2021-2022学年沪科版九年级数学上册 第23章 解直角三角形 达标测试卷(word版含答案)

第23章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝7，AC＝24，则sin
B的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
2．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cos
α等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3．当30°＜∠A＜90°时，sin
A的值(　　)
A．大于
B．小于
C．小于
D．大于，小于1
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝，BC＝2，则sin
∠ACD的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
(第4题)　　
(第5题)　　　　
(第6题)　　
　　
(第7题)
5．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6
m，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为(　　)
A.
m
B.
m
C．6
cos
52°
m
D.
m
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的正割，用“sec
A”表示，如设该直角三角形各边长为a，b，c，则sec
A＝，则下列说法正确的是(　　)
A．sec
B·sin
A＝1
B．sec
B＝
C．sec
A·cos
B＝1
D．sec2
A·sec2
B＝1
7.如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为(　　)
A．10海里/时
B．30海里/时
C．20海里/时
D．30海里/时
8．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30
m，斜坡的倾斜角是
∠BAC.若tan
∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为(　　)
A．75
m
B．50
m
C．30
m
D．12
m
(第8题)　　　　
(第9题)　　　　
(第10题)
9．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满水，乙杯是空的．若把甲杯中的水全部倒入乙杯，则乙杯中的水面与图中点P的距离是(　　)
A．2
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
10．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan
B＝，则tan
∠CAD的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin
B＝________．
12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos
B＝，则sin
B的值为________．
13．如图，在△ABC中，BC＝
＋，∠C＝45°，AB＝
AC，则AC的长为________．
(第13题)　
　
(第14题)　　
(第15题)　　
(第16题)
14.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan
(α＋β)________tan
α＋tan
β.(填“＞”“＜”或“＝”)
15．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是____________________．
16.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y＝(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC＝32，tan
∠DOE＝，则BN的长为________．
三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)
17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan
B的值．
18．已知α为锐角，且sin
2α－sin
α＋1＝0，求sin
α的值．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan
B＝cos
∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sin
C＝，AD＝24，求BC的长．
20．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部B点处到坡面CD顶端C点处的水平距离BC＝1米，旗杆AB的高度约为多少？(参考数据：sin
58°≈0.85，cos
58°≈0.53，tan
58°≈1.60，计算结果保留一位小数)
21．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．施工队原计划每天修建多少千米？
22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．
(1)小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA＝PD，如图①，则tan
∠BAP的值为________；
(2)请你在图②中再画出一个满足条件的△APD(与小明画的不同)，并求此时tan
∠BAP的值．
答案
一、1．D　2．B　3．D　4．A　5．D　6．A
7．D　点拨：∵∠CAB＝10°＋20°＝30°，∠CBA＝80°－20°＝60°，
∴∠C＝90°
.
∵AB＝20海里，
∴AC＝AB·cos
30°＝10海里．
∴救援船航行的速度为10÷＝30(海里/时)．故选D.
8．A　点拨：∵∠BCA＝90°
，tan
∠BAC＝，BC＝30
m，
∴tan
∠BAC＝＝＝，
解得AC＝75
m，故选A.
9．C
10．D　点拨：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵tan
B＝，即＝，
∴设AD＝5x，则AB＝3x.
∵∠CDE＝∠BDA，
∠CED＝∠BAD＝90°，
∴△CDE∽△BDA，
∴＝＝＝，
∴CE＝x，DE＝x，
∴AE＝x，
∴tan
∠CAD＝＝，故选D.
二、11．　12．　13．2
14．＞　点拨：如图，易知△ABC是等腰直角三角形，∴tan
(α＋β)＝tan
45°＝1，tan
α＋tan
β＝＋＝＜1，
∴tan
(α＋β)＞tan
α＋tan
β.
15.＜BC＜2
16．3　点拨：∵S矩形OABC
＝32，∴AB·BC＝32.
∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，
∴AB＝DE，OD＝OA.
在Rt△ODE中，tan
∠DOE＝＝，∴OD＝2DE，
∴DE·2DE＝32，解得DE＝4，∴AB＝4，OA＝8.
在Rt△OCM中，
∵tan
∠COM＝＝，而OC＝AB＝4，∴MC＝2，
∴M(－2，4)．把M(－2，4)的坐标代入y＝，得k＝－2×4＝－8，
∴反比例函数表达式为y＝－.
当x＝－8时，y＝－＝1，则N(－8，1)，
∴BN＝4－1＝3.故答案为3.
三、17．解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，
则S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝12，解得AD＝4.
在Rt△ABD中，BD＝＝＝4
，
∴tan
B＝＝＝.
18．解：由题意，得sin
α＝2或sin
α＝.∵α为锐角，
∴0＜sin
α＜1.
∴sin
α＝.
19．(1)证明：
在Rt△ABD和Rt△ADC中，tan
B＝，cos
∠DAC＝.
∵tan
B＝cos
∠DAC，
∴＝，∴AC＝BD.
(2)解：在Rt△ADC中，sin
C＝，则AC＝＝＝26，
∴CD＝＝＝10.
∴BC＝BD＋CD＝AC＋CD＝26＋10＝36.
20．解：如图，延长AB交ED的延长线于M，过点C作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形．
由题意得在Rt△CJD中，＝＝，
设CJ＝4k米，DJ＝3k米，∵CD＝2米，
∴(3k)2＋(4k)2＝22，
∴k＝(负值舍去)，
∴BM＝CJ＝米，BC＝MJ＝1米，DJ＝米，∴EM＝MJ＋DJ＋DE＝米．
在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，
∴tan
58°＝≈1.60，
解得AB≈13.1米．
故旗杆AB的高度约为13.1米．
21．解：(1)如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D.
∵在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝100千米，
∴CD＝BC·sin
30°＝100×＝50(千米)，
BD＝BC·cos
30°＝100×＝50
(千米)．
∵在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴∠ACD＝45°＝∠A，
∴AD＝CD＝50千米，
AC＝＝＝50
(千米)，
∴AB＝AD＋BD＝50＋50
(千米)，
∴AC＋BC－AB＝50
＋100－(50＋50
)＝50＋50
－50
≈35(千米)．
答：从A地到景区B旅游可以少走约35千米．
(2)设施工队原计划每天修建x千米，依题意得
－＝50，
解得x≈0.54，
经检验x≈0.54是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建约0.54千米．
22．解：(1)1
(2)(画法一)如图①所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°.
∵AP＝AD＝6，AB＝3，
∴在Rt△ABP中，BP＝＝3
.∴tan
∠BAP＝＝.
(画法二)如图②所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∵PD＝AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，
∴在Rt△CPD中，CP＝＝3
.
∴BP＝BC－CP＝6－3
.
∴tan
∠BAP＝＝2－.