1.2集合的基本关系 强基讲义（知识点+ 例题+ 强化训练）2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

11417300112268002021-2022学年高一数学北师大版（2019）必修一1.1.2集合的关系（强基讲义）
专讲1
如何判断集合关系
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复习教材
复习教材
1.子集：对于两个集合A，B，如果集合?A?中任意一个元素都是集合?B?中的元素，就称集合A为集合B的子集.
记作：false或false.
读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
2.集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等.记作A?=?B.
即：若AB，且BA，则A?=?B.
3.
真子集：对于两个集合A与B，如果集合false，但存在元素false，且false，就称集合A是集合B的真子集.
记作：false（或false）.
3.
空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为false.
空集是任何集合的子集.
4.
子集性质：（1）任何一个集合是它本身的子集，即false.
（2）对于集合A，B，C，如果false，且false，那么false.
5.
结论：含n个元素的集合的所有子集的个数是false，所有真子集的个数是false.
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整理笔记
整理笔记
1.关于Venn图
1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线
2）.用Venn图表示集合的优点是直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显
2.怎样证明或判断两个集合相等？
(1)若A?B且B?A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A?B与B?A均成立．
(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B
3.符合“∈”与“?”有什么区别？
①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N.
②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“?”的两边均为集合．
4.
?与{0}有什么区别？
?是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素0的集合,
??{0}.
5.子集与真子集有何区别？
1）.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A?B;
②存在元素x,满足x∈B且x?A.
2）如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.
3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
6.判断集合关系方法
判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
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知识深化
知识深化
【考向一】
判断离散数集间的关系
【角度一】元素是整数
一般用元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
例1.集合M={x|x=3n,n∈N}，集合N={x|x=3n,n∈N}，则集合M与集合N的关系为(
)
A.M?N
B.N?M
C.N=M
D.N?M且M?N
对点训练1
设集合A={x|x=k4+12,k∈Z}，B={x|x=k2+14,k∈Z}，则集合A与B的关系是(
)
A.false
B.
A
?B
C.
B?A
D.
A与B关系不确定
备选题
1.
已知集合P=x|x=n2+1,n∈N?,M=x|x=m2?4m+5,m∈N?,则集合?P?与?M?的关系是(
)
A.
P?M
B.P=M
C.false
D.false
2.
已知集合M=x∣x=n2,n∈Z，N=x∣x=n+12,n∈Z，则集合M与集合N的关系是_______.
答案：false
,.
3.
若集合M＝，N＝xx＝－，，P＝，则M，N，P的关系
4.
若集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N
B．N?M
C．MN
D．以上均不对
【角度二】元素是有限数集
观察法：一一列举观察.
例2.
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
对点训练2判断下列集合之间的关系
A＝{－1,1}，B{x∈Z|x2＝1}
备选题
设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　)
A．N∈M　　　
B．N?M
C．N?M
D．N?M
【角度三】
元素是角度
元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
数形结合法：利用数轴或单位圆.
例3
集合M=x|x=kπ2+π4,k∈π4+π2,k∈Z,则集合false与false的关系是??
?????对点训练3
角的集合false与集合false之间的关系为______________.
备选题
1.集合false与集合false的关系是__________。
2.
设集合false∈Z},与集合false∈Z}之间的关系是__________.
3.已知集合false，则集合false的关系为_____.
4.
设集合false,集合false，求集合A与集合B的关系；
【考向二】
无限连续数集间的关系
【角度一】元素来源于不等式
数形结合法
利用数轴
例4
A=xx2?3x+2<0,B=x2x+1>0,判断集合A,B关系
对点训练4
A=xx2?3x+2>0,B=x2x+1<0,判断集合A,B关系
【角度二】元素来源于函数
通过函数定义域或值域得到集合，用数轴判断集合间关系
例5.
集合P=x|y=x?1，集合Q=y|y=x?1，则false与false的关系是
对点训练5
已知集合
M=yy=?x2+1,P=xy=2x+1,
则集合
M与P的关系
备选
若函数y=4
x-3?2
x+3的定义域为集合A,值域为[1,7],集合B=(-∞,0]∪[1,2],则集合A与集合B的关系
【考向三】图形集关系
【角度一】元素是几何图形
利用几何性质
例6.
A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}，集合关系是什么？
对点训练6
A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x等边三角形}，C＝{x|x是直角三角形}，D＝{x|x是锐角三角形}，集合关系是什么？
【角度二】
元素是点或曲线的横坐标
数形结合、作图观察。
例7
．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是(　　)
A．M?P
B．P?M
C．M＝P
D．M，P互不包含
对点训练7
设集合A＝，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝(　　)．
A．[－2,2]
B．[0,2]
C．[0，＋∞)
D．{(－1,1)，(1,1)}
【角度三】
Venn图表示的集合
例8
能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
对点训练8
已知集合false，则正确表示集合false，false与false关系的Venn图是(
)
A．
B．
C．
D．
答案与解析
例1.
[解析]
由M={x|x=3n,n∈N}，可得集合M中的元素为：1,3,9,27,?3n,?；
由，可得集合N={x|x=3n,n∈N}中的元素为：0，3，6，9，?3n,?比较得1∈M，但1?N，0∈N，但0?M，3∈M，3∈N.∴
N?M且M?N故选D.
对点训练1答案：C
备选题
1.
答案：A
解析：因为P=x|x=n2+1,n∈N?=12+1,22+1,32+1,......,
M=x|x=m2?4m+5,m∈N?=x|x=m?22+1,m∈N?=1,12+1,22+1,32+1,......,
即集合?M?比集合?P?多一个元素1,
因此P?M.
故选：A.
2.
解析：∵N=x∣x=n+12,n∈Z=x∣x=2n+12,n∈Z
3.
解析：选B　M＝.
N＝＝，
P＝.∴M∪N＝P.
4.
解　
M＝{x|x＝＋，k∈∈Z}．N＝{x|x＝＋，k∈∈Z}．
又2k＋1，k∈Z为奇数，k＋2，k∈Z为整数，所以MN.
例2.
解：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.
对点训练2
[解]　
B＝{x∈Z|x2＝1}＝{－1,1}，则A＝B；
备选题
提示：
∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，又2?N，∴N?M.
例3解析：本题主要考查集合的概念及分类讨论的思想.由于false角的终边与false轴或false轴重合,故false角的终边落在直线false和false上(如图①);又∵false角的终边与false轴或直线false、false轴或直线false重合,∴false角的终边落在如图②中false个位置上.
????
?
对点训练3
解析：false与false分别表示终边在y轴的非负、非正半轴上的角的集合,所以集合B表示终边在y轴上的角的集合??
备选题
1.解析：false,false,∴false。
2.
解析：因为n∈Z,所以令n=2m,n=2m?1,
所以集合A={x|x=2n+1180°,n∈Z}={x|x=4m+1180°或x=4m?1180°,m∈Z},
又因为集合B={y|y=4k±1180°,k∈Z},
所以A=B.
故答案为:
A=B.
3.
.答案：false
4.
解析：因为集合false
false
false，
集合false，所以集合false.
例4
false
对点训练4
false
例5
解：P的含义就是y=x?1的定义域，P=XX≥1.Q代表y=x?1的值域Q=yy≥0
false
对点训练5解析：
试题分析:P表示函数的值域xx≤1,Q表示函数的定义域R,所以集合P与Q的关系QfalseP
点评:简单题,明确集合中的元素是关键。
备选
解：令t=2x，因为y=4x-3?2x+3的值域为[1,7],又根据二次函数图象知,-1≤t≤1或2≤t≤4
又因为t=2x
所以x∈(-∞,0]∪[1,2],故,A=B.
例6解：由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.
对点训练6解：AfalseB,A、C、D互不包含，B、C、D互不包含，
例7解析：选D　由于集合A为数集，集合B为点集，因此M与P互不包含，故选D．
对点训练7解析　A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．
答案　B
例8解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示
对点训练8答案：B