《1.3勾股定理的应用》同步专题突破训练（附答案） 2021-2022学年八年级数学北师大版上册

2021年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》同步专题突破训练（附答案）
1．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
2．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周四尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”，题意是：如图所示，把枯木看成一个圆柱体，因一丈为十尺，则圆柱体高为20尺，底面周长四尺，有葛藤自A点缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是（　　）尺．
A．25 B．20 C．4 D．2
3．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（　　）
A．10 B．50 C．120 D．130
4．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC＝8，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（　　）
A．6 B．4π C．8 D．10
5．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
6．如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（　　）
A．8m B．10m C．12m D．15m
7．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A．17m B．18m C．25m D．26m
8．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（　　）
A．2.9×2.2 B．2.8×2.3 C．2.7×2.4 D．2.6×2.5
9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两圆孔中心A和B的距离为（　　）mm．
A．120 B．135 C．30 D．150
11．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．他们踩伤草坪，仅仅少走了（　　）
A．4m B．6m C．8m D．10m
12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
13．如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深为AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
14．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个记号，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面处，发现此时绳子底端距离记号处1米，则旗杆的高度是多少米？
15．如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝20km，
（1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
16．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝2.5m，∠OAB＝30°．梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度．（结果保留根号）
17．某运动公园有一块空地，如图，△ABC所示，∠ACB＝90°，公园管理处计划在△ADC区域内安装健身器材，其余部分种植草坪，绿化环境．经测量：CD＝30米，AD＝40米，BC＝120米，AB＝130米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）若种植草坪的费用每平方米300元，求种植草坪的总费用．
有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？

19．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？
20．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
21．已知某学校有一块三角形空地ABC，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，BD＝6m，BC＝10m，CD＝8m，AC＝17m，若每平方米草皮需要200元，求一共需要投入多少元．
22．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
参考答案
1．解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，
则AA′＝＝15（cm）．
故选：D．
2．解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×4＝20（尺），
因此葛藤长为＝20（尺）．
故选：B．
3．解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，
∴AB＝＝50（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，
故选：B．
4．解：如图所示，
在圆柱的截面ABCD中，BC＝8，
设AB＝x，
∵点P移动的最短距离为5，
∴AS＝5，
∵点S是BC的中点，
∴BS＝BC＝4，
∴AB＝＝3，
∴圆柱的底面周长为2AB＝6．
故选：A．
5．解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B＝＝＝＝17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
6．解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
即旗杆的高度为12米．
故选：C．
7．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
8．解：薄木板不能从门框内通过．理由如下：
连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC＝＝＝≈2.236＞2.2．
∴只有2.9×2.2薄木板能从门框内通过，
故选：A．
9．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
10．解：如图，在Rt△ABC中，∵AC＝150﹣60＝90，BC＝180﹣60＝120，
∴AB＝＝150（mm），
∴两圆孔中心A和B的距离为150mm．
故选：D．
11．解：在Rt△AOB中，AB＝＝10m，
∴AO+BO﹣AB＝6+8﹣10＝4m．
即少走了4m．
故选：A．
12．解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN＝＝20（cm）；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN＝＝2（cm）．
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．
13．解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．
在直角△A′EG中，A′E＝80cm，EG＝60cm，
∴AQ+QG＝A′Q+QG＝A′G＝＝100cm．
∴最短路线长为100cm．
14．解：如图，设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，
在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：旗杆的高度是12m．
15．解：（1）根据题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝20（km）．
答：何宝珍故里B到月岩景区C的距离为20km；
（2）过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长．
∵CD⊥l，
∴∠CDB＝90°，
∵∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝30°，BC＝20km，
∴，
（km）．
答：这条最短公路的长为km．
16．解：在Rt△ABO中，∵AO＝2.5，∠OAB＝30°，
∴AB＝，
根据勾股定理知BO＝＝＝，
∵∠OCD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD，OC＝OB，
∴BD＝OD﹣OB＝﹣＝．
17．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵BC＝120米，AB＝130米，
∴AC＝＝＝50（米），
∵CD＝30米，AD＝40米，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）由（1）得：种植草坪的面积为：
×AC×BC﹣×AD×DC＝×50×120﹣×30×40＝2400（平方米），
∵种植草坪的费用每平方米300元，
∴2400×300＝720000（元），
答：种植草坪的总费用为720000元．
18．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+2）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+2）2，
解得：x＝8，
芦苇的长度＝8+2＝10（尺），
答：水池深8尺，芦苇长10尺．
19．解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，
∴AD＝12（米），
∴学校修建这个花园的费用＝30××14×12＝2520（元）．
答：学校修建这个花园需要投资2520元．
20．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
21．解：在△CBD 中，
∵BD＝6m，BC＝10m，CD＝8m，
∴BD2+CD2＝62+82＝102＝BC2，
∴△CBD 是直角三角形，
∴∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
在Rt△ADC中，AD＝（m），
∴S△ADC＝AD?CD＝×15×8＝60（m2），
∴S△CBD＝DB?CD＝×6×8＝24（m）2，
∴三角形ABC的面积是84m2，
∵每平方米草皮需要 200元，
∴总投入＝84×200＝16800（ 元）．
22．解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.6）2+（1.2）2＝4，
BC2＝4，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.2，CH＝1.6，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.2）2+（1.6）2，
解这个方程，得x＝，
答：原来的路线AC的长为千米．