2.1—2.2配方法解一元二次方程（含答案）2021—2022学年北师大版九年级数学上册

1145540010706100第二章一元二次方程 2.1——2.2配方法解一元二次方程
一．一元二次方程的定义（共4小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2+y＝2 B．x2﹣+1＝0 C．x2﹣5x＝3 D．x﹣3y+1＝0
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
3．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2
4．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　 　．
二．一元二次方程的一般形式（共3小题）
5．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
6．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
7．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数　 　，一次项系数　 　，常数项为　 　．
三．一元二次方程的解（共5小题）
8．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6
10．已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
11．已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 　 　．
12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝　 　．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共3小题）
13．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
14．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　 　．
15．解方程：（x﹣3）2﹣9＝0．
五．解一元二次方程-配方法（共5小题）
16．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
17．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
18．一元二次方程x2+3﹣2x＝0的解是　 　．
19．解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
20．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0．
六．配方法的应用（共7小题）
21．将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（　　）
A．（x﹣3）2+11 B．（x+3）2﹣7 C．（x+3）2﹣11 D．（x+2）2+4
22．已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则（y+1）x的值为（　　）
A．16 B．﹣16 C．﹣ D．
23．已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，则xy＝　 　．
24．多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为　 　．
25．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，则△ABC的周长是 　 　．
26．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）补全下列完全平方式：
①x2+4x+　 　；
②y2﹣y+　 　；
③4a2+4a+　 　；
（2）分解因式：x2﹣8x﹣20；
（3）当a、b为何值时，多项式a2+2b2﹣4a+12b+27有最小值，并求出这个最小值．
27．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．
解：x2+6x﹣1＝x2+2×3?x+32﹣32﹣1
＝（x+3）2﹣10
∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．
∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．
即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．
问题：
（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．
知识迁移：
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．
第二章一元二次方程 2.1——2.2配方法解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的定义（共4小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2+y＝2 B．x2﹣+1＝0 C．x2﹣5x＝3 D．x﹣3y+1＝0
【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【解答】解：
A、3（x+1）2＝2（x+1）化简得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a＝0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
3．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2
【解答】解：由一元二次方程的定义可得，解得：m＝2．故选B．
4．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　5　．
【解答】解：根据题意，
可得一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为﹣1；
则其和为2+4﹣1＝5；
故答案为5．
二．一元二次方程的一般形式（共3小题）
5．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
6．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【解答】解：根据题意，知，
，
解方程得：m＝2．
故选：B．
7．一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数　2　，一次项系数　4　，常数项为　﹣1　．
【解答】解：一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，4，﹣1．
三．一元二次方程的解（共5小题）
8．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，
∴22﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
故选：D．
9．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故选：A．
10．已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
【解答】解：根据题意，得
（2+）2﹣4×（2+）+m＝0，
解得m＝1；
解法二：对方程变形得：x（x﹣4）+m＝0，再代入x＝2+√3，得到：（+2）（﹣2）+m＝0，
即m﹣1＝0，m＝1
故选：B．
11．已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 　6　．
【解答】解：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝0，
得m2+m﹣6＝0，
即m2+m＝6，
故答案为：6．
12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝　2　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，
∴m2﹣2m＝0且m≠0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共3小题）
13．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
【解答】解；（x+1）2﹣m＝0，
（x+1）2＝m，
∵一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，
∴m≥0，
故选：B．
14．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　4　．
【解答】解：由题意两根不相等，
∵x2＝，
∴x＝±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是2与﹣2，
∴＝2，
∴＝4．
故答案为：4．
15．解方程：（x﹣3）2﹣9＝0．
【解答】解：移项得：（x﹣3）2＝9，
开平方得：x﹣3＝±3，
则x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
解得：x1＝6，x2＝0．
五．解一元二次方程-配方法（共5小题）
16．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
【解答】解：∵x2﹣8x﹣2＝0，
∴x2﹣8x＝2，
则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，
故选：A．
17．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
18．一元二次方程x2+3﹣2x＝0的解是　x1＝x2＝　．
【解答】解：x2+3﹣2x＝0
（x﹣）2＝0
∴x1＝x2＝．
故答案为：x1＝x2＝．
19．解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
【解答】解：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7，
4x2﹣4x+1＝3x2+2x﹣7，
x2﹣6x＝﹣8，
（x﹣3）2＝1，
x﹣3＝±1，
x1＝2，x2＝4．
20．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0是一元二次方程，
∴a≠0．
∴由原方程，得
x2+x＝﹣，
等式的两边都加上，得
x2+x+＝﹣+，
配方，得
（x+）2＝﹣，
当b2﹣4ac＞0时，
开方，得：x+＝±，
解得x1＝，x2＝，
当b2﹣4ac＝0时，解得：x1＝x2＝﹣；
当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．
六．配方法的应用（共7小题）
21．将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（　　）
A．（x﹣3）2+11 B．（x+3）2﹣7 C．（x+3）2﹣11 D．（x+2）2+4
【解答】解：x2+6x+2＝x2+6x+9﹣9+2＝（x+3）2﹣7．
故选：B．
22．已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则（y+1）x的值为（　　）
A．16 B．﹣16 C．﹣ D．
【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，
∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴原式＝（3+1）﹣2
＝4﹣2
＝，
故选：D．
23．已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，则xy＝　﹣3　．
【解答】解：∵x2+y2+2x﹣6y+10＝0，
即x2+2x+1+y2﹣6y+9＝0，
即（x+1）2+（y﹣3）2＝0，
∴x＝﹣1，y＝3，
∴xy＝﹣1×3＝﹣3，
故答案为：﹣3．
24．多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为　18　．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+b2﹣6b+9+18
＝（a﹣b）2+（b﹣3）2+18
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣3）2≥0．
∴原式≥0+0+18．
∴原式≥18．
故答案为：18．
25．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，则△ABC的周长是 　7　．
【解答】解：∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
则3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4，
∵c的正整数，
∴c＝3，
∴△ABC的周长＝1+3+3＝7，
故答案为：7．
26．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）补全下列完全平方式：
①x2+4x+　4　；
②y2﹣y+　　；
③4a2+4a+　1　；
（2）分解因式：x2﹣8x﹣20；
（3）当a、b为何值时，多项式a2+2b2﹣4a+12b+27有最小值，并求出这个最小值．
【解答】解：（1）①∵x2+4x+4＝（x+2）2，
∴x2+4x+4是完全平方式．
故答案为：4．
②∵，
∴是完全平方式．
故答案为：．
③∵4a2+4a+1＝（2a+1）2，
∴4a2+4a+1是完全平方式．
故答案为：1．
（2）原式＝x2﹣8x+16﹣16﹣20＝（x﹣4）2﹣36＝（x﹣4）2﹣62＝（x﹣4+6）（x﹣4﹣6）＝（x+2）（x﹣10）；
（3）原式＝a2﹣4a+4﹣4+2（b2+6b+9﹣9）+27＝（a﹣2）2+2（b+3）2﹣4﹣18+27＝（a﹣2）2+2（b+3）2+5，
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+2b2﹣4a+12b+27有最小值，这个最小值是5．
27．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．
解：x2+6x﹣1＝x2+2×3?x+32﹣32﹣1
＝（x+3）2﹣10
∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．
∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．
即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．
问题：
（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．
知识迁移：
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．
【解答】证明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3．
∵（x﹣2）2≥0．
∴y≥0+3＝3．
∴y＞0．
∴y是正数．
（2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤）
∴S＝PC?CQ．
＝（6﹣2t）?t
＝﹣t2+3t
＝﹣（t2﹣3t）
＝﹣（t﹣）2+．
∵（t﹣）2≥0．
∴当t＝时，S有最大值