2021-2022学年湘教新版九年级上册数学《第3章 图形的相似》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年湘教新版九年级上册数学《第3章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．若，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（　　）
A．125km
B．12.5km
C．1.25km
D．1250km
3．已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB、如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，则S1与S2之间的大小关系是（　　）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．S1与S2的大小关系不能确定
4．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．下列图形一定相似的是（　　）
A．两个矩形
B．两个等腰梯形
C．有一个内角相等的两个菱形
D．对应边成比例的两个四边形
6．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
7．已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长为（　　）
A．8cm
B．12cm
C．11cm
D．10cm
9．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（　　）
A．36°
B．117°
C．143°
D．153°
10．已知a、b、c均不为0，且a+b+c≠0，若＝＝＝k，则k＝（　　）
A．﹣1
B．0
C．2
D．3
二．填空题
11．已知x：y：z＝1：2：3，且x﹣2y+3z＝4，则x﹣y+z＝　
　．
12．若2a＝3b，则a：b＝　
　．
13．在比例尺为1：500000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为6cm，则A、B两地间实际距离　
　km．
14．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：　
　（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
15．请指出图中从图1到图2的变换是　
　变换．
16．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝　
　．
17．如果＝，那么＝　
　．
18．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　
　．
19．直线CD∥EF，若OC＝3，CE＝4，则的值是　
　．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC＝　
　．
三．解答题
21．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．
22．已知：线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值．
（2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27．求a、b、c的值．
23．已知，求的值．
24．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，BD＝2，AE＝6，求AC的长．
25．已知：（x、y、z均不为零），求的值．
26．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
27．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵＝，
∴设x＝3k，y＝2k（k≠0），
∴＝＝．
故选：A．
2．解：设实际距离为xcm，则：
1：500000＝25：x，
解得x＝12500000．
12500000cm＝125km．
故选：A．
3．解：由题意得：
∴＝1．
即：S1＝S2．
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD；AD∥BC，
∴＝＝，而AB＝CD，
∴＝＝，而AB＝CD，
∴＝＝；
又∵AF∥BC，
∴＝．
故选：A．
5．解：A、两个矩形，对应角相等，都是直角，但四条边不一定对应成比例，故本选项不符合题意；
B、两个等腰梯形，四个角不一定对应相等，边也不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个菱形，有一个角相等，则其它角也对应相等，而四条边都相等，所以对应成比例，所以相似，故本选项符合题意；
D、对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．解：因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形应该是直角三角形，故选B．
7．解：，则＝＝，
故选：D．
8．解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴＝，
即＝，
∵DE＝4cm，
∴BC＝12cm．
故选：B．
9．解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝153°，
故选：D．
10．解：由若＝＝＝k，得
2b+c＝ak，2c+a＝bk，2a+b＝ck，
三式相加，得3（a+b+c）＝k（a+b+c）
由于a、b、c均不为0，且a+b+c≠0，
所以k＝＝3．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵x：y：z＝1：2：3，
∴设x＝t，y＝2t，z＝3t，
∵x﹣2y+3z＝4，
∴t﹣4t+9t＝4，
解得t＝，
∴x﹣y+z＝t﹣2t+3t＝2t＝2×＝．
故答案为．
12．解：∵2a＝3b，
∴a：b＝3：2．
故答案为：3：2．
13．解：设A、B两地间的实际距离为xcm，由题意，得
1：500000＝6：x，
解得x＝3000000cm＝30km．
故答案为30．
14．解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
15．解：∵从图1到图2，图形形状没变，只是大小发生改变，
∴从图1到图2的变换是相似变换．
故答案为：相似，
16．解：作DF∥AE交BC于F，如图，
∵OE∥DF，
∴＝＝1，
即BE＝EF，
∵DF∥AE，
∴＝＝，
∴CF＝2EF，
∴BE：EC＝BE：3BE＝1：3．
故答案为1：3．
17．解：∵＝，
∴＝，
设a＝2t，b＝3t，
∴＝＝．
故答案为．
18．解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝×4＝2﹣2．
故答案为2﹣2．
19．解：∵CD∥EF
∴OD：OF＝OC：OE
∵OC＝3，CE＝4
∴OD：OF＝OC：OE＝3：7．
20．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB边的中点，
∴CD＝BD＝AB＝5，
∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，
（1）若∠DPC＝90°，则DP∥AC，
∴＝，
∴BP＝BC＝4，
则PC＝4；
（2）若∠CDP＝90°，则△CDP∽△BCA，
∴，
即，
∴PC＝．
∴PC＝4或．
三．解答题
21．解：（1）∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝．
22．解：（1）∵＝，
∴＝，
∴＝，
（2）设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12．
23．解：设＝＝＝k≠0，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
所以，＝＝＝﹣3．
24．解：∵AB＝7，BD＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝5．
∵DE∥BC，
∴＝．
∵AE＝6，
∴＝，
∴AC＝．
25．解：设＝k，则x＝6k，y＝4k，z＝3k
∴＝＝＝3．
26．解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）
注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
27．解：（1）如图所示；
（2）△BCD是黄金三角形．
证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
（3）设BC＝x，AC＝y，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
整理，得x2+xy﹣y2＝0，
解得．
因为x、y均为正数，所以．
（4）．
理由：延长BC到E，使CE＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°﹣72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B1A1C1．
∵A1B1＝AB，
∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1，
∴△ACE≌△B1A1C1，
∴AE＝B1C1．
由（3）知，
∴，，
∴．