4.5多边形和圆的初步认识 同步提优训练 2021—2022学年北师大版数学七年级上册（Word版 含答案）

5　多边形和圆的初步认识
命题点 1　多边形的有关概念
1．如图1所示的图形中，属于多边形的有(　　)
图1
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列说法中，正确的有(　　)
①由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边，n个顶点，n个内角和n个外角；
④多边形分为凹多边形和凸多边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
命题点 2　正多边形
3．下列说法不正确的是(　　)
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．正多边形的各边都相等
C．正三角形就是等边三角形
D．各内角都相等的多边形不一定是正多边形
4．如图2，在边长为1的小正三角形组成的图形中，正六边形的个数是________．
图2
命题点 3　多边形的对角线与分割
5．若从一个多边形的一个顶点引出的对角线最多有3条，则这个多边形是(　　)
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个七边形分割成的三角形的个数为(　　)
A．6 B．5 C．8 D．7
7．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是(　　)
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
8．【实验】如图3，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成几个三角形？
【探究】从一个n边形的一个顶点出发，可以画多少条对角线？它们把这个n边形分成了多少个三角形？
【应用】若从一个多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分成了6个三角形，求这个多边形的边数．
图3
命题点 4　圆的初步认识
9．下列说法正确的是(　　)
A．一条弧和两条直径组成的圆形叫扇形 B．弧没有端点
C．一个圆最多可以分割为360个扇形 D．一个圆可以分割为无数个扇形
10．如图4，∠AOB是圆心角的是(　　)
图4
命题点 5　圆心角与扇形面积的计算
11．如图5，把一个圆分成三个扇形，则∠AOB的度数为(　　)
图5
A．36° 　　　 B．72° C．108° 　　　 D．180°
12．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，最大的圆心角的度数是(　　)
A．54° B．72° C．90° D．126°
13．圆心角为240°的扇形的半径为3 cm，则这个扇形的面积为(　　)
A．π cm2 B．3π cm2 C．9π cm2 D．6π cm2
14．如图6，将一个圆分割成甲、乙、丙三个扇形，使它们的圆心角的度数之比为2∶3∶4.若圆的半径为3，则扇形丙的面积为________．
图6
15．边长为2的A，B两种正方形卡片如图7①所示，卡片中的扇形半径均为2.图②是交替摆放A，B两种卡片得到的图案，若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
图7
16. 将如图8所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2∶3∶4∶3.
(1)求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形；
(2)若圆的半径为2 cm，请你分别求出这四个扇形的面积．
图8
17．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题．请仔细观察图9和以下表格，并回答下列问题：
图9
多边形的顶点数
4
5
6
7
8
…
n
从一个顶点出发
的对角线的条数
1
2
3
4
5
…
①
多边形对角
线的总条数
2
5
9
14
20
…
②
(1)观察探究：请你观察上面的图形和表格，并用含n的式子将上面的表格填写完整，其中①____________；②______________．
(2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的每两名同学之间都要打一个电话拜年，则按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打多少个电话？
(3)类比归纳：乐乐认为(1)(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．





典题讲评与答案详析
1．A　2.B
3．A　
4．8　[解析] 小的正六边形由6个小正三角形组成，题图中小正六边形有7个，加上最大的这个正六边形，一共有8个．故答案为8.
5．C
6．B　[解析] 从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7－2＝5(个)三角形．故选B.
7．A　[解析] 若多边形纸片剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．故选A.
8．解：【实验】从顶点A出发，可以画6－3＝3(条)对角线，它们将六边形ABCDEF分成6－2＝4(个)三角形．
【探究】从一个n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们把这个n边形分成了(n－2)个三角形．
【应用】6＋2＝8，即这个多边形的边数是8.
9．D　10.C　11.C　12.D　13.D　14.4π
15．44－π　[解析] A种卡片中阴影部分的面积是22－π×22＝4－π；B种卡片中阴影部分的面积是π×22＝π.由于摆放这个图案共用两种卡片21张，则有A种卡片11张，B种卡片10张，因而阴影部分的面积是11(4－π)＋10π＝44－π.故答案是44－π.
16．解：(1)因为将一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2∶3∶4∶3，
所以四个扇形的圆心角分别为：
360°×＝60°，360°×＝90°，
360°×＝120°，360°×＝90°.
画图如下：
(2)因为圆的半径为2 cm，
所以S1＝×π×22＝π，S2＝×π×22＝π，S3＝×π×22＝π，S4＝×π×22＝π.
17．解：(1)由题图及表格得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n－3，多边形对角线的总条数为n(n－3)．
故答案为①n－3，②n(n－3)．
(2)因为3×6＝18(名)，
所以数学社团的同学们一共将拨打电话×18×(18－3)＝135(个)．
(3)能．每名同学相当于多边形的一个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打的电话数相当于从多边形的一个顶点出发的对角线的条数；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数相当于多边形对角线的总条数．