(共41张PPT)
第二章
推理与证明
2.1
合理推理与演绎推理
人教版
选修1-2
2.1.1
合情推理
人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开．
情景导入
于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但这个问题迟迟未得到解决．直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2
000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1
200个小时，终于证明了四色问题．
四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！
1.能结合已学过的数学实例和生活中的实例，分析合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理．
2．会分析归纳推理与类比推理的联系与区别，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
自主预习学案
学习目标解读
重点：理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．
难点：1.能运用合情推理进行简单推理．
2．认识合情推理在数学发现中的作用．
重点难点展示
思维导航
在以前的数学学习中，我们曾经由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：凸n(n≥3，n∈Z)边形的内角和是(n－2)·180°.
这种猜想方法是否具有一般性，这样得出的结论是否一定是正确的？这种方法在认识发现中有何作用？
教材新知导学
知识点一：归纳推理
新知导学
1．归纳推理
由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由________到_______、由_______到_______的推理．
2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．
部分对象
全部对象
个别事实
一般结论
部分
整体
个别
一般
归纳推理
思维导航
在学习数列一章时，我们由等差数列{an}具有性质：“已知n、m∈N
，若n＋m＝2p，则an＋am＝2ap”，作出猜想：“对于等比数列{an}，若n、m∈N
，n＋m＝2p，则am·an＝a”，这种猜想方法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？
知识点二：类比推理
新知导学
3．类比推理
由两类对象具有______________和其中一类对象的______________，推出另一类对象也具有__________的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由____________的推理．
4．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据____________，经过______________________，再进行________、________，然后提出________的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．
某些类似特征
某些已知特征
这些特征
特殊到特殊
已有的事实
观察、分析、比较、联想
归纳
类比
猜想
5．归纳推理是由部分到______，由具体到______，由特殊到______，从个别事实中概括出__________的思维模式．
类比推理是在__________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__________之处的一种推理模式．
类比推理是由______到______的推理．
整体
抽象
一般
一般结论
两类不同
相同或相似
特殊
特殊
牛刀小试
3．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理
B．类比推理
C．没有推理
D．以上说法都不对
[答案] B
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
[答案] D
[解析] 根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2014÷4＝503余2，故从2014到2016与从2到4的方向一致，故选D．
5．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第五个等式应为______________________.
[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
[解析] 第1个等式有1项，从1开始；
第2个等式有3项，从2开始；
第3个等式有5项，从3开始；
第4个等式有7项，从4开始．
每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
观察以下各等式：
典例探究学案
命题方向一：数与式的归纳
[分析] 观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．
[方法规律总结]
1.归纳推理的一般步骤
(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．
(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．
(3)猜测一般性结论
2
.归纳推理的基本逻辑形式是：
S1是(或不是或具有性质)P，
S2是(或不是或具有性质)P，
S3是(或不是或具有性质)P，
……
Sn是(或不是或具有性质)P.
∵S1、S2、S3、…，Sn是S类的对象，
∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P.
3．由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．
跟踪训练
下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：
命题方向二：数列中的归纳推理
[分析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．
[解析] (1)考察相邻两数的差：
5－1＝4,9－5＝4，
13－9＝4,17－13＝4，
可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.
[方法规律总结] 由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．
若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
[解析] (1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得
a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1.
(2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N
)．
跟踪训练
如图，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图①所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图②所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图③，④所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有__________颗珠宝，第n件首饰上应有__________颗珠宝．
命题方向三：归纳推理在图形中的应用
[分析] 将图形问题转化为数列问题，利用归纳推理求解．
[解析] 解法一：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,6＝2×3,15＝3×5,28＝4×7,45＝5×9，归纳猜想第六件首饰上的珠宝颗数为6×11＝66，第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n－1)＝2n2－n.
解法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，则第六件首饰上的珠宝颗数为1＋5＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝颗数构成一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，并且第n件首饰有n项，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
[答案] 66 2n2－n
[方法规律总结] 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有__________根；第n个图形中，火柴棒有__________根．
[答案] 16 3n＋1
跟踪训练
[解析] 数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,
10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．
[分析] 解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积．
命题方向四：
将命题的条件、结论类比推广
[方法规律总结] 类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．
(3)检验这个猜想
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．
跟踪训练(共33张PPT)
第二章
推理与证明
2.1
合理推理与演绎推理
人教版
选修1-2
2.1.2
演绎推理
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
自主预习学案
学习目标解读
重点：演绎推理的含义及演绎推理规则．
难点：演绎推理的应用．
重点难点展示
思维导航
日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种推理形式正确吗？
教材新知导学
知识点一：演绎推理
新知导学
1．演绎推理
从______________出发，推出__________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由____________的推理．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的__________；
(2)小前提——所研究的__________；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的______．
一般性的原理
某个特殊
一般到特殊
一般原理
特殊情况
判断
其一般推理形式为
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结 论：__________.
利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么________________________.
3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么________必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论__________正确．
S是P
S中所有元素也都具有性质P
结论
不一定
牛刀小试
1．演绎推理是( )
A．部分到整体，个别到一般的推理
B．特殊到特殊的推理
C．一般到特殊的推理
D．一般到一般的推理
[答案] C
2．(2015·厦门高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( )
A．小前提错
B．结论错
C．正确
D．大前提错
[答案] C
[解析] 9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．
3．在三段论中，M、P、S的包含关系可表示为( )
[答案] A
[解析] 三段论中，S是M的子集，M可能是P的子集，即具有这种性质，也可能不是P的子集，即不具有这种性质．
4．给出下列结论：
①演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真；
②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真；
③由合情推理得到的结论一定为真；
④演绎推理和合情推理都可以用于证明；
⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．
其中正确结论的序号为__________.
[答案] ①⑤
5．判断下列推理是否正确？为什么？
“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)．”
[解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件．
将下列推理写成“三段论”的形式：
(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
典例探究学案
命题方向一：把演绎推理写成三段论形式
[分析] 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．
[解析] (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提
零向量是向量，小前提
所以零向量也有大小和方向．结论
(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提
正方形是矩形，小前提
正方形的对角线相等．结论
[方法规律总结] 1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
2．判断演绎推理是否正确的方法
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；
(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；
(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；
(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．
(1)判断下面推理是否正确？为什么？
∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．
(2)“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：
大前提：________________________________________
小前提：________________________________________
结论：________________________________________
跟踪训练
[解析] (1)错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．
(2)根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．
已知在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，AD∥BC．
求证：AC平分∠BCD．(用三段论证明)
命题方向二：三段论在证明几何问题中的应用
[解析] ∵等腰三角形两底角相等，大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提
∴∠1＝∠2.结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提
∴∠1＝∠3.结论
∵等于同一个角的两个角相等，大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD．结论
[方法规律总结] 应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．
用三段论分析下题的证明过程．
如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.
证明过程如下：
∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，
又∵DE∥BA，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴ED＝AF.
跟踪训练
[解析] 上述推理过程应用了三次三段论．第一次省略大前提和小前提的部分内容；第二次省略大前提并承前省了其中一组对边平行的条件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演绎推理过程如下：
因为同位角相等，两条直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
命题方向三：演绎推理在代数问题中的应用
[方法规律总结] 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．
跟踪训练
(2015·郑州高二检测)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若“当x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1时，有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立”，则称f(x)为“友谊函数”．
规范答题样板
(1)若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值．
(2)函数g(x)＝2x－1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．
(3)已知f(x)为“友谊函数”，且0≤x1
[解题思路探究] 第一步，审题．
审条件，挖掘解题信息．
①定义域[0,1]，在研究函数过程中不能超出这个范围；
②“友谊函数”新定义包含三个条件，尤其条件③需严格证明后才能确定．
审结论，明确解题目标．
第(1)问已知f(x)为友谊函数，求f(0)可用赋值法求解；
第(2)问给出f(x)解析式和定义区间，判断f(x)是否为友谊函数，需紧扣定义验证f(x)是否满足三个条件．
第(3)问要证f(x1)≤f(x2)，需依据条件③进行变换，注意条件①在变形中的应用．
第二步，建联系，确定解题步骤．
先用赋值法求第(1)问，再依次验证(2)中函数满足友谊函数的三个条件，最后，利用恒等变换技巧借助条件①③推证第(3)问．
第三步，规范解答．
[解析] (1)取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，
又由f(0)≥0，得f(0)＝0.
(2)显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足①g(x)≥0；
②g(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1，
则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]
＝(2x1－1)(2x2－1)≥0.
故g(x)＝2x－1满足条件①②③，
所以g(x)＝2x－1为“友谊函数”．
(3)因为0≤x1所以f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)．
不要张冠李戴
如图所示，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证∠ACD＞∠BCD．
[错解] 在△ABC中，因为AC>BC，CD⊥AB，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD．
疑难误区警示
[辨析] 错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误．
[正解] 因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°，
所以∠A＋ACD＝∠B＋∠BCD＝90°，
在△ABC中，AC＞BC，∴∠B＞∠A，
∴∠ACD＞∠BCD．(共34张PPT)
第二章
推理与证明
2.2
直接证明与间接证明
人教版
选修1-2
2.2.1
综合法和分析法
1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法．分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异．
自主预习学案
学习目标解读
重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．
难点：综合法和分析法的应用．
重点难点展示
新知导学
1．定义
利用__________和某些数学__________、__________、__________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法
已知条件
定义
定理
公理
推理论证
教材新知导学
知识点一：综合法证明不等式
2．综合法的特点
从“已知”看“________”，逐步推向“________”，其逐步推理，是由______导_______，实际上是寻找“已知”的_________条件．
用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“__________”和有效的__________是有效利用综合法证明数学问题的关键．
可知
未知
因
果
必要
切入点
推理途径
P
Q
[答案] D
[答案] 9
3．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
[证明] 因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>3(a2－b2)＝3(a－b)(a＋b)>0，
所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
新知导学
4．分析法定义
从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的_______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法
结论
充分
知识点二：分析法证明不等式
5．分析法的特点
分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“______”，执果索因，逐步靠拢“________”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的________条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．
需知
已知
充分
P
7．分析法与综合法的区别与联系
(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的________条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是________法．
充分
综合
分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：__________找思路，__________写过程．
在实际证题中，常将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方法．
分析
综合
[答案] b已知a，b是正数，且a＋b＝1，
典例探究学案
命题方向一：综合法的应用
[方法规律总结] 1.综合法证明数学命题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
跟踪训练
[分析] 直接利用均值不等式做不容易，考虑分析法．
命题方向二：分析法的应用
[方法规律总结] 分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
跟踪训练
求证：当x≥0时，sinx≤x.
[分析] 不等式恒成立问题，可以转化为函数的最值问题来解决．
[解析] 要证x≥0时，sinx≤x，
只需证x≥0时，sinx－x≤0即可．
设f(x)＝sinx－x，则即证x≥0时，f(x)≤f(0)．
即证x≥0时，f(x)的最大值小于或等于0.(
)
命题方向三：综合法和分析法的综合应用
∵f(x)＝sinx－x，
∴f
′(x)＝cosx－1，∴当x≥0时，f
′(x)≤0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，∴sinx－x≤0成立．
∴原不等式成立．
[方法规律总结] 在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程．
设a、b是相异的正数，求证：关于x的一元二次方程(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根．
[解析] 要证明(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根，
只需证△＜0即可．
∵△＝(4ab)2－4(a2＋b2)·2ab
＝16a2b2－8a3b－8b3a＝8ab(2ab－a2－b2)
＝－8ab(a2－2ab＋b2)＝－8ab(a－b)2.
∵a、b是相异的正数，
∴ab＞0，(a－b)2＞0，∴－8ab(a－b)2＜0，
∴该一元二次方程没有实数根．
跟踪训练
疑难误区警示
[辨析] 这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．(共32张PPT)
第二章
推理与证明
2.2
直接证明与间接证明
人教版
选修1-2
2.2.2
反证法
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．
2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．
自主预习学案
学习目标解读
重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．
难点：应用反证法解决问题．
重点难点展示
思维导航
我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？
教材新知导学
知识点一：反证法
新知导学
1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__________，因此说明假设__________，从而证明了原命题__________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
矛盾
错误
成立
2．反证法证题的原理
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．
3．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与____________
______、事实矛盾等．
已知条件
假设
定义、公理、
定理
4．反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：
(1)直接证明需分多种情况的；
(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；
(3)关于唯一性、存在性的命题；
(4)________以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，________的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．
结论
结论
牛刀小试
1．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[答案] A
[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．
[答案] C
3．应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
[答案] C
4.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．
[解析] 假设点M在线段CD上，则BDAC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．
求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．
典例探究学案
命题方向一：用反证法证明直接证明不易入手的问题
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a?平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．
(2)b∥平面α.
则平面α内有直线b′，使b∥b′.
而a∥b，故a∥b′，因为a?平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．
综上所述，b与平面α只能相交．
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤
第一步：审题，分清命题的条件和结论；
第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；
第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；
第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.
[解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2.
[点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法．
跟踪训练
已知x，y>0，且x＋y>2.
[分析] 明确“至少”的含义→对结论作出假设→得出矛盾．
命题方向二：用反证法证明“至多”、“至少”类命题
[方法规律总结] 1.当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
?p且?q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
?p或?q
跟踪训练
求证：方程2x＝3有且只有一个根．
[分析] 本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．
[解析] 显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)．
则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.
命题方向三：用反证法证明存在性、唯一性命题
∵b1≠b2，∴b1－b2≠0.
如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
所以假设不成立．从而2x＝3的根是唯一的．
故2x＝3有且只有一个根．
[方法规律总结] 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．
已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，
求证：过a、b、m有且只有一个平面．
[解析] ∵a∥b，
∴过a、b有一个平面α.
又m∩a＝A，m∩b＝B，
∴A∈a，B∈b，
∴A∈α，B∈α，
跟踪训练
又A∈m，B∈m，∴m?α.
即过a、b、m有一个平面α
假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.
则a?α，b?α，a?β，b?β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．
[分析] 本题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法、证题的关键是应注意分类讨论后，再找矛盾．
命题方向四：用反证法证明否(肯)定式命题
[方法规律总结] 应用反证法的注意事项
1．用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法．
2．注意否定命题时，要准确无误．
3．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“?q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．
4．用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：
(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；
(2)与假设矛盾；
(3)与已知条件矛盾；
(4)与公认的简单事实矛盾．
矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．
跟踪训练
准确写出反设
已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.
[错解] 假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．
∴假设不成立，∴原命题成立．
[辨析] 错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”
疑难误区警示
[正解] 假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤
0，若a<0，则由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，
∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．
又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．
故“a≤0”不成立，∴a>0，
同理可证b>0，c>0.