1.2
集合间的基本关系
一、选择题
1.设集合A={x|a-1b+2}.若A?B,则实数a,b必满足(
)
A.|a+b|≤3
B.|a+b|≥3
C.|a-b|≤3
D.|a-b|≥3
2.设A={x|-1<x≤3},B={x|x>a},若A?B,则实数a的取值范围是(
)
A.{a|a≥3}
B.{a|a≤-1}
C.{a|a>3}
D.{a|a<-1}
3.已知集合,若集合有且仅有两个子集,则的值是(
)
A.1
B.-1
C.0,1
D.-1,0,1
4.已知集合,,,则集合中元素的个数为(
)
A.4
B.8
C.16
D.20
5.下列各组两个集合和表示同一集合的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.已知集合,,若,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.设集合,则集合的关系为(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知集合,集合,若,则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.已知集合,则有(
)
A.
B.
C.
D.
10.已知集合,则下列符号语言表述正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
11.设集合,或,则下列结论中正确的是(
)
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
12.设全集,若集合,则下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13.若集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}的子集有且仅有两个,则实数a=________.
14.设,若则实数的取值范围是________.
15.已知集合.若,则实数的取值范围为________.
16.已知A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当B?A时,则实数m的取值范围为________.
17.已知集合,若是的两个非空子集,则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为________.
18.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为________.
四、解答题
19.已知a∈R,x∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1},求:
(1)使A={2,3,4}成立的x的值;
(2)使2∈B,B?A成立的a,x的值;
(3)使B=C成立的a,x的值.
20.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},
(1)若A只有一个元素,试求a的值,并求出这个元素;
(2)若A是空集,求a的取值范围;
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
21.已知集合A={x|x2+4ax﹣4a+3=0},B={x|x2+2ax﹣2a=0},C={x|x2+(a﹣1)x+a2=0}.
(1)若A、B、C中至少有一个不是空集,求a的取值范围;
(2)若A、B、C中至多有一个不是空集,求a的取值范围.
22.设集合,.
(1)若,试判断集合与的关系;
(2)若,求实数的所有可能取值构成的集合.
23.已知集合或,若,求实数的取值范围.1.2
集合间的基本关系
一、选择题
1.设集合A={x|a-1b+2}.若A?B,则实数a,b必满足(
)
A.|a+b|≤3
B.|a+b|≥3
C.|a-b|≤3
D.|a-b|≥3
【答案】D
【解析】选D根据题意知A?B,作出如图所示的数轴,所以有b+2≤a-1或b-2≥a+1,解得a-b≥3或a-b≤-3,即|a-b|≥3.
2.设A={x|-1<x≤3},B={x|x>a},若A?B,则实数a的取值范围是(
)
A.{a|a≥3}
B.{a|a≤-1}
C.{a|a>3}
D.{a|a<-1}
【答案】B
【解析】选B集合A,B在数轴上表示如图所示,由A?B可求得a≤-1,注意端点能否取到是正确求解的关键.
3.已知集合,若集合有且仅有两个子集,则的值是(
)
A.1
B.-1
C.0,1
D.-1,0,1
【答案】D
【解】因为集合有且仅有两个子集,即为和集合本身,
故集合中的元素只有一个,
即方程只有一个解,
当时,原方程为,即,符合题意;
当时,令,
综上,,或可符合题意.
故答案为:D.
4.已知集合,,,则集合中元素的个数为(
)
A.4
B.8
C.16
D.20
【答案】C
【解】,
中元素个数为个,
故答案为:C.
5.下列各组两个集合和表示同一集合的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解】A选项中集合中的元素为无理数,而中的元素为有理数,故
B选项中集合中的元素为实数,而中的元素为有序数对,故
C选项中因为,则集合故
D选项中集合中的元素为0,1,而中的元素为1,故.
故答案为:C.
6.已知集合,,若,则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解】因为,
又,,
所以,解得.
故答案为:B.
7.设集合,则集合的关系为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
解:因为,
,
所以,
故答案为:B
8.已知集合,集合,若,则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解】因为集合,集合,
若,则,
故答案为:D.
二、多选题
9.已知集合,则有(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A,C,D
【解】由题得集合,
由于空集是任何集合的子集,A符合题意:
因为,所以CD符合题意,B不符合题意.
故答案为:ACD.
10.已知集合,则下列符号语言表述正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A,D
【解】,,,.
所以,AD选项正确,BC选项错误.
故答案为:AD.
11.设集合,或,则下列结论中正确的是(
)
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
【答案】A,B,C
【解】对于A,若,则,则,A符合题意;
对于B,若,则显然任意,则,则,故,B符合题意;
对于C,若,则,解得,C符合题意;
对于D,若,则,不等式无解,则若,,D不符合题意.故答案为:ABC.
12.设全集,若集合,则下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A,B,D
【解】如图所示,当时,,,AB符合题意;,C不正确;,D符合题意.
故答案为:ABD
三、填空题
13.若集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}的子集有且仅有两个,则实数a=________.
【解析】由集合A的子集有且仅有两个知A中只有一个元素,若a-1=0,则A=,符合题意;若a-1≠0,由题意得
得a=-.∴a的值为1或-.
答案:1或-
【答案】1或-
14.设,若则实数的取值范围是________.
【答案】a≥2
【解】因为,,
所以,即a≥2.
故答案为:a≥2
15.已知集合.若,则实数的取值范围为________.
【答案】(-∞,1]
【解】已知集合,且,
当时,,解得,符合题意;
当时,则,解得,
综上:实数的取值范围为(-∞,1].
故答案为:(-∞,1]
16.已知A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当B?A时,则实数m的取值范围为________.
【解析】集合A在数轴上表示如图.
要使B?A,则集合B中的元素必须都是A中的元素.
即B中元素必须都位于阴影部分内.
那么由4x+m<0,即x<-知,-≤-2,即m≥8,
故实数m的取值范围是m≥8.
答案:m≥8
【答案】m≥8
17.已知集合,若是的两个非空子集,则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为________.
【答案】49
【解】当中的最大数为,即时,,,,,,,,,,,,,,,;
所以满足题意的集合对的个数为个;
当中的最大数为,即时,,,,,,,;即满足题意的集合对的个数为个;
当中的最大数为,即时,,即满足题意的集合对的个数个;
当中的最大数为,即时,,即满足题意的集合对的个数为个;
所以总共个数为49个.
18.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为________.
【解析】因为xy>0,所以x,y同号,又x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点,而集合P也表示第三象限内的点,故M=P.
答案:M=P
【答案】M=P
四、解答题
19.已知a∈R,x∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1},求:
(1)使A={2,3,4}成立的x的值;
(2)使2∈B,B?A成立的a,x的值;
(3)使B=C成立的a,x的值.
【答案】解:(1)由题意,知x2-5x+9=3,解得x=2或x=3.
(2)因为2∈B,B?A,所以
所以或
(3)因为B=C,所以
解得或
20.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},
(1)若A只有一个元素,试求a的值,并求出这个元素;
(2)若A是空集,求a的取值范围;
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
【答案】(1)解:若A中只有一个元素,则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根,
当a=0时,方程为一元一次方程,满足条件,此时x=-,
当a≠0,此时△=4-4a=0,解得:a=1,此时x=-1,
(2)解:若A是空集,
则方程ax2+2x+1=0无解,
此时△=4-4a<0,解得:a>1.
(3)解:若A中至多只有一个元素,
则A为空集,或有且只有一个元素,
由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是:a=0或a≥1.
21.已知集合A={x|x2+4ax﹣4a+3=0},B={x|x2+2ax﹣2a=0},C={x|x2+(a﹣1)x+a2=0}.
(1)若A、B、C中至少有一个不是空集,求a的取值范围;
(2)若A、B、C中至多有一个不是空集,求a的取值范围.
【答案】(1)解:对于A,若为空集,则(4a)2﹣4(3﹣4a)<0,解得①;
对于B,若为空集,则(2a)2+8a<0,解得﹣2<a<0②;
对于C,若为空集,则(a﹣1)2﹣4a2<0,解得a<﹣1或③,
若A、B、C中至少有一个不是空集,其对立面为三个集合全是空集,联立①②③
解得,所以A,B,C中至少有一个非空的a范围是或a≥﹣1
(2)解:若A、B、C中至多有一个不是空集,则三个集合全空;或两个空集,一个非空,
先求两空一非空:
则有或或解这三个不等式组得﹣1<a<0或或,结合(1)中三个集合全空的a范围,取它们的并集得:
a的范围是(﹣2,﹣1)∪(﹣1,0)∪()
22.设集合,.
(1)若,试判断集合与的关系;
(2)若,求实数的所有可能取值构成的集合.
【答案】(1)解:由,解得或,即.
若,由,得,此时.所以.
(2)解:①若,则方程无解,此时;
②若,则,由,可得,所以或,
即或.
综上所述,.
23.已知集合或,若,求实数的取值范围.
【答案】解:非空,为空集或非空,
当时,,解得;
当时,解得或.
综上,的取值范围为