福建省泉州市晋江一高2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

晋江一中2021年春高二下期中考数学试卷
一、单选题
1. 已知变量x与y满足关系，变量y与z负相关．下列结论正确的是（ ）
A. 变量x与y正相关，变量x与z正相关
B. 变量x与y正相关，变量x与z负相关
C. 变量x与y负相关，变量x与z正相关
D. 变量x与y负相关，变量x与z负相关
2. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于（ ）
A. B. C. D.
3. 某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，直线与曲线相切，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知定义在，上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 关于变量x，y的n个样本点及其线性回归方程．下列说法正确的有（ ）
A. 相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
B. 相关指数值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好
C. 残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
D. 若，则点一定在线性回归方程上
10. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为64
C. 常数项为1215 D. 二项式系数最大的项为第3项
11. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A. X服从二项分布 B.
C. X的期望 D. X的方差
12. 甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A. B.
C. 事件与事件不相互独立 D. ，，是两两互斥事件
三、填空题
13. 已知，则_________．
14. 若随机变量的分布列如下表，且，则的值为________.
0 2



15. 某高校“统计初步"”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
专业性别 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到______（保留三位小数），所以判定_______（填“能”或“不能”）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．
附：
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 60.35 7.879 10.828
16. 已知函数在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角余弦值.
19. 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）.
（1） 求此次拦查中醉酒驾车的人数；
（2） 从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，
再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望.
20. 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 12 22 31 42 50 56 58 68.5 68 675 66 68
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的经验回归方程为：．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．
回归模型 模型① 模型②
回归方程

182.4 79.2
（附：刻画回归效果的相关指数）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求经验回归方程的系数公式）
21. 已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点.
（1）求的方程;
（2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）
晋江一中2021年春高二下期中考数学试卷 答案版
一、单选题
1. 已知变量x与y满足关系，变量y与z负相关．下列结论正确的是（ ）
A. 变量x与y正相关，变量x与z正相关
B. 变量x与y正相关，变量x与z负相关
C. 变量x与y负相关，变量x与z正相关
D. 变量x与y负相关，变量x与z负相关
【答案】B
2. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
【答案】D
4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
5. 已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 已知函数，直线与曲线相切，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
8. 已知定义在，上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
二、多选题
9. 关于变量x，y的n个样本点及其线性回归方程．下列说法正确的有（ ）
A. 相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
B. 相关指数值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好
C. 残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
D. 若，则点一定在线性回归方程上
【答案】BD
10. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为64
C. 常数项为1215 D. 二项式系数最大的项为第3项
【答案】ABC
11. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A. X服从二项分布 B.
C. X的期望 D. X的方差
【答案】ABC
12. 甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A. B.
C. 事件与事件不相互独立 D. ，，是两两互斥事件
【答案】BCD
三、填空题
13. 已知，则_________．
【答案】
14. 若随机变量的分布列如下表，且，则的值为________.
0 2



【答案】
15. 某高校“统计初步"”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
专业性别 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到______（保留三位小数），所以判定_______（填“能”或“不能”）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．
附：
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 60.35 7.879 10.828
【答案】 ①. 4844 ②. 能
16. 已知函数在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是______.
【答案】
四、解答题
17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
18. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
19. 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）.
（1） 求此次拦查中醉酒驾车的人数；
（2） 从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，
再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望.
【答案】（1）15人；（2）
20. 某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 12 22 31 42 50 56 58 68.5 68 675 66 68
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的经验回归方程为：．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．
回归模型 模型① 模型②
回归方程

182.4 79.2
（附：刻画回归效果的相关指数）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求经验回归方程的系数公式）
【答案】（1）回归模型②刻画的拟合效果更好，70.8（亿元）；（2）科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大.
21. 已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点.
（1）求的方程;
（2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点，.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）
【答案】（1）①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析