北京市东直门高中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

北京市东直门中学2020~2021学年度第二学期期中考试
高二数学
考试时间：120分钟 总分：150分
第一部分（选择题）
一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）
1. 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
A. B. C. D.
3. 某物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（ ）
A. 是物体从开始到这段时间内的平均速度
B. 是物体从到这段时间内的速度
C. 是物体在这一时刻瞬时速度
D. 是物体从到这段时间内的平均速度
4. 已知为等差数列，为其前项和.若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的导数为
A. B.
C. D.
6. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A. 12种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
7. 在的展开式中，的系数为12，则的值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
8. 函数f（x）＝（x2﹣1）3+2的极值点是（　　）
A. x＝1 B. x＝﹣1或x＝1或x＝0
C. x＝0 D. x＝﹣1或x＝1
9. 已知点，，，则“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 若直线与函数,的图像分别交于点?,当?两点距离最近时,
A. B. C. 1 D.
11. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张.不同取法的种数为
A. B. C. D.
12. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
第二部分（非选择题）
二、填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）
13. 已知双曲线经过点，那么m的值为___________，C的渐近线方程为___________.
14. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
15. 若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____
16. 已知是函数的极小值点，则_____________.
17. 设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P
其中所有真命题的序号是___________.
三、解答题（本题有6小题，共77分）
18. 已知是各项均为正数的等比数列，，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和，并求的最大值．
19. 已知函数．
（1）求在点处切线方程；
（2）求的单调区间与极值，并说明是极大值还是极小值．
20. 如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线倾斜角为，求的值；
（Ⅱ）若在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅲ）请直接写出的零点个数．
22. 已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
（ⅰ）求证：直线斜率之积为定值；
（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.
23. 设为正整数，若满足：①，，2，…，；②对于，均有．则称具有性质．对于和，定义集合．
（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个．
北京市东直门中学2020~2021学年度第二学期期中考试
高二数学 答案版
考试时间：120分钟 总分：150分
第一部分（选择题）
一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）
1. 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】C
2. 8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
A. B. C. D.
【答案】A
3. 某物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（ ）
A. 是物体从开始到这段时间内的平均速度
B. 是物体从到这段时间内的速度
C. 是物体在这一时刻瞬时速度
D. 是物体从到这段时间内的平均速度
【答案】C
4. 已知为等差数列，为其前项和.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 函数的导数为
A. B.
C. D.
【答案】A
6. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A. 12种 B. 24种 C. 30种 D. 36种
【答案】B
7. 在的展开式中，的系数为12，则的值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
8. 函数f（x）＝（x2﹣1）3+2的极值点是（　　）
A. x＝1 B. x＝﹣1或x＝1或x＝0
C. x＝0 D. x＝﹣1或x＝1
【答案】C
9. 已知点，，，则“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
10. 若直线与函数,的图像分别交于点?,当?两点距离最近时,
A. B. C. 1 D.
【答案】D
11. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张.不同取法的种数为
A. B. C. D.
【答案】C
12. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
第二部分（非选择题）
二、填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）
13. 已知双曲线经过点，那么m的值为___________，C的渐近线方程为___________.
【答案】 ①. ②.
14. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
【答案】1080
15. 若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____
【答案】2025
16. 已知是函数的极小值点，则_____________.
【答案】1
17. 设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P
其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①②④
三、解答题（本题有6小题，共77分）
18. 已知是各项均为正数的等比数列，，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和，并求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），最大值为
19. 已知函数．
（1）求在点处切线方程；
（2）求的单调区间与极值，并说明是极大值还是极小值．
【答案】（1）；（2）.
20. 如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）在棱上存在点，使得平面，且.
21. 已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线倾斜角为，求的值；
（Ⅱ）若在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅲ）请直接写出的零点个数．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为；（Ⅲ）当时，只有1个零点；当时，只有3个零点.
22. 已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
（ⅰ）求证：直线斜率之积为定值；
（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.
【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.
23. 设为正整数，若满足：①，，2，…，；②对于，均有．则称具有性质．对于和，定义集合．
（1）设，若具有性质，写出一个及相应的；
（2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个．
【答案】（1），（2）存在具有性质的和，满足为，（3）证明见解析