晋江一中2021年春高二下期中考数学试卷
一、单选题
1. 已知变量x与y满足关系,变量y与z负相关.下列结论正确的是( )
A. 变量x与y正相关,变量x与z正相关
B. 变量x与y正相关,变量x与z负相关
C. 变量x与y负相关,变量x与z正相关
D. 变量x与y负相关,变量x与z负相关
2. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点不相同”,B为“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
3. 某校高二期末考试学生的数学成绩(满分150分)服从正态分布,且,则( )
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用表示所选3人中女生的人数,则为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为( )
A. B. C. D.
6. 在新的高考改革方案中规定:每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)(物理、历史)选(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的,则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数,直线与曲线相切,则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知定义在,上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 关于变量x,y的n个样本点及其线性回归方程.下列说法正确的有( )
A. 相关系数r的绝对值|r|越接近0,表示x,y的线性相关程度越强
B. 相关指数值越接近1,表示线性回归方程拟合效果越好
C. 残差平方和越大,表示线性回归方程拟合效果越好
D. 若,则点一定在线性回归方程上
10. 对于的展开式,下列说法正确的是( )
A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为64
C. 常数项为1215 D. 二项式系数最大的项为第3项
11. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数(例如10100)其中A的各位数中出现0的概率为,出现1的概率为,记,则当程序运行一次时( )
A. X服从二项分布 B.
C. X的期望 D. X的方差
12. 甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球;乙罐中有5个红球,3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以,和表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列的结论:其中正确结论的为( )
A. B.
C. 事件与事件不相互独立 D. ,,是两两互斥事件
三、填空题
13. 已知,则_________.
14. 若随机变量的分布列如下表,且,则的值为________.
0 2
15. 某高校“统计初步"”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:
专业性别 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,计算得到______(保留三位小数),所以判定_______(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系.
附:
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 60.35 7.879 10.828
16. 已知函数在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17. 已知是等差数列,是等比数列,且,,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
18. 如图,三棱柱中,侧面,已知,,,点E是棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角余弦值.
19. 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q≤80时,为酒后驾车;当Q>80时,为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内).
(1) 求此次拦查中醉酒驾车的人数;
(2) 从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,
再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望.
20. 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入x(亿元)与科技改造直接收益y(亿元)的数据统计如下:
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 12 22 31 42 50 56 58 68.5 68 675 66 68
当时,建立了y与x的两个回归模型:模型①:;模型②:;当时,确定y与x满足的经验回归方程为:.
(1)根据下列表格中的数据,比较当时模型①、②的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
(附:刻画回归效果的相关指数)
(2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小.
(附:用最小二乘法求经验回归方程的系数公式)
21. 已知是椭圆的左焦点,焦距为,且过点.
(1)求的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,若与交于两点,与交于两点,记的中点为的中点为,试判断直线是否过定点,若过点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
22. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设函数图象上不重合的两点.证明:.(是直线的斜率)
晋江一中2021年春高二下期中考数学试卷 答案版
一、单选题
1. 已知变量x与y满足关系,变量y与z负相关.下列结论正确的是( )
A. 变量x与y正相关,变量x与z正相关
B. 变量x与y正相关,变量x与z负相关
C. 变量x与y负相关,变量x与z正相关
D. 变量x与y负相关,变量x与z负相关
【答案】B
2. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点不相同”,B为“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
3. 某校高二期末考试学生的数学成绩(满分150分)服从正态分布,且,则( )
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
【答案】D
4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用表示所选3人中女生的人数,则为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
5. 已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
6. 在新的高考改革方案中规定:每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)(物理、历史)选(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的,则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
7. 已知函数,直线与曲线相切,则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
8. 已知定义在,上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
二、多选题
9. 关于变量x,y的n个样本点及其线性回归方程.下列说法正确的有( )
A. 相关系数r的绝对值|r|越接近0,表示x,y的线性相关程度越强
B. 相关指数值越接近1,表示线性回归方程拟合效果越好
C. 残差平方和越大,表示线性回归方程拟合效果越好
D. 若,则点一定在线性回归方程上
【答案】BD
10. 对于的展开式,下列说法正确的是( )
A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为64
C. 常数项为1215 D. 二项式系数最大的项为第3项
【答案】ABC
11. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数(例如10100)其中A的各位数中出现0的概率为,出现1的概率为,记,则当程序运行一次时( )
A. X服从二项分布 B.
C. X的期望 D. X的方差
【答案】ABC
12. 甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球;乙罐中有5个红球,3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以,和表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列的结论:其中正确结论的为( )
A. B.
C. 事件与事件不相互独立 D. ,,是两两互斥事件
【答案】BCD
三、填空题
13. 已知,则_________.
【答案】
14. 若随机变量的分布列如下表,且,则的值为________.
0 2
【答案】
15. 某高校“统计初步"”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:
专业性别 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,计算得到______(保留三位小数),所以判定_______(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系.
附:
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 60.35 7.879 10.828
【答案】 ①. 4844 ②. 能
16. 已知函数在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是______.
【答案】
四、解答题
17. 已知是等差数列,是等比数列,且,,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
【答案】(1);(2).
18. 如图,三棱柱中,侧面,已知,,,点E是棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
19. 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q≤80时,为酒后驾车;当Q>80时,为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内).
(1) 求此次拦查中醉酒驾车的人数;
(2) 从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,
再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望.
【答案】(1)15人;(2)
20. 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入x(亿元)与科技改造直接收益y(亿元)的数据统计如下:
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 12 22 31 42 50 56 58 68.5 68 675 66 68
当时,建立了y与x的两个回归模型:模型①:;模型②:;当时,确定y与x满足的经验回归方程为:.
(1)根据下列表格中的数据,比较当时模型①、②的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
(附:刻画回归效果的相关指数)
(2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小.
(附:用最小二乘法求经验回归方程的系数公式)
【答案】(1)回归模型②刻画的拟合效果更好,70.8(亿元);(2)科技改造投入20亿元时,公司的实际收益更大.
21. 已知是椭圆的左焦点,焦距为,且过点.
(1)求的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,若与交于两点,与交于两点,记的中点为的中点为,试判断直线是否过定点,若过点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)过定点,.
22. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设函数图象上不重合的两点.证明:.(是直线的斜率)
【答案】(1)①当时,函数在上单调递增;②当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(2)证明见解析