2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》同步能力达标测评(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》同步能力达标测评(word版含答案) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 290.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-28 17:52:33 | ||
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文档简介
2021年鲁教版九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．sinB＝
C．cosA＝
D．tanB＝2
2．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1
B．1＜a＜2
C．2＜a＜3
D．3＜a＜4
3．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA＝（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知cosα＝，且α是锐角，则α＝（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6．下面四个数中，最大的是（ ）
A．
B．sin88°
C．tan46°
D．
7．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠CAB的值是（ ）
A．
B．
C．2
D．
8．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cm
B．cm
C．64cm
D．54cm
9．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（ ）
A．50m
B．100m
C．120m
D．130m
10．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（ ）m．
A．10
B．15
C．15
D．15﹣5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，则tanB＝
．
12．比较大小：sin81°
tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
13．如果α是锐角，且sinα＝，那么cosα的值为
．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为
．
15．若，则∠A＝
°．
三．解答题（共8小题，满分55分）
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
17．计算：
（1）
（2）
（3）已知α为锐角，，计算的值．
18．计算：tan60°﹣2cos30°+sin45°．
19．如图，AC是△ABD的高，∠D＝45°，∠B＝60°，AD＝10．求AB的长．
20．改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求线段AG的长度；
（2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．
（所有结果精确到0.1m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
21．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
22．如图，两座建筑物AB，DC的水平距离BC为30m，从点A测得点D的俯角为30°，测得点C的俯角为45°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）．
23．如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向以70m/min的速度步行6min后到达A处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B处，在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上．求小明步行的总路程（精确到1m）．
参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4，≈1.7．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，
故sinA＝＝＝，故A选项错误；
sinB＝＝＝，故B选项错误；
cosA＝＝＝，故C选项错误；
tanB＝＝2，故D选项正确；
故选：D．
2．解：∵tan45°＝1，tan60°＝，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，
∴tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，
则1＜a＜2，
故选：B．
3．解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝2，
设AC＝x，则BC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．故选：C．
4．解：如图所示：∵∠C＝90°，cosB＝，
∴设BC＝3x，则AB＝5x，
故AC＝4x，
则tanA＝＝．
故选：C．
5．解：∵cosα＝，且α是锐角，
∴α＝30°．
故选：A．
6．解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；
B、sin88°≈0.999；
C、tan46°≈1.036；
D、≈≈0.568．
故tan46°最大，
故选：C．
7．解：取格点D，E，连接BD，如图，
∵∠CDE＝∠BDE＝45°，
∴∠CDB＝90°．
∵AD＝，AB＝，
∴在Rt△ADB中，cos∠CAB＝．
故选：B．
8．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
9．解：如图，
根据题意知AB＝130米，tanB＝＝1：2.4，
设AC＝x，则BC＝2.4x，
则x2+（2.4x）2＝1302，
解得x＝50或x＝﹣50（负值舍去），
即他的高度上升了50m，
故选：A．
10．解：在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝10（m），
∴AB＝BC?sin60°＝10×＝15（m）．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，
过A作AD⊥BC于D，则BD＝5，
在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，则，
AD＝＝12，
故tanB＝＝．
故答案为．
12．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
13．解：∵sin2α+cos2α＝1，sinα＝，
∴+cos2α＝1，
∴cos2α＝，
∵α是锐角，
∴cosα＝，
故答案为：．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b＝4k，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
15．解：∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
三．解答题（共8小题，满分55分）
16．解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝4，
∴b＝＝8，
17．解：（1）原式＝3﹣1+＝2+＝．
（2）原式＝4﹣2×1+5＝4﹣2+5＝7．
（3）∵α为锐角，，
∴α﹣15°＝45°．
∴α＝60°．
∴
＝﹣2×+3×﹣2
＝﹣1+3﹣2
＝﹣1+．
18．解：原式＝﹣2×+
＝﹣+
＝．
19．解：在Rt△ACD中，AC＝ADsinD＝10sin45°＝5，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝．
20．解：（1）设AE＝x，
∵tan∠ABE＝，tan∠ACE＝，
∴BE＝，CE＝
∵BE+CE＝BC，
∴+＝20，
∴解得：x≈2.9，
∴AG＝2.9+0.6＝3.5m；
（2）当AF⊥AC时，
∴∠FAG+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠FAG＝∠ACE＝31°，
∴tan31°＝，
∴FG≈2.1．
21．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝4（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（m），
答：新传送带AC的长度为8m；
（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD＝AB?cos∠ACD＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝4（m），
∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，
∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），
∵4＜5，
∴货物MNQP需要挪走．
22．解：过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于E，
则四边形ABCE是矩形，
∴AE∥BC，AE＝BC，AB＝CE，∠ACB＝∠CAE＝45°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝30米，
在Rt△AED中，DE＝AE?tan30°＝10米，
∴CD＝CE﹣DE＝AB﹣DE＝（30﹣10）米，
答：建筑物AB高30米，建筑物CD高（30﹣10）米．
23．解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意得：PA＝70×6＝420，∠APC＝30°，∠B＝37°，
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，
∴AC＝PA＝210，PC＝AP?cos∠APC≈420×＝210，
在Rt△BPC中，tanB＝，
则BC＝＝≈485，
∴小明步行的总路程＝PA+AB＝420+210+485＝1115（m）．
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．sinB＝
C．cosA＝
D．tanB＝2
2．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1
B．1＜a＜2
C．2＜a＜3
D．3＜a＜4
3．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA＝（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知cosα＝，且α是锐角，则α＝（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6．下面四个数中，最大的是（ ）
A．
B．sin88°
C．tan46°
D．
7．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠CAB的值是（ ）
A．
B．
C．2
D．
8．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．cm
B．cm
C．64cm
D．54cm
9．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（ ）
A．50m
B．100m
C．120m
D．130m
10．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（ ）m．
A．10
B．15
C．15
D．15﹣5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，则tanB＝
．
12．比较大小：sin81°
tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
13．如果α是锐角，且sinα＝，那么cosα的值为
．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为
．
15．若，则∠A＝
°．
三．解答题（共8小题，满分55分）
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
17．计算：
（1）
（2）
（3）已知α为锐角，，计算的值．
18．计算：tan60°﹣2cos30°+sin45°．
19．如图，AC是△ABD的高，∠D＝45°，∠B＝60°，AD＝10．求AB的长．
20．改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求线段AG的长度；
（2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．
（所有结果精确到0.1m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
21．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
22．如图，两座建筑物AB，DC的水平距离BC为30m，从点A测得点D的俯角为30°，测得点C的俯角为45°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）．
23．如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向以70m/min的速度步行6min后到达A处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B处，在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上．求小明步行的总路程（精确到1m）．
参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4，≈1.7．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，
故sinA＝＝＝，故A选项错误；
sinB＝＝＝，故B选项错误；
cosA＝＝＝，故C选项错误；
tanB＝＝2，故D选项正确；
故选：D．
2．解：∵tan45°＝1，tan60°＝，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，
∴tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，
则1＜a＜2，
故选：B．
3．解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝2，
设AC＝x，则BC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．故选：C．
4．解：如图所示：∵∠C＝90°，cosB＝，
∴设BC＝3x，则AB＝5x，
故AC＝4x，
则tanA＝＝．
故选：C．
5．解：∵cosα＝，且α是锐角，
∴α＝30°．
故选：A．
6．解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；
B、sin88°≈0.999；
C、tan46°≈1.036；
D、≈≈0.568．
故tan46°最大，
故选：C．
7．解：取格点D，E，连接BD，如图，
∵∠CDE＝∠BDE＝45°，
∴∠CDB＝90°．
∵AD＝，AB＝，
∴在Rt△ADB中，cos∠CAB＝．
故选：B．
8．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
9．解：如图，
根据题意知AB＝130米，tanB＝＝1：2.4，
设AC＝x，则BC＝2.4x，
则x2+（2.4x）2＝1302，
解得x＝50或x＝﹣50（负值舍去），
即他的高度上升了50m，
故选：A．
10．解：在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝10（m），
∴AB＝BC?sin60°＝10×＝15（m）．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，
过A作AD⊥BC于D，则BD＝5，
在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，则，
AD＝＝12，
故tanB＝＝．
故答案为．
12．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
13．解：∵sin2α+cos2α＝1，sinα＝，
∴+cos2α＝1，
∴cos2α＝，
∵α是锐角，
∴cosα＝，
故答案为：．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b＝4k，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
15．解：∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
三．解答题（共8小题，满分55分）
16．解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝4，
∴b＝＝8，
17．解：（1）原式＝3﹣1+＝2+＝．
（2）原式＝4﹣2×1+5＝4﹣2+5＝7．
（3）∵α为锐角，，
∴α﹣15°＝45°．
∴α＝60°．
∴
＝﹣2×+3×﹣2
＝﹣1+3﹣2
＝﹣1+．
18．解：原式＝﹣2×+
＝﹣+
＝．
19．解：在Rt△ACD中，AC＝ADsinD＝10sin45°＝5，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝．
20．解：（1）设AE＝x，
∵tan∠ABE＝，tan∠ACE＝，
∴BE＝，CE＝
∵BE+CE＝BC，
∴+＝20，
∴解得：x≈2.9，
∴AG＝2.9+0.6＝3.5m；
（2）当AF⊥AC时，
∴∠FAG+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠FAG＝∠ACE＝31°，
∴tan31°＝，
∴FG≈2.1．
21．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝4（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（m），
答：新传送带AC的长度为8m；
（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD＝AB?cos∠ACD＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝4（m），
∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，
∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），
∵4＜5，
∴货物MNQP需要挪走．
22．解：过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于E，
则四边形ABCE是矩形，
∴AE∥BC，AE＝BC，AB＝CE，∠ACB＝∠CAE＝45°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝30米，
在Rt△AED中，DE＝AE?tan30°＝10米，
∴CD＝CE﹣DE＝AB﹣DE＝（30﹣10）米，
答：建筑物AB高30米，建筑物CD高（30﹣10）米．
23．解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意得：PA＝70×6＝420，∠APC＝30°，∠B＝37°，
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，
∴AC＝PA＝210，PC＝AP?cos∠APC≈420×＝210，
在Rt△BPC中，tanB＝，
则BC＝＝≈485，
∴小明步行的总路程＝PA+AB＝420+210+485＝1115（m）．