2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2021—2022学年北师大版数学九年级上册（Word版 含答案）

2.5　一元二次方程的根与系数的关系
命题点 1　利用根与系数的关系求方程的根
1.[2018·宜宾] 若一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2等于 (　　)
A.-2 B.1 C.2 D.0
2.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是 (　　)
A.-10 B.10 C.-16 D.16
3.[2019·济宁] 已知1是关于x的方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是　　　　.?
4.若关于x的方程x2+mx+7=0的一个根为3-2,求方程的另一个根及m的值.
命题点 2　利用根与系数的关系求代数式的值
5.已知一元二次方程x2-6x-3=0的两个根分别为α与β,则1α+1β的值的相反数为 (　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
6.[2019·淄博] 若x1+x2=3,x12+x22=5,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是 (　　)
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
7.[2018·泸州] 已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两实数根,则12x1+1+12x2+1的值是　　　　.?
命题点 3　利用根与系数的关系求一元二次方程中字母的值
8.[2019·鄂州] 若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5,则m的值为 (　　)
A.74 B.75 C.76 D.0
9.[2019·广州] 关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值是 (　　)
A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2
10.[2019·巴中] 已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设x1,x2是方程的两根且x12+x22+x1x2-17=0,求m的值.
命题点 4　利用根与系数的关系求解同号、异号根问题
11.方程ax2+bx-c=0(a>0,b>0,c>0)的两个根的符号为 (　　)
A.同号 B .异号
C.两根都为正 D.不能确定
12.已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.
(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?
命题点 5　根的判别式和根与系数关系的综合应用
13.若关于x的一元二次方程x2+2m-1x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1+x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是 (　　)
A.m≤12 B.m≤12且m≠0
C.m<1 D.m<1且m≠0
14.[2019·衡阳] 已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
典题讲评与答案详析
1.D
2.A
3.-2　[解析] 设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系知1×x1=-2,∴x1=-2.
4.解:设方程的另一个根为t,根据题意,得
(3-2)t=7,∴t=73?2=3+2.
∴-m=3-2+3+2=6.∴m=-6.
故方程的另一个根为3+2,m的值为-6.
5.D　[解析] ∵一元二次方程x2-6x-3=0的两个根分别为α与β,∴α+β=6,αβ=-3.
∴-1α+1β=-α+βαβ=-6-3=2.故选D.
6.A　[解析] (x1+x2)2=x12+x22+2x1x2,
又∵x1+x2=3,x12+x22=5,
∴2x1x2=(x1+x2)2-(x12+x22)=9-5=4.
∴x1x2=2.
∴以x1,x2为根的一元二次方程可以是x2-3x+2=0.
7.6　[解析] 由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=-1.
则原式=2x1+1+2x2+1(2x1+1)(2x2+1)=2(x1+x2)+24x1x2+2(x1+x2)+1=2×2+24×(?1)+2×2+1=6.
8.A　[解析] ∵x1+x2=4,
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5.
∴x2=12.
把x=12代入x2-4x+m=0,得122-4×12+m=0.
解得m=74.故选A.
9.D　[解析] ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根为x1,x2,
∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2.
∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,
即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,
∴(k-1)2+2k-4-4=-3.
解得k=±2.
∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有实数根,
∴Δ=[-(k-1)]2-4×1×(-k+2)≥0.
当k=2时,Δ=[-(2-1)]2-4×1×(-2+2)=1>0,符合题意;
当k=-2时,Δ=[-(-2-1)]2-4×1×(2+2)=-7<0,不符合题意.
因此,k=2.
10.解:(1)Δ=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+5.因为原方程有两个不相等的实数根,所以4m+5>0,解得m>-54.
(2)由根与系数的关系,得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-1,所以x12+x22+x1x2-17=0可化为(x1+x2)2-x1x2-17=0,即(2m+1)2-(m2-1)-17=0,解得m1=53,m2=-3.因为m>-54,所以m=53.
11.B　[解析] ∵ax2+bx-c=0(a>0,b>0,c>0),∴Δ=b2+4ac>0.
∴方程有两个不相等的实数根.
设方程ax2+bx-c=0(a>0,b>0,c>0)的两个根为x1,x2.
∵x1x2=-ca<0,∴两个根异号.故选B.
12.解:(1)证明:在方程x2-(t-1)x+t-2=0中,Δ=[-(t-1)]2-4×1·(t-2)=t2-6t+9=(t-3)2≥0,
∴对于任意实数t,方程都有实数根.
(2)设方程的两个根分别为m,n.
∵方程的两个根互为相反数,
∴m+n=t-1=0.
解得t=1.
∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.
13.B　[解析] ∵关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0有实数根,
∴b2-4ac=4(m-1)2-4m2=4-8m≥0.∴m≤12.
∵x1+x2=-2(m-1)>0,∴m<1.∵x1x2=m2>0,∴m≠0.∴m≤12且m≠0.
故选B.
14.解:(1)根据题意,得Δ=(-3)2-4k≥0,
解得k≤94.
(2)k的最大整数值为2.
当k=2时,方程x2-3x+k=0变形为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.
∵一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,
∴当x=1时,m-1+1+m-3=0,解得m=32;
当x=2时,4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1,
而m-1≠0,∴m的值为32.
15.解:(1)由题意,得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5.
∵(x1-1)(x2-1)=28,
∴x1x2-(x1+x2)+1=28.
∴m2+5-2(m+1)+1=28.
由题意,得b2-4ac=[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0,
∴m2+5?2(m+1)+1=28,[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0,
解得m=6.
(2)若x1=x2,则b2-4ac=0,∴m=2.
此时方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.
∵3+3<7,不符合三角形三边关系定理,
∴m=2不符合题意,舍去.
若x1=7,72-2(m+1)×7+m2+5=0,
解得m=4或m=10.
当m=4时,x2=3,∴周长为3+7+7=17;
当m=10时,x2=15,
∵7+7<15,不符合三角形三边关系定理,
∴m=10不符合题意,舍去.
∴这个三角形的周长为17.
注:x2=7的情况与x1=7的情况相同.
16.40402021　[解析] ∵x2+2x-m2-m=0,当m=1,2,3,…,2020时,相应的一元二次方程的两个根分别记为α1,β1;α2,β2;…;α2020,β2020,
∴由根与系数的关系得:
α1+β1=-2,α1β1=-1×2;
α2+β2=-2,α2β2=-2×3;
…
α2020+β2020=-2,α2020β2020=-2020×2021.
∴原式=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+…+α2020+β2020α2020β2020
=21×2+22×3+23×4+…+22020×2021
=2×1-12+12-13+13-14+…+12020-12021
=2×1-12021=40402021.
17.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-(2k-1)]2-4(k2-2k+3)=4k-11>0.
解得k>114.
(2)存在.
∵x1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3=(k-1)2+2>0,
∴将|x1|-|x2|=5两边平方,
可得x12-2x1x2+x22=5,
即(x1+x2)2-4x1x2=5.
∴(2k-1)2-4(k2-2k+3)=5,即4k-11=5.
解得k=4>114,符合题意.
∴存在这样的实数k,使得|x1|-|x2|=5成立,此时k的值为4.