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第五章
生活中的轴对称
北师大版
七年级下
5.3.3
简单的轴对称图形
学习目标
1、了解角平分线的有关性质；
2、掌握尺规作一个角的平分线的方法；
3、应用角平分线的性质解决一些实际问题．
新知导入
1、线段是轴对称图形吗？如果是，你能说出它的一条对称轴吗？
线段是轴对称图形，垂直并且平分这条线段的直线是它的一条对称轴．
2、什么是线段的垂直平分线？它有什么性质呢？
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
新知讲解
探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？
将
∠AOB
对折，
你发现了什么？
答：角是轴对称图形．
新知讲解
角是轴对称图形，
角平分线所在的直线是它的对称轴．
新知讲解
做一做：
（1）
在一张纸上任意画
∠AOB，
沿角的两边将角剪下，
将这个角对折，
使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.
快来试试吧！
新知讲解
做一做：
（2）
在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
答：重合
改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?
CD＝CE
你能说一说CD与CE相等的理由吗？
新知讲解
已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E.
试说明：CD=CE.
解：因为OC平分∠AOB
所以∠COA=∠COB
因为CD⊥OA，CE⊥OB，
所以∠CDO=∠CEO=90°
在△CDO和△CEO中，
所以△CDO≌
△CEO
所以CD=CE.
新知讲解
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
用数学语言表示为：
因为
OC平分∠
AOB，CD
⊥
OA，CE⊥
OB，
所以
CD
=CE．
新知讲解
例：利用尺规，作∠AOB的平分线.
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：
（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.
（2）分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
（3）作射线OC.
OC就是∠AOB的平分线.
你能说明这样作的道理吗?
新知讲解
例：利用尺规，作∠AOB的平分线.
你能说明这样作的道理吗?
证明：连接CD，CE，则CD=CE，
在△OCD和△OCE中
∴
△OCD≌
△OCE
∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应角相等）
∴OC平分∠AOB（角平分线的定义）
新知讲解
想一想：如图，在
Rt△ABC
中，BD
是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
垂足为
E.
DE与DC相等吗？为什么？
答：DE
=
DC.
理由如下：
在
Rt△ABC
中，
因为∠C
=90°，
所以DC⊥BC.
因为
BD
是∠ABC
的平分线，DE⊥AB,
所以
DE
=
DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
课堂练习
1、用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（
）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
A
课堂练习
2、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点（
）
（2）在角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（
）
（3）角是轴对称图形，对称轴是角平分线
(
）
×
√
×
课堂练习
3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6
cm，则△DBE的周长是( )
A．9
cm
B．8
cm
C．7
cm
D．6
cm
D
课堂练习
4、如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24
B．30
C．36
D．42
B
拓展提高
用两种方法证明：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足.
试说明：DE=DF
证法一：∵AB=AC,
∴
∠B=∠C
∵
D是BC的中点
∴
BD=CD
∵
DE⊥AB,DF⊥AC
∴
∠BED=∠CFD=90°
∴△BDE≌△CDF
(AAS)
∴DE=DF
拓展提高
用两种方法证明：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB，DF
⊥AC，E、F为垂足.
试说明：DE=DF
证法二：连接AD
∵AB=AC,D是BC的中点
∴AD平分∠BAC
（三线合一）
又∵
DE⊥AB,DF⊥AC
∴
DE=DF
课堂总结
1、角是______________，
角平分线所在的直线是它的_________．
轴对称图形
对称轴
2、说一说角平分线的性质？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
作业布置
教材127页
习题5.5第1、2、3题中小学教育资源及组卷应用平台
5.3.3
简单的轴对称图形
学案
课题
5.3.3
简单的轴对称图形
单元
第五单元
学科
数学
年级
七年级下册
学习
目标
1、了解角平分线的有关性质；
2、掌握尺规作一个角的平分线的方法；
3、应用角平分线的性质解决一些实际问题．
重点
探索角平分线的性质．
难点
利用角平分线的性质解决相关实际问题．
导学过程
新知导入
1、线段是轴对称图形吗？如果是，你能说出它的一条对称轴吗？
答：线段是轴对称图形，垂直并且平分这条线段的直线是它的一条对称轴．
2、什么是线段的垂直平分线？它有什么性质呢？
答：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
新知学习
探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？将
∠?AOB
对折，
你发现了什么？
答：角是轴对称图形．
归纳：角是轴对称图形，
角平分线所在的直线是它的对称轴．
做一做：（1）
在一张纸上任意画
∠?AOB，
沿角的两边将角剪下，
将这个角对折，
使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.
（2）
在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
答：重合
问题1：改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?
答：CD＝CE
问题2：你能说一说CD与CE相等的理由吗？
已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E.
试说明：CD=CE.
?
解：因为OC平分∠AOB
所以∠COA=∠COB
因为CD⊥OA，CE⊥OB，
所以∠CDO=∠CEO=90°
在△CDO和△CEO中，
所以△CDO≌
△CEO
所以CD=CE.
归纳：
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
用数学语言表示为：
因为
OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以
CD
=CE．
例：利用尺规，作∠AOB的平分线.
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：
（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.
（2）分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
（3）作射线OC.
OC就是∠AOB的平分线.
问题：你能说明这样作的道理吗?
证明：连接CD，CE，则CD=CD，
在△OCD和△OCE中
∴
△ACD≌
△ACB
∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应边相等）
∴OC平分∠AOB（角平分线的定义）
想一想：如图，在
Rt△ABC
中，BD
是∠ABC
平分线，DE⊥AB，
垂足为
E.
DE与DC
相等吗？为什么？
答：DE
=
DC.
理由如下：
在
Rt△ABC
中，
因为∠C
=90°，
所以DC⊥BC.
因为
BD
是∠ABC
的平分线，DE⊥AB,
所以
DE
=
DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
课堂练习
1、用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（
）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
答案：A
2、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点（
）
（2）在角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（
）
（3）角是轴对称图形，对称轴是角平分线
(
）
答案：×；√；×
3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6
cm，则△DBE的周长是( )
A．9
cm
B．8
cm
C．7
cm
D．6
cm
答案：D
4、如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24
B．30
C．36
D．42
答案：B
拓展提高
用两种方法证明：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB，DF
⊥AC，E、F为垂足.
试说明：DE=DF
证法一：∵AB=AC,
∴
∠
B=
∠C
∵
D是BC的中点
∴
BD=CD
∵
DE⊥AB,DF
⊥AC
∴
∠
BED=∠CFD=90°
∴△BDE≌△CDF
(AAS)
∴DE=DF
证法二：连接AD
∵AB=AC,D是BC的中点
∴AD平分∠BAC（三线合一）
又∵
DE⊥AB,DF
⊥AC
∴
DE=DF
知识小结
1、角是______________，
角平分线所在的直线是它的_________．
答案：轴对称图形；对称轴
2、说一说角平分线的性质？
答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
课后检测
1．如图，，根据角平分线的性质填空：若，则__，若，则__．
答案：；
2．如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
答案：A
3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（
）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
答案：A
4．如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结论:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD;④若点P在直线AD上,则PB=PC．其中正确的是( )
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
答案：D
5．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
解：（1）如图，BG即为所求；
（2）如图，∵BG平分∠ABC，
过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，
∴GD＝GE，
∵AB＝8，△ABG的面积为18，
∴
∴GD＝，
∵BC＝12，GE＝GD＝，
∴△CBG的面积为12×＝27．
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精品试卷·第
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5.3.3
简单的轴对称图形
学案
课题
5.3.3
简单的轴对称图形
单元
第五单元
学科
数学
年级
七年级下册
学习
目标
1、了解角平分线的有关性质；
2、掌握尺规作一个角的平分线的方法；
3、应用角平分线的性质解决一些实际问题．
重点
探索角平分线的性质．
难点
利用角平分线的性质解决相关实际问题．
导学过程
新知导入
1、线段是轴对称图形吗？如果是，你能说出它的一条对称轴吗？
2、什么是线段的垂直平分线？它有什么性质呢？
新知学习
探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？将
∠?AOB
对折，
你发现了什么？
归纳：角是________，
角平分线所在的________是它的对称轴．
做一做：（1）
在一张纸上任意画
∠?AOB，
沿角的两边将角剪下，
将这个角对折，
使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.
（2）
在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
问题1：改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?
问题2：你能说一说CD与CE相等的理由吗？
已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E.
试说明：CD=CE.
?
归纳：
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离________．
用数学语言表示为：
因为
OC平分∠________，CD⊥________，CE⊥________，
所以
CD
=________．
例：利用尺规，作∠AOB的平分线.
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
问题：你能说明这样作的道理吗?
想一想：如图，在
Rt△ABC
中，BD
是∠ABC
平分线，DE⊥AB，
垂足为
E.
DE与DC
相等吗？为什么？
课堂练习
1、用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（
）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点（
）
（2）在角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（
）
（3）角是轴对称图形，对称轴是角平分线
(
）
3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6
cm，则△DBE的周长是( )
A．9
cm
B．8
cm
C．7
cm
D．6
cm
4、如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24
B．30
C．36
D．42
拓展提高
用两种方法证明：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB，DF
⊥AC，E、F为垂足.
试说明：DE=DF
知识小结
1、角是______________，
角平分线所在的直线是它的_________．
2、说一说角平分线的性质？
课后检测
1．如图，，根据角平分线的性质填空：若，则__，若，则__．
2．如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（
）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
4．如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结论:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD;④若点P在直线AD上,则PB=PC．其中正确的是( )
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
5．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
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