湖南省邵阳二高2022届高三上学期7月第一次自主调研数学试题 Word版含答案

邵阳二高2022届高三上学期第一次自主调研
数学试题卷
本试卷满分150分．考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知复数（为虚数单位），则
A． B． C． D．
2．若非零向量、满足，则、两向量的夹角为（ ）
A. 0° B. 60° C. 90° D. 180°
3.已知集合 , 则（ ）
A． B． C. D．
4．从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A.48 B.72 C.90 D.96
5．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．若，，则下列式子成立的是
A． B． C． D．
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是( )
A.命题“，”的否定是“，”
B.已知，则“”是“”的必要不充分条件
C.命题：若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则为假命题
D.，
10．设函数，则下列说法正确的有( )
A.当，时，为奇函数
B.当，时，的一个对称中心为
C.若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为
D.当，时，在区间上恰有个零点
11．已知抛物线C：=4y的焦点为F，A、B在抛物线C上，且=2，过A，B分别引抛物线C两切线交于点P，则下列结论正确的是( )
A.点P位于抛物线的准线上 B.∠APB=90°
C.PF⊥AB D.PF=2
12.如图，菱形边长为，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．

则下列结论中正确的是( )
A． B．四面体的外接球表面积为
C．与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为________.
14.已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的通项公式为__________.
15．中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”．他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产公斤，到第二期亩产公斤，第三期亩产公斤，第四期亩产公斤．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩__________公斤．
附：用最小二乘法求得线性回归方程为，其中，．
16．英国数学家泰勒发现了公式：，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．
．其发现过程简单分析如下：
当时，有，
容易看出方程的所有解为：，，，，，
于是方程可写成：，
改写成：． （*）
比较方程（*）与方程中项的系数，即可得
__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
18．（12分）已知数列是首项为，公差为的等差数列.(为常数，且).
(Ⅰ)求证：数列是等比数列；
(Ⅱ)当时，设，求数列的前项和.
（12分）如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，
，．
（1）证明：//；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
[2.5，7.5) 2 0.002
[7.5，12.5)
0.054
[12.5，17.5) 106 0.106
[17.5，22.5) 149 0.149
[22.5，27.5) 352
[27.5，32.5) 190 0.190
[32.5，37.5) 100 0.100
[37.5，42.5) 47 0.047
合计 1000 1.000
（1）求，，的值；
（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得．如果产品的质量指标值位于区间
，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求．
附：，，．
21．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上的点的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值．
22．（12分）已知函数，，是自然对数的底数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
邵阳二高2022届高三上学期第一次自主调研
数学试题答案
2021.7．25
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D C C D A
二、多项选择题：
题号 9 10 11 12
答案 AB AD ABC BCD
三、填空题：
13. ; 14. ； 15.；16..
解析：
8．解：因为，所以，因为，所以
即． 因为，设函数在为增函数，
所以所以．
又函数在为增函数，在为减函数，所以的最大值为．
15．解：因为，，所以
，
，
所以，所以第五期产量为．
四、解答题：
17．解：（1）法一：由得，，
整理得，． ∵，， ∴，即． 又，所以，．
法二：由应用正弦定理得，， 即 ， 整理得，，
于是， 又，所以，．
法三：由应用正弦定理，得，
由余弦定理，可得，代入上式，得．
∵，∴， 又，所以，．
（2），，由余弦定理，得 即，则． 于是．
18．(1)∵，∴
∵是首项为，公差为的等差数列 ∴
∴ ∴ ∴，
又∵∴数列是以为首项，公比为的等比数列
(2)由(1)得：∵∴
又∴
∴.
19.解：（1）证明：∵ 面为矩形，，
且平面，平面， ∴平面， 又平面，平面平面， ∴．
（2）法一：（向量法）∵ 面为矩形面，，
又面面，
且面面，
∴面， 由（1）知，.，又，
∴， ∴，，两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，，．
，，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则
∴
令，解得， 令，解得，
于是，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
法二：（几何法）
由（1）知，，，∴ ，
又，∴，且， ∴ 平面，且平面，
∴ 平面平面．
∴二面角与二面角之和为．
易知 平面，∴．
如图，在中作，垂足为，连接， ，
∴ 平面，则，
即为平面与平面所成二面角的平面角．
，

则 ．
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．法三：（构造空间角）
如图，取中点，连接，，
则由（1）可知，且平面，
∴ 多面体是直三棱柱．如图在中作，垂足为， 作，交于点，连接，
则，，
且，
∴平面，则，
所以，即为平面与平面所成二面角的平面角．…9分
，
， ．
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
20．解：（1）结合频率分布表可以得到，，
（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：
，
（3）因为，由（2）知，
从而，
设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数.
依题意知，所以，
所以
答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为.
21．解法一：（1）点在椭圆上且，，
又椭圆离心率为，，
由解得．
椭圆的标准方程为：．
（2）点在椭圆上，，即，
设经过点的直线方程为：，
可得，．
，即．直线斜率为，
，方程为，即，
联立，
解得，，
，
点到直线的距离为，
，
，，
三角形面积的最大值为，当且仅当，即时，等号成立． ……12分
解法二：（1）同解法一
（2）设，，则，
满足曲线上，则，
化简得，．直线的方程为，即，
原点到直线的距离为，易得直线的方程为，设，，
联立方程组：，化简得，
则
，

，
又
，
，三角形面积的最大值为，
当且仅当时，，即时，等号成立．
22．解法一：（1）当时，，
令，得，
由，得，
由，得或，
所以在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
（2）由当时，，得，
记，则，
当时，则，可知在上单调递增，且，
不满足当时，，舍去；
②当时，令，得，，
因为，所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
因为，所以；
③当时，则，此时当时，，故在上单调递减，
所以，解得，所以；
综上所述，的取值范围是.
解法二：（1）同解法一
（2）由当时，，得，
记，则，
由，得，由，得；
①当时，令，得，，
因为，所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
因为，，所以；
②当时，，此时当时，，故在上单调递减，
所以，解得，所以；
综上所述，的取值范围是.