米， 根据道路的宽为正方形的边长的 的 ，可得正方形的边长为4x, 根据道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，列出方程，求解并检验即可.
18．【答案】解：设每件衬衫应降价x元，实际每天销量为（20+2x）件，每件利润（40-x）元，
(20+2x)(40-x)=1200
解得x=10或x=20
为了尽快减少库存，应保证销量更大，
所以x=20，每件衬衫应降价20元。
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用问题中的利润问题，先根据降价金额，表示出实际的销售量，然后利用关系式： 总利润=每件利润×件数，列方程求解，为了尽快减少库存，计算出的结果应该保证销量更大，所以利润相同的情况下要选择降价更多的方案。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.6 应用一元二次方程
一、单选题
1．（2021九上·恩施期末）如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的 ，则路宽x应满足的方程是（ ）
A．(40－x)(70－x)＝2450 B．(40－x)(70－x)＝350
C．(40－2x)(70－3x)＝2450 D．(40－2x)(70－3x)＝350
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设路宽为x，
（40-2x）（70-3x）=（1- ）×70×40，
（40-2x）（70-3x）=2450.
故答案为：C.
【分析】设路宽为x，根据矩形的面积=长×宽可列关于x的方程，解方程可求解.
2．（2020九上·东莞期中）初三、三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题意，可列方程（ ）
A．x（x+1）=1640 B．x（x－1）=1640
C．2x（x+1）=1640 D．x（x－1）=2×1640
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设全班有 名学生，则每人要赠送 张相片，由题意得，
，
故答案为：B．
【分析】根据全班共送了1640张照片，可列方程。
3．（2020·中山模拟）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形.设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）
A．x（20+x）=64 B．x（20﹣x）=64
C．x（40+x）=64 D．x（40﹣x）=64
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（20-x）cm，
根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：x（20﹣x）=64，
故答案为：B.
【分析】根据长方形的面积=长×宽可列方程.
4．（2021七下·温州期末）将边长为m的三个正方形纸片按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35。则图2中长方形的周长是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图一得n=3m-2，
∵图2长方形的面积为25，
∴3mn=35，
∴3m（3m-2）=35，
解得，，
∴n=5，
故图2中长方形的周长为，
故答案为：A.
【分析】先用m表示n，再运用长方形面积公式求出m，进而求出n，接着运用长方形周长公式即可求解.
5．（2021八下·蜀山期末）某模具公司销售员小王一月份销售额为8万元，已知小王第一季度销售额为34.88万元，若设小王平均每月销售额的增长率均为x，可以列出方程为（ ）
A． 8（1+x）2=34.88
B． 8（1+3x）=34.88
C． 8[1+（1+x）+（1+x）2]= 34.88
D． 34.88（1-x）2=8
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：
二月份销售额：
三月份销售额：
第一季度销售额：8==34.88
故答案为：C
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），本题可以先求出二月的销售额，在表达出三月份的，然后三个月的销售额相加，即可列出方程。
6．（2021八下·北仑期中）如图，在一个长方形舞台ABCD中铺上一块正方形的地毯，供演出用。已知长方形舞台的面积为30 m2，若正方形的边长为x m，则下列关于x方程正确的是 （ ）
A．(1.5+x)(1+x)=30 B．(1.5－x)(1－x)=30
C．(3+x)(2+x)=30 D．x2+2×3=30
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若正方形的边长为x m，根据题意得
(3+x)(2+x)=30.
故答案为：C.
【分析】利用图形可得到长方形的长和宽，再利用长方形的面积等于长乘以宽，列方程即可.
7．（2021九上·平昌期末）一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有 人感染，设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，
即(1+x)2=121，
故答案为：C.
【分析】第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的有（x+1)人，则传染了（x+1)人，根据共有121人列出方程即可.
8．已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两根，则（ ）
A．k=16 B．k=25
C．k=-16或k=-25 D．k=16或k=25
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】当BC是腰，则AB或AC有一个是8，故82-10×8+k=0，
解得：k=16，
当BC是底，则AB和AC是腰，则b2-4ac=102-4×1×k=100-4k=0，
解得：k=25，
综上所述：k=16或k=25．
故选：D．
【分析】根据当BC是腰，则AB或AC有一个是8，进而得出k的值，再利用当BC是底，则AB和AC是腰，再利用根的判别式求出即可
二、填空题
9．（2020九上·云梦月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支. 若主干、支干和小分支的总数是
57，设每个支干长出
x 个小分支，则可列方程为
【答案】x +x+1=57
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x +x+1=57.
故答案为 ：x +x+1=57.
【分析】 由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2＋x＋1个分支，结合题意即可列方程．
10．（2021八下·龙湾期中）某种品牌手机经过4，5月份连续两次降价，每部售价由5000元降到3600元，且5月份降价的百分率是4月份降价的百分率的2倍．设4月份降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
【答案】5000（1-x）（1-2x）=3600
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 设4月份降价的百分率为x， 则五月份降价的百分率为2x，由题意得：
5000（1-x）（1-2x）=3600，
故答案为：5000（1-x）（1-2x）=3600.
【分析】设4月份降价的百分率为x， 则五月份降价的百分率为2x，依据 某种品牌手机经过4，5月份连续两次降价，售价由5000元降到3600元，即可列出方程.
11．（2021·济南模拟）由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 ．
【答案】5.2m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可知小长方形的面积为： 1.6÷10=0.16m2，设小长方形的宽为xm，则小长方形的长为：4xm，因此可得小长方形的面积为4x2=0.16，解得小长方形的宽为x=0.2m，所以大长方形的宽为5×0.2=1m，长为：8x=8×0.2=1.6m，所以大长方形的周长为：（1+1.6）×2=5.2m.
【分析】先求出4x2=0.16，再求出x=0.2m，最后计算求解即可。
12．（2021七下·江阴期中）已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2014= .
【答案】2015
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】∵m2+m﹣1=0，
∴m2+m=1，
∴m3+2m2+2014
=m（m2+m）+m2+2014
=m2+m+2014
=1+2014
=2015.
故答案为2015.
【分析】根据降次可得m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014，根据m2+m﹣1=0可得m2+m=1，代入可得结果.
13．（2021·椒江模拟）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c＝a+k（b﹣a），这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得 ，据此可得，最佳乐观系数k的值等于 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵c＝a+k（b﹣a），
∴（c-a）2=（b-a）（b-c），c-a=k（b-a）
∴k2（b-a）2=（b-a）（b-c）
∵b＞a
∴b-a≠0
∴k2（b-a）=b-a-k（b-a）
∴k2=1-k即k2+k-1=0
解之：
∵0≤k≤1
∴.
故答案为：.
【分析】将已知条件转化为（c-a）2=（b-a）（b-c），c-a=k（b-a），再整体代入可得到k2（b-a）2=（b-a）（b-c），根据已知可得到b-a≠0，由此可推出k2+k-1=0；然后利用公式法求出方程的解，根据0≤k≤1，可得到k的值.
14．（2020九上·万荣期末）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即为剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是888cm2，则剪掉的小正方形的边长为 cm．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，
根据题意，得：2x2+20x×2=30×40-888，
x2+20x-156=0，
解这个方程得：x1=6，x2=-26（不合题意，应舍去），
故答案为：6．
【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值．
三、解答题
15．（2021·庆阳模拟）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
【答案】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3.由题意得；
10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答：周瑜去世的年龄为36岁.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3 ，根据“个位平方与寿符 ”构建方程求解，即可解答.
16．（2021·福建模拟）如图，在足够大的空地上有一段长为 的旧墙 ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ，其中 .已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了 木栏.若所围成的矩形菜园的面积为 ，求 的长.
【答案】解：设 的长为 ，则 的长为 .
依题意，得 ，
解得 ， .
当 时， （不符合题意，舍去）.
当 时， .
∴ 的长为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设AB＝x米，则AD＝ 米，根据矩形的面积公式得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，故可求出AD的长.
17．（2021八下·瑶海期中）如图，某旅游景点要在长、宽分别为40m、24m的矩形水池的正中央建立一个与矩形的各边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，求道路的宽
【答案】解：设道路的宽为x米，
则可列方程：
x（24﹣4x）+x（40﹣4x）+16x2＝ ×40×24，
即：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10（舍去）．
答：道路的宽为2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设道路的宽为x米， 根据道路的宽为正方形的边长的 的 ，可得正方形的边长为4x, 根据道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的 ，列出方程，求解并检验即可.
18．（2021八下·合肥期中）国贸大厦销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，国贸决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么国贸平均每天可多售出2件，国贸若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】解：设每件衬衫应降价x元，实际每天销量为（20+2x）件，每件利润（40-x）元，
(20+2x)(40-x)=1200
解得x=10或x=20
为了尽快减少库存，应保证销量更大，
所以x=20，每件衬衫应降价20元。
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用问题中的利润问题，先根据降价金额，表示出实际的销售量，然后利用关系式： 总利润=每件利润×件数，列方程求解，为了尽快减少库存，计算出的结果应该保证销量更大，所以利润相同的情况下要选择降价更多的方案。
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