2021-2022学年八年级数学北师大版上册 《第1章勾股定理》同步优生辅导训练（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（　　）
A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1
2．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
4．如图，字母B所代表的正方形的面积是（　　）
A．12 B．144 C．13 D．194
5．如图，四边形ABCD中，AB＝17，BC＝8，CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．100 B．110 C．114 D．122
6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
7．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝20时，b+c的值为（　　）
A．162 B．200 C．242 D．288
8．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+＝0，则三角形的形状是（　　）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
9．如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则△ABC的周长为　 　．
10．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理（如图），若Rt△ABC的斜边AB＝5，BC＝3，则图中线段CE的长为　 　．
11．如图，圆柱形容器中，高为16cm，底面周长为40cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捉蚊子的最短距离为　 　cm（容器厚度忽略不计）
12．如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端A距离地面的距离AO为4m，底端B远离墙的距离BO为3m，当它的顶端A下滑2m时，底端B在地面上水平滑行的距离是　 　m．
13．我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达到岸边的水面”，则水池的深度为　 　尺．
14．AD是△ABC的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，则BD＝　 　．
15．如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若CF＝5，AB＝13，则EF的长为　 　．
16．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．
17．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
18．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．
（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．
（2）求DF的长．
19．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
20．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，AB于点E．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）求DE的长．
参考答案
1．解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AC＝，
∵点A表示的数是﹣1，
∴点C表示的数是﹣1．
故选：B．
2．解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；
B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC为直角三角形；
C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形；
D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
3．解：在△ABC中，∠A＝45°，CD⊥AB，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝1，
又∵∠B＝30°，
∴Rt△BCD中，BC＝2CD＝2，
∴BD＝＝，
故选：C．
4．解：如图，根据勾股定理我们可以得出：
a2+b2＝c2
a2＝25，c2＝169，
b2＝169﹣25＝144，
因此B的面积是144．
故选：B．
5．解：∵CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，
∴AC＝＝＝15；
∵152+82＝172，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形ABCD的面积为：×12×9+×15×8＝54+60＝114．
故选：C．
6．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
7．解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，
则a2+b2＝（b+2）2，
当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，
解得：b＝99，
则c＝99+2＝101，
∴b+c＝200，
故选：B．
8．解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，
又∵（a﹣b）2+＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝6，b＝8，c＝10，
∵62+82＝36+64＝100＝102，
∴是直角三角形．
故选：D．
9．解：在直角三角形ABD中，AB＝17，AD＝8，
根据勾股定理，得BD＝15；
在直角三角形ACD中，AC＝10，AD＝8，
根据勾股定理，得CD＝6；
∴BC＝15+6＝21，
∴△ABC的周长为17+10+21＝48，
故答案为：48．
10．解：在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∵Rt△ACB≌Rt△EFA，
∴AF＝BC＝3，EF＝AC＝4，
∴FC＝AC﹣AF＝1，
∴CE＝＝，
故答案为：．
11．解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．
∵高为16cm，底面周长为40cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝20cm，BD＝15cm，
∴在直角△A′DB中，A′B＝＝25（cm）．
故答案是：25．
12．解：∵∠C＝90°，AO＝4m，BO＝5m，
∴AB＝＝5m；
∵梯子的顶端A下滑2m，
∴OA′＝4﹣2＝2m，
∴OB′＝＝＝（m），
∴BB′＝B′O﹣BO＝﹣3（m）．
∴底端B在地面上水平滑行的距离是（﹣3）m．
13．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+（10÷2）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水的深度是12尺．
故答案是：12．
14．解：设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，
在Rt△ADC中，AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得，x＝，
故答案为：．
15．解：如图，
∵正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，
∴AH＝BE＝CG＝DF，AE＝BG＝CF＝DH，
∴EG＝GF＝GH＝HE，
∴四边形EGFH为菱形，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB＝∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH为正方形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB＝13，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，CF＝5，
根据勾股定理得，DF＝12，
∴GF＝DF﹣DH＝GC﹣FC＝7，
在△GEF中，GE＝GF＝7，∠EGF＝90°，
根据勾股定理得，EF＝＝7．
故答案为：7．
16．解：连接AC．
由勾股定理可知
AC＝＝＝5，
又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝＝24（m2）．
17．解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）由题意得，CM＝9，
∴DM＝6，
∴BM＝＝＝10，
∴BC﹣BM＝7，
∴他应该往回收线7米．
18．解：（1）∠ADC是直角．
理由是：
∵DE是△ADC的高，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，
同理：CD2＝5，
∴AD2+CD2＝25，
∵AC＝AE+CE＝4+1＝5，
∴AC2＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC是直角；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝5，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝＝．
19．解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
∴根据勾股定理得AB＝500米，
∵AB?CD＝BC?AC，
∴CD＝240米．
∵240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
20．（1）证明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，
又∵42+32＝52，
即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：连接CE．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，
设AE＝x，则EC＝4﹣x．
∴x2+32＝（4﹣x）2．
解之得x＝，即AE的长是，
∴BE＝4﹣＝，
∵BD＝BC＝，
∴DE＝＝＝．