2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学上册 《第1章三角形》自主学习能力达标专题提升训练题（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学上册 《第1章三角形》自主学习能力达标专题提升训练题（word解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 440.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-28 17:02:04 | ||
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文档简介
2021年鲁教版七年级数学上册《第1章三角形》自主学习能力达标专题提升训练（附答案）
一．选择题（共16小题）
1．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
2．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS
B．AAA
C．SSS
D．ASA
3．如图，△ABC中，∠BAC是钝角，AD⊥BC、EB⊥BC、FC⊥BC，则下列说法正确的是（ ）
A．AD是△ABC的高
B．EB是△ABC的高
C．FC是△ABC的高
D．AE、AF是△ABC的高
4．以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件不能判断△ABD≌△BAC的条件是（ ）
A．∠D＝∠C
B．AD＝BC
C．∠BAD＝∠ABC
D．BD＝AC
6．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．AC＝DF
B．∠B＝∠E
C．BC＝EF
D．∠C＝∠F
7．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线的原理是证明△POC≌△QOC，那么证明△POC≌△QOC的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
8．现有2cm，3cm，5cm，7cm长的四条线段，任取其中三条，可以组成的三角形的情况个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．50°
和
50°
B．40°
和
40°
C．35°
和
35°
D．60°
和20°
10．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．70°
D．75°
11．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70°
B．68°
C．65°
D．60°
12．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
13．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（ ）对．
A．2
B．3
C．4
D．5
14．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+c
B．m+n＜b+c
C．m+n＝b+c
D．无法确定
15．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（ ）
A．2cm2
B．3cm2
C．4cm2
D．5cm2
16．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4
B．5
C．6
D．7
二．填空题（共8小题）
17．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，则∠ABC＝∠CDE＝90°，BC＝DC，∠1＝ ，△ABC≌
，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为
．
18．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝
．
19．如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是
．
20．已知a，b，c为△ABC的三边长，且（a﹣2）2+b2﹣6b+9＝0，其中c的范围是
．
21．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是
．
22．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为
．
23．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝
°．
24．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随P点运动而运动，当点P运动
秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
三．解答题（共4小题）
25．（1）如图1，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
①其中以AB为一边可以画出
个三角形；
②其中以C为顶点可以画出
个三角形．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）
①AC边上的中线BE；②AC边上的高BF；③作出与∠BAC相邻的外角．
26．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝
°；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
27．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动
秒时，AE＝DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝
（用含α的式子表示）．
参考答案
一．选择题（共16小题）
1．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
解：②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
2．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS
B．AAA
C．SSS
D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），故选：D．
3．如图，△ABC中，∠BAC是钝角，AD⊥BC、EB⊥BC、FC⊥BC，则下列说法正确的是（ ）
A．AD是△ABC的高
B．EB是△ABC的高
C．FC是△ABC的高
D．AE、AF是△ABC的高
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
解：△ABC中，画BC边上的高，是线段AD．
故选：A．
【点评】考查了三角形的高的概念，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4．以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到经过顶点B且与AC垂直的BD所在的图形即可．
解：A、高BD交AC的延长线于点D处，符合题意；
B、没有经过顶点B，不符合题意；
C、做的是BC边上的高线AD，不符合题意；
D、没有经过顶点B，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高．
5．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件不能判断△ABD≌△BAC的条件是（ ）
A．∠D＝∠C
B．AD＝BC
C．∠BAD＝∠ABC
D．BD＝AC
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
解：由题意得，∠ABD＝∠BAC，
A、在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），故A选项能判定全等；
B、在△ABC与△BAD中，
由BC＝AD，AB＝BA，∠BAC＝∠ABD，可知△ABC与△BAD不全等，
故B选项不能判定全等；
C、在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（ASA），故C选项能判定全等；
D、在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），故D选项能判定全等；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．AC＝DF
B．∠B＝∠E
C．BC＝EF
D．∠C＝∠F
【分析】根据全等三角形的判定定理，结合各选项的条件进行判断即可．
解：A、添加AC＝DF，满足SAS，可以判定两三角形全等；
B、添加∠B＝∠E，满足ASA，可以判定两三角形全等；
C、添加BC＝EF，不能判定这两个三角形全等；
D、添加∠C＝∠F，满足AAS，可以判定两三角形全等；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线的原理是证明△POC≌△QOC，那么证明△POC≌△QOC的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【分析】依据OP＝OQ，PC＝QC，OC＝OC，因此符合SSS的条件，即可证明△POC≌△QOC．
解：由作图知：OP＝OQ，PC＝QC，OC＝OC，即三边分别对应相等，
∴△DOP≌△EOP（SSS），
故选：D．
【点评】本题考查的是复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．现有2cm，3cm，5cm，7cm长的四条线段，任取其中三条，可以组成的三角形的情况个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
解：长度为2cm、3cm、5cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2，3，5；2，3，7；3，5，7；2，5，7这四种情况，
而能组成三角形的有3cm、5cm、7cm，有1种情况，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系，三角形的三边关系为：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．
9．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．50°
和
50°
B．40°
和
40°
C．35°
和
35°
D．60°
和20°
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个底角都是（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角不可能是底角．
10．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．70°
D．75°
【分析】先根据平角求出∠ACE，再根据平行线的性质得出∠A＝∠ACE，代入求出即可．
解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质，能求出∠A＝∠ACE是解此题的关键．
11．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70°
B．68°
C．65°
D．60°
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，
∴△ABE中，∠B＝＝70°，
∴∠AED＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB＝∠BAD．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，
又∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，
∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣70°）＝15°，
在△ABG和△FDG中，∵∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，
∴∠DFB＝∠BAD＝15°．
故选：A．
【点评】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
13．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（ ）对．
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】依据AD垂直平分BC，AD垂直平分EF，即可得出AB＝AC，AE＝AF，依据SSS即可得出图形中共有全等三角形4对．
解：∵BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，AD垂直平分EF，
∴AB＝AC，AE＝AF，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），△AED≌△AFD（SSS），
∵BE＝CF，DE＝DF，
∴BF＝CE，
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△ABF≌△ACE（SSS），
∵AB＝AC，AE＝AF，BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF（SSS），
∴图形中共有全等三角形4对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是先证明三角形全等，再证明其它三角形的全等．
14．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+c
B．m+n＜b+c
C．m+n＝b+c
D．无法确定
【分析】在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．
解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACP和△AEP中，，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m+n＞b+c．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（ ）
A．2cm2
B．3cm2
C．4cm2
D．5cm2
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可得△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，从而计算△BEC的面积，根据EF＝2FC，可得结论．
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），
∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，
∴S△BEC＝S△ABC＝6cm2．
∵EF＝2FC，
∴S△BEF＝S△BCE，
∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
16．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10．
解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC＝为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即BC的长可能值有4个，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
二．填空题（共8小题）
17．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，则∠ABC＝∠CDE＝90°，BC＝DC，∠1＝ ∠2 ，△ABC≌ △EDC ，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为 25米 ．
【分析】已知直角三角形中，一锐角相等，又有一直角边相等，所以可得到其全等，然后由全等的性质得到何宽AB的长度．
解：∵，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），
∴AB＝DE，
∴AB＝25米
故填∠2，△EDC，25米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；认真观察图形，找出已知条件，把实际问题转化为数学问题解决是正确解答本题的关键．
18．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝ 45° ．
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题综合考查角平分线以及全等图形，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．
19．如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是 2 ．
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，依此即可求解．
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△AEC＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△AEC＝S△ABC＝×8＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分．
20．已知a，b，c为△ABC的三边长，且（a﹣2）2+b2﹣6b+9＝0，其中c的范围是 1＜c＜5 ．
【分析】依据非负数的性质，即可得到a＝2，b＝3，再根据三角形三边关系，即可得到c的范围．
解：（a﹣2）2+b2﹣6b+9＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴3﹣2＜c＜3+2，
∴1＜c＜5，
故答案为：1＜c＜5．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，任意一个数的偶次方都是非负数，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
21．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 92° ．
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝46°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+92°，
则∠1﹣∠2＝92°．
故答案为：92°．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
22．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为 70° ．
【分析】根据轴对称的性质可得∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α．
解：由题可得，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，
∵∠1：∠2：∠3＝29：4：3，
∴∠2+∠3＝180°×＝35°，
∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝2（∠2+∠3）＝2×35°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并表示出∠α是解题的关键．
23．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
24．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 0或4或8或12 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝6﹣2＝4，
∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，
这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝2+6＝8，
∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝6+6＝12，
点P的运动时间为12÷1＝12（秒），
故答案为：0或4或8或12．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三．解答题（共4小题）
25．（1）如图1，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
①其中以AB为一边可以画出 3 个三角形；
②其中以C为顶点可以画出 6 个三角形．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）
①AC边上的中线BE；②AC边上的高BF；③作出与∠BAC相邻的外角．
【分析】（1）根据过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；①其中以AB为一边可以画出3个三角形；②其中以C为顶点可以画出6个三角形．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，①AC边上的中线BE；②AC边上的高BF；③作出与∠BAC相邻的外角即可．
解：
（1）如图1，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
①其中以AB为一边可以画出3个三角形；
②其中以C为顶点可以画出6个三角形．
故答案为3、6．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，
①BE即为AC边上的中线；
②BF即为AC边上的高；
③∠BAD即为与∠BAC相邻的外角．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、三角形的外角性质，解决本题的关键是准确作图．
26．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ 85或100 °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【分析】（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；
（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB＝135°，进而可求∠A的度数；
（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A＝m°，∠B＝n°，即可求出∠BPC的度数．
解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝70°+15°＝85°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝70°+30°＝100°；
故答案为：85或100；
（2）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+n°；
情况四：如图④、⑤，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
①当m＞n时，∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣n°；
②当m＜n时，∠P＝∠ABC﹣∠A＝n°﹣m°．
综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°或m°+n°或m°﹣n°或n°﹣m°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意要分情况讨论．
27．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，进而借助SAS得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，求出∠1＝∠EAC是证明三角形全等的关键．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动 3 秒时，AE＝DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝ 90°﹣α （用含α的式子表示）．
【分析】（1）依据BD＝CE＝2t，可得CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，再根据当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），可得t的值；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，根据12﹣2t＝8，可得t的值；
（3）依据∠CDE＝∠BAD，∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，即可得到∠ADE＝∠B，再根据∠BAC＝α，AB＝AC，即可得出∠ADE．
解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，
∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，
∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），
解得t＝3，
故答案为：3；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，
∴12﹣2t＝8，
解得t＝2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．
一．选择题（共16小题）
1．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
2．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS
B．AAA
C．SSS
D．ASA
3．如图，△ABC中，∠BAC是钝角，AD⊥BC、EB⊥BC、FC⊥BC，则下列说法正确的是（ ）
A．AD是△ABC的高
B．EB是△ABC的高
C．FC是△ABC的高
D．AE、AF是△ABC的高
4．以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件不能判断△ABD≌△BAC的条件是（ ）
A．∠D＝∠C
B．AD＝BC
C．∠BAD＝∠ABC
D．BD＝AC
6．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．AC＝DF
B．∠B＝∠E
C．BC＝EF
D．∠C＝∠F
7．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线的原理是证明△POC≌△QOC，那么证明△POC≌△QOC的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
8．现有2cm，3cm，5cm，7cm长的四条线段，任取其中三条，可以组成的三角形的情况个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．50°
和
50°
B．40°
和
40°
C．35°
和
35°
D．60°
和20°
10．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．70°
D．75°
11．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70°
B．68°
C．65°
D．60°
12．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
13．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（ ）对．
A．2
B．3
C．4
D．5
14．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+c
B．m+n＜b+c
C．m+n＝b+c
D．无法确定
15．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（ ）
A．2cm2
B．3cm2
C．4cm2
D．5cm2
16．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4
B．5
C．6
D．7
二．填空题（共8小题）
17．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，则∠ABC＝∠CDE＝90°，BC＝DC，∠1＝ ，△ABC≌
，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为
．
18．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝
．
19．如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是
．
20．已知a，b，c为△ABC的三边长，且（a﹣2）2+b2﹣6b+9＝0，其中c的范围是
．
21．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是
．
22．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为
．
23．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝
°．
24．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随P点运动而运动，当点P运动
秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
三．解答题（共4小题）
25．（1）如图1，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
①其中以AB为一边可以画出
个三角形；
②其中以C为顶点可以画出
个三角形．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）
①AC边上的中线BE；②AC边上的高BF；③作出与∠BAC相邻的外角．
26．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝
°；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
27．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动
秒时，AE＝DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝
（用含α的式子表示）．
参考答案
一．选择题（共16小题）
1．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
解：②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
2．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS
B．AAA
C．SSS
D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），故选：D．
3．如图，△ABC中，∠BAC是钝角，AD⊥BC、EB⊥BC、FC⊥BC，则下列说法正确的是（ ）
A．AD是△ABC的高
B．EB是△ABC的高
C．FC是△ABC的高
D．AE、AF是△ABC的高
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
解：△ABC中，画BC边上的高，是线段AD．
故选：A．
【点评】考查了三角形的高的概念，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4．以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到经过顶点B且与AC垂直的BD所在的图形即可．
解：A、高BD交AC的延长线于点D处，符合题意；
B、没有经过顶点B，不符合题意；
C、做的是BC边上的高线AD，不符合题意；
D、没有经过顶点B，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高．
5．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件不能判断△ABD≌△BAC的条件是（ ）
A．∠D＝∠C
B．AD＝BC
C．∠BAD＝∠ABC
D．BD＝AC
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
解：由题意得，∠ABD＝∠BAC，
A、在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），故A选项能判定全等；
B、在△ABC与△BAD中，
由BC＝AD，AB＝BA，∠BAC＝∠ABD，可知△ABC与△BAD不全等，
故B选项不能判定全等；
C、在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（ASA），故C选项能判定全等；
D、在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），故D选项能判定全等；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．AC＝DF
B．∠B＝∠E
C．BC＝EF
D．∠C＝∠F
【分析】根据全等三角形的判定定理，结合各选项的条件进行判断即可．
解：A、添加AC＝DF，满足SAS，可以判定两三角形全等；
B、添加∠B＝∠E，满足ASA，可以判定两三角形全等；
C、添加BC＝EF，不能判定这两个三角形全等；
D、添加∠C＝∠F，满足AAS，可以判定两三角形全等；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线的原理是证明△POC≌△QOC，那么证明△POC≌△QOC的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【分析】依据OP＝OQ，PC＝QC，OC＝OC，因此符合SSS的条件，即可证明△POC≌△QOC．
解：由作图知：OP＝OQ，PC＝QC，OC＝OC，即三边分别对应相等，
∴△DOP≌△EOP（SSS），
故选：D．
【点评】本题考查的是复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．现有2cm，3cm，5cm，7cm长的四条线段，任取其中三条，可以组成的三角形的情况个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
解：长度为2cm、3cm、5cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2，3，5；2，3，7；3，5，7；2，5，7这四种情况，
而能组成三角形的有3cm、5cm、7cm，有1种情况，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系，三角形的三边关系为：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．
9．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．50°
和
50°
B．40°
和
40°
C．35°
和
35°
D．60°
和20°
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个底角都是（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角不可能是底角．
10．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．50°
B．55°
C．70°
D．75°
【分析】先根据平角求出∠ACE，再根据平行线的性质得出∠A＝∠ACE，代入求出即可．
解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质，能求出∠A＝∠ACE是解此题的关键．
11．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70°
B．68°
C．65°
D．60°
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，
∴△ABE中，∠B＝＝70°，
∴∠AED＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB＝∠BAD．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，
又∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，
∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣70°）＝15°，
在△ABG和△FDG中，∵∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，
∴∠DFB＝∠BAD＝15°．
故选：A．
【点评】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
13．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（ ）对．
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】依据AD垂直平分BC，AD垂直平分EF，即可得出AB＝AC，AE＝AF，依据SSS即可得出图形中共有全等三角形4对．
解：∵BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，AD垂直平分EF，
∴AB＝AC，AE＝AF，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），△AED≌△AFD（SSS），
∵BE＝CF，DE＝DF，
∴BF＝CE，
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△ABF≌△ACE（SSS），
∵AB＝AC，AE＝AF，BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF（SSS），
∴图形中共有全等三角形4对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是先证明三角形全等，再证明其它三角形的全等．
14．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）
A．m+n＞b+c
B．m+n＜b+c
C．m+n＝b+c
D．无法确定
【分析】在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．
解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACP和△AEP中，，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE＝PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m+n＞b+c．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（ ）
A．2cm2
B．3cm2
C．4cm2
D．5cm2
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可得△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，从而计算△BEC的面积，根据EF＝2FC，可得结论．
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），
∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，
∴S△BEC＝S△ABC＝6cm2．
∵EF＝2FC，
∴S△BEF＝S△BCE，
∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
16．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10．
解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜22﹣BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC＝为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，
即BC的长可能值有4个，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
二．填空题（共8小题）
17．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，则∠ABC＝∠CDE＝90°，BC＝DC，∠1＝ ∠2 ，△ABC≌ △EDC ，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为 25米 ．
【分析】已知直角三角形中，一锐角相等，又有一直角边相等，所以可得到其全等，然后由全等的性质得到何宽AB的长度．
解：∵，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），
∴AB＝DE，
∴AB＝25米
故填∠2，△EDC，25米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；认真观察图形，找出已知条件，把实际问题转化为数学问题解决是正确解答本题的关键．
18．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝ 45° ．
【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题综合考查角平分线以及全等图形，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．
19．如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是 2 ．
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，依此即可求解．
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△AEC＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△AEC＝S△ABC＝×8＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分．
20．已知a，b，c为△ABC的三边长，且（a﹣2）2+b2﹣6b+9＝0，其中c的范围是 1＜c＜5 ．
【分析】依据非负数的性质，即可得到a＝2，b＝3，再根据三角形三边关系，即可得到c的范围．
解：（a﹣2）2+b2﹣6b+9＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴3﹣2＜c＜3+2，
∴1＜c＜5，
故答案为：1＜c＜5．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，任意一个数的偶次方都是非负数，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
21．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 92° ．
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝46°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+92°，
则∠1﹣∠2＝92°．
故答案为：92°．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
22．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为 70° ．
【分析】根据轴对称的性质可得∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α．
解：由题可得，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，
∵∠1：∠2：∠3＝29：4：3，
∴∠2+∠3＝180°×＝35°，
∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝2（∠2+∠3）＝2×35°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并表示出∠α是解题的关键．
23．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
24．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 0或4或8或12 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝6﹣2＝4，
∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，
这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝2+6＝8，
∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝6+6＝12，
点P的运动时间为12÷1＝12（秒），
故答案为：0或4或8或12．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三．解答题（共4小题）
25．（1）如图1，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
①其中以AB为一边可以画出 3 个三角形；
②其中以C为顶点可以画出 6 个三角形．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）
①AC边上的中线BE；②AC边上的高BF；③作出与∠BAC相邻的外角．
【分析】（1）根据过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；①其中以AB为一边可以画出3个三角形；②其中以C为顶点可以画出6个三角形．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，①AC边上的中线BE；②AC边上的高BF；③作出与∠BAC相邻的外角即可．
解：
（1）如图1，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
①其中以AB为一边可以画出3个三角形；
②其中以C为顶点可以画出6个三角形．
故答案为3、6．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，
①BE即为AC边上的中线；
②BF即为AC边上的高；
③∠BAD即为与∠BAC相邻的外角．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、三角形的外角性质，解决本题的关键是准确作图．
26．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ 85或100 °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【分析】（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；
（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB＝135°，进而可求∠A的度数；
（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A＝m°，∠B＝n°，即可求出∠BPC的度数．
解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝70°+15°＝85°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝70°+30°＝100°；
故答案为：85或100；
（2）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+n°；
情况四：如图④、⑤，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
①当m＞n时，∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣n°；
②当m＜n时，∠P＝∠ABC﹣∠A＝n°﹣m°．
综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°或m°+n°或m°﹣n°或n°﹣m°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意要分情况讨论．
27．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，进而借助SAS得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，求出∠1＝∠EAC是证明三角形全等的关键．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动 3 秒时，AE＝DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝ 90°﹣α （用含α的式子表示）．
【分析】（1）依据BD＝CE＝2t，可得CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，再根据当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），可得t的值；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，根据12﹣2t＝8，可得t的值；
（3）依据∠CDE＝∠BAD，∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，即可得到∠ADE＝∠B，再根据∠BAC＝α，AB＝AC，即可得出∠ADE．
解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，
∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，
∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），
解得t＝3，
故答案为：3；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，
∴12﹣2t＝8，
解得t＝2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．