5.3应用一元一次方程——水箱变高了 同步提优训练 2021—2022学年北师大版数学七年级上册（Word版 含答案）

3　应用一元一次方程——水箱变高了
命题点 1　用一元一次方程解决平面图形的周长与面积问题
1．用72 cm长的铁丝做一个长方形的教具，如果宽为15 cm，那么长为(　　)
A．28.5 cm B．42 cm C．21 cm D．33.5 cm
2．在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图1所示，求小长方形的宽．若设小长方形的宽为x cm，依题意可得方程(　　)
图1
A．6＋2x＝14－3x B．6＋2x＝x＋(14－3x)
C．14－3x＝6 D．6＋2x＝14－x
3．一块正方形铁皮，在每个角各截去一个一样的小正方形，折成底面边长是40 cm的无盖长方体盒子，其容积是24000 cm3，则原正方形铁皮的边长是________ cm.
4．如图2①是边长为40 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽与高相等，则这个长方体的体积为________cm3.
　　　
图2
5．如图3，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的面积是1，求这个长方形的面积．
图3
命题点 2　用一元一次方程解决等长变形问题
6．如图4是一个用铁丝围成的梯形，将其改成一个长和宽的比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？
图4
7.一个长方形养鸡场的一条边靠墙(靠墙的一边为长边)，墙长14米，其他三边需要用竹篱笆围成．现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积是多少？
命题点 3　用一元一次方程解决等积变形问题
8．根据图5中给出的信息，下列方程正确的是(　　)
图5
A．π×()2＝π×()2×(x＋5) B．π×()2＝π×()2×(x－5)
C．π×()2x＝π×()2(x＋5) D．π×82x＝π×62×5
9．如图6，将一个底面直径为10 cm，高为36 cm的“瘦高”形圆柱锻压(不考虑耗损)成底面直径为20 cm的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
图6
10.一艘驳船的载重量是800吨，容积是795立方米．现在装运生铁和棉花两种货物，每吨生铁的体积是0.3立方米，每吨棉花的体积是4立方米，为了充分利用船的载重量和容积，生铁和棉花各应装多少吨？
命题点 4　根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题
11．将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗，如果每人3颗，那么就少12颗．这个班有多少名小朋友？
12．某公路一侧原有路灯106盏(两端都有)，相邻两盏灯之间的距离为36 m，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯之间的距离变为54 m，则需要更换新型节能灯多少盏？

13．在一个底面直径为2 cm，高为39 cm的量筒内装满水，再将量筒内的水倒入底面直径为4 cm，高为3 cm的3个烧杯内，能否完全装下？若装不下，量筒内的水还剩多高？



典题讲评与答案详析
1．C　[解析] 设长方形的长为x cm，
根据题意，得2(x＋15)＝72，
解得x＝21.
因此，长方形的长为21 cm.
2．B　[解析] 小长方形的宽为x cm，则小长方形的长为(14－3x)cm.
根据题意，得6＋2x＝x＋(14－3x)．
3．70　[解析] 设剪去的小正方形的边长为x cm.
根据题意，得40×40×x＝24000，
解得x＝15.
所以原正方形的边长＝40＋2×15＝70(cm)．
4．2000　[解析] 设宽为x cm，则其高为＝(20－x)cm.
根据题意，得x＝20－x，
解得x＝10.
故长方体的宽与高均为10 cm，长为40－10×2＝20(cm)，
所以长方体的体积为20×10×10＝2000(cm3).5.[解析] 通过观察可发现6个正方形的边长间存在着数量关系．
将长方形的长用两种不同形式表示，从而建立等量关系．
解：如图，由最小的正方形的面积是1，可知最小的正方形的边长是1.设正方形①的边长为x，则正方形②的边长也为x，正方形③的边长为x＋1，正方形④的边长为x＋1＋1，正方形⑤的边长为x＋1＋1＋1.
根据题意，得x＋1＋2x＝(x＋1＋1)＋(x＋1＋1＋1)，解得x＝4.
则长方形的长为13，宽为11.
故这个长方形的面积为13×11＝143.
6．解：设长方形的宽为x，则长为2x.
根据题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋13＋9，
解得x＝5.5.
2×5.5＝11.
因此，该长方形的长为11，宽为5.5.
7．解：根据小王的设计可设宽为x米，则长为(x＋5)米．根据题意，得2x＋(x＋5)＝35，解得x＝10.
因此小王设计的长方形养鸡场的长为10＋5＝15(米)>14米，故小王的设计不符合实际．
根据小赵的设计可设宽为y米，则长为(y＋2)米．
根据题意，得2y＋(y＋2)＝35，解得y＝11.
因此小赵设计的长方形养鸡场的长为11＋2＝13(米)<14米，故小赵的设计符合实际．
按照他的设计，养鸡场的面积为11×13＝143(米2)．
8．C
9．解：设“矮胖”形圆柱的高变成了x cm.
根据题意，得()2π×36＝()2π×x.
解得x＝9.
因此，锻压后“矮胖”形圆柱的高变成了9 cm.
10．解：设生铁应装x吨，则棉花应装(800－x)吨．
根据题意，得0.3x＋4(800－x)＝795.
解得x＝650.
800－650＝150.
因此，生铁应装650吨，棉花应装150吨．
11．解：设这个班有x名小朋友．
根据题意，得2x＋8＝3x－12.解得x＝20.
因此，这个班有20名小朋友．
12．解：设需要更换新型节能灯x盏．
根据题意，得(106－1)×36＝(x－1)×54.
解得x＝71.
因此，需要更换新型节能灯71盏．
13．解：V量筒＝π×()2×39＝39π(cm3)，
V烧杯＝π×()2×3＝12π(cm3)，
3×12π＝36π(cm3)．
因为39π＞36π，
所以装不下．
设量筒内的水还剩x cm高．根据题意，得
π×()2×(39－x)＝3×π×()2×3.
解得x＝3.
即量筒内的水还剩3 cm高．