2.3用公式法求解一元二次方程同步练习 2021——2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2.3用公式法求解一元二次方程
一．解一元二次方程-公式法（共11小题）
1．下列计算中正确的是（　　）
A．
B．
C．已知a＜0＜b，则|a|+＝﹣b
D．当a＝2，b＝﹣8，c＝5时
2．用公式法解一元二次方程3?x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8
3．若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣1或x＝2 D．x＝﹣2或x＝0
4．根据下列表格中关于x的代数式ax2+bx+c的值与x对应值，
x
5.12
5.13
5.14
5.15
ax2+bx+c
﹣0.04
﹣0.02
0.01
0.03
那么你认为方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解最接近于下面的（　　）
A．5.12 B．5.13 C．5.14 D．5.15
5．若，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是　 　．
6．方程x2﹣x﹣1＝0的解为　 　．
7．方程mx2﹣4x+1＝0的根是　 　．
8．解方程：（x+1）（x﹣2）＝﹣1．
9．解方程：2x（x+3）＝x2+8x．
10．解方程
（1）x2+4x＝1；
（2）3x2﹣7x+4＝0．
11．解方程
（1）2x2+3x﹣3＝0；
（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x．
二．根的判别式（共14小题）
12．下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣1＝0 B．x2+4x＝4 C．x2+1＝2x D．x2﹣3x＝0
13．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
14．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣ D．k≤﹣
15．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）
A．k＞﹣3 B．k＞﹣3且k≠1 C．k≥﹣3且k≠1 D．k＜﹣3
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
17．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
18．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围　 　．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c分别为△ABC三边的长，则△ABC是　 　三角形．
20．若关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
21．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为　 　．
22．如果一元二次方程x2﹣2x+k＝0没有实数根，则一次函数y＝kx+2不经过第　 　象限．
23．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，求方程mx2﹣2x+1＝0的根．
24．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；
（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
2.3用公式法求解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．解一元二次方程-公式法（共11小题）
1．下列计算中正确的是（　　）
A．
B．
C．已知a＜0＜b，则|a|+＝﹣b
D．当a＝2，b＝﹣8，c＝5时
【解答】解：﹣＝2﹣≠，故选项A错误；
3﹣＝2≠3，故选项B错误；
当a＜0＜b时，|a|+
＝﹣a+b﹣a
＝b﹣2a≠﹣b，故选项C错误；
当a＝2，b＝﹣8，c＝5时
＝
＝
＝．故选项D正确．
故选：D．
2．用公式法解一元二次方程3?x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8
【解答】解：∵3?x2﹣4x＝8，
∴3?x2﹣4x﹣8＝0，
则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，
故选：B．
3．若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣1或x＝2 D．x＝﹣2或x＝0
【解答】解：∵a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0，
∴在方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c中，当x＝2时，a+2b＝b﹣c，即a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，4a﹣b＝b﹣c，即4a﹣2b+c＝0，
∴方程的解为x＝﹣1或x＝2，
故选：C．
4．根据下列表格中关于x的代数式ax2+bx+c的值与x对应值，
x
5.12
5.13
5.14
5.15
ax2+bx+c
﹣0.04
﹣0.02
0.01
0.03
那么你认为方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解最接近于下面的（　　）
A．5.12 B．5.13 C．5.14 D．5.15
【解答】解：根据表格可得方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解x的范围为5.13＜x＜5.14，
∵|﹣0.02|＝0.02，|0.01|＝0.01，且0.02＞0.01，
∴方程的解最接近于5.14．
故选：C．
5．若，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是　x1＝1，x2＝﹣1　．
【解答】解：在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当x＝1或x＝﹣1时，ax2+bx+c＝0，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．
6．方程x2﹣x﹣1＝0的解为　x1＝，x2＝　．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
a＝，b＝﹣，c＝﹣1，
b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4××（﹣1）＝3+4，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
7．方程mx2﹣4x+1＝0的根是　或　．
【解答】解：当m＝0时，方程变形为﹣4x+1＝0，即x＝；
当m≠0，且△＝16﹣4m≥0，即m≤4时，方程的解为＝．
故答案为：或
8．解方程：（x+1）（x﹣2）＝﹣1．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝﹣1，
整理，得x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
9．解方程：2x（x+3）＝x2+8x．
【解答】解：去括号，得2x2+6x＝x2+8x，
移项，得2x2+6x﹣x2﹣8x＝0，
合并同类项，得x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
10．解方程
（1）x2+4x＝1；
（2）3x2﹣7x+4＝0．
【解答】解：（1）配方得：x2+4x+4＝5，
整理得：（x+2）2＝5，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）方程3x2﹣7x+4＝0，
这里a＝3，b＝﹣7，c＝4，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×3×4＝49﹣48＝1＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝1．
11．解方程
（1）2x2+3x﹣3＝0；
（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，
∴△＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x，
x（2x﹣5）+2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x+2）＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
二．根的判别式（共14小题）
12．下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣1＝0 B．x2+4x＝4 C．x2+1＝2x D．x2﹣3x＝0
【解答】解：A、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根；
B、Δ＝42﹣4×1×0＝1＞0，此方程有两个不相等的实数根；
C、方程整理得，x2﹣2x+1＝0，
Δ＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；
D、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×0＝5＞0，此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
13．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
【解答】解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
∴m＝4，
故选：B．
14．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣ D．k≤﹣
【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣．
故选：A．
15．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）
A．k＞﹣3 B．k＞﹣3且k≠1 C．k≥﹣3且k≠1 D．k＜﹣3
【解答】解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝16+4（k﹣1）＝4k+12＞0，且k﹣1≠0，
解得：k＞﹣3且k≠1．
故选：B．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4a≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4a＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
17．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　m＜1且m≠0　．
【解答】解：由题意得：Δ＞0，
∴（﹣2）2﹣4m×1＞0，
整理得：m＜1．
又∵m≠0，
∴实数m的取值范是m＜1且m≠0．
故答案是：m＜1且m≠0．
18．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围　m＜且m≠1　．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）×3＞0，
解得m＜且m≠1．
故答案为m＜且m≠1．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c分别为△ABC三边的长，则△ABC是　直角　三角形．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，
即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为直角．
20．若关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣1　．
【解答】解：当k＝0时，方程化为2x＝0，解得x＝0；
当k≠0，根据题意得△＝（k+2）2﹣4×k×≥0，解得k≥﹣1且k≠0，
所以k的范围为k≥﹣1时，关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有实数根．
故答案为k≥﹣1．
21．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为　3或4　．
【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4．
故答案是：3或4．
22．如果一元二次方程x2﹣2x+k＝0没有实数根，则一次函数y＝kx+2不经过第　四　象限．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0没有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＜0，
∴k＞1，
∴一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、三象限．
故答案为：四．
23．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，求方程mx2﹣2x+1＝0的根．
【解答】解：（1）①m＝0时，方程为﹣2x+1＝0，有实数根，
②m≠0时，△＝4﹣4m≥0，
得m≤1．
综上：m的取值范围是m≤1．
（2）∵m≤1，
∴m的最大值为1，
则方程为x2﹣2x+1＝0，
∴x1＝x2＝1．
24．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．
【解答】解：（1）根据题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得k＜；
（2）∵k＜且k为正整数，
∴k＝1或2．
当k＝1时，方程为x2+2x﹣2＝0 此方程无整数根；
当k＝2时，方程为x2+2x＝0 解得：x＝0或x＝﹣2．
∴k＝2，方程的根为x＝0或x＝﹣2．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；
（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【解答】解：（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得
1﹣k﹣2+2k＝0，
解得k＝1．
设方程的另一根为t，则
t＝2k＝2．
即k的值为1，方程的另一根为2；
（2）∵△＝（k﹣2）2≥0，
∴对于任意实数k，原方程一定有实数根；
（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0
此方程的两根为x1＝k，x2＝2
若x1≠x2，则x1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．
若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为12