2021——2022学年冀教版九年级数学上册第二十四章　一元二次方程 单元测试题（word版含解析）

第二十四章　一元二次方程
一、选择题(本大题有16个小题,1~10小题,各3分,11~16小题,各2分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列方程是一元二次方程的是(　　)
A.x+2y=1
B.x+y2
C.3x+=4
D.x2-2=0
2.若一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次项系数为2,则b的值为(　　)
A.2
B.4
C.-2
D.6
3.用配方法解方程x2-4x-7=0,可变形为(　　)
A.(x+2)2=3
B.(x+2)2=11
C.(x-2)2=11
D.(x-2)2=3
4.一元二次方程x2+2x-3=0的根是(　　)
A.x1=1,x2=-3
B.x1=-1,x2=-3
C.x1=-1,x2=3
D.x1=1,x2=3
5.若x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解,则2021+2a-b的值是(　　)
A.2016
B.2018
C.2019
D.2022
6.下列用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中,出现错误的是(　　)
图1
A.①
B.②
C.③
D.④
7.关于x的一元二次方程(2-a)x2+x+a2-4=0的一个根为0,则a的值为
(　　)
A.2
B.0
C.2或-2
D.-2
8.生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是(　　)
A.x(x+1)=182
B.x(x-1)=182
C.x(x+1)=182×2
D.x(x-1)=182×2
9.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,则下列说法正确的是(　　)
A.1一定不是方程x2+bx+a=0的根
B.0一定不是方程x2+bx+a=0的根
C.1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根
D.1和-1都是方程x2+bx+a=0的根
10.已知关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　　)
A.2
B.0
C.1
D.2或0
11.已知关于x的方程(k-3)x2-4x+2=0有实数根,则k的取值范围是(　　)
A.k≤5
B.k<5且k≠3
C.k≤5且k≠3
D.k≥5
12.已知方程x2+3x-4=0的解是x1=1,x2=-4,则方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0的解是
(　　)
A.x1=-1,x2=-3.5
B.x1=1,x2=-3.5
C.x1=1,x2=3.5
D.x1=-1,x2=3.5
13.已知1是关于x的一元二次方程x2-kx+4=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长,则△ABC的周长是(　　)
A.6或9
B.6
C.9
D.5或9
14.若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b,且a2-ab+b2=18,则的值是(　　)
A.3
B.-3
C.5
D.-5
15.某市发出生活垃圾分类的号召后,实现生活垃圾分类的社区由今年第一季度的1250个迅速增加到第三季度的1800个,照此速度增加,今年第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到(　　)
A.2140个
B.2160个
C.2180个
D.2200个
16.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac>0;
②若方程的两根为-1和2,则2a+c=0;
③若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根;
④若b=2a+c,则方程有两个不相等的实数根.
其中正确的有(　　)
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
二、填空题(本大题有3个小题,共11分.17小题3分,18~19小题各有2个空,每空2分,把答案写在题中横线上)
17.一元二次方程2x(x+3)=x的解是　　　　　　　　.?
18.若关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根,则
(1)m的值为　　　　;?
(2)代数式2m2-16m+5的值为　　　　.?
19.一款衬衫每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了扩大销售量,增加利润,商店决定降价销售,经市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,那么平均每天可多售出2件.
(1)设每件衬衫降价x元,则每天可售出　　　　件;(用含x的代数式表示)?
(2)每件衬衫降价　　　　元时,平均每天盈利1200元.?
三、解答题(本大题有7个小题,共67分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
20.(本小题满分8分)用适当的方法解下列方程.
(1)x2-6x+2=0;
(2)3x(x-1)=2-2x.
21.(本小题满分8分)已知关于x的方程x2+2(2-k)x+3-6k=0.
(1)若x=1是此方程的一根,求k的值及方程的另一根;
(2)试说明无论k取何值,此方程总有实数根.
22.(本小题满分9分)已知关于x的一元二次方程(c+a)x2+2bx+(c-a)=0,其中a,b,c分别是△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是此方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)已知a∶b∶c=3∶4∶5,求该一元二次方程的根.
23.(本小题满分10分)阅读下列内容,并回答问题:
我们知道,计算n边形的对角线条数公式为n(n-3).如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程n(n-3)=20.整理得n2-3n-40=0,解得n=8或n=-5.∵n为大于等于3的整数,∴n=-5不合题意,舍去,∴n=8,即该多边形是八边形.
根据以上内容,回答问题:
(1)若一个多边形共有14条对角线,求这个多边形的边数;
(2)A同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为A同学的说法正确吗?为什么?
24.(本小题满分10分)如图2,在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA,OB长度不限)中,要砌20
m长的墙(即AC+BC=20
m),与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96
m2.
(1)求该地面矩形的长;
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖,单价分别为50元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),则用哪一种规格的地板砖费用较少?
图2
25.(本小题满分10分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元/件销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销量,决定降价销售,根据市场调查发现,该T恤的单价每降低1元/件,每个月可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元/件,设第二个月单价降低x元/件.
(1)填表(不需要化简):
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元/件)
80
40
销售量(件)
200
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应为多少?
26.(本小题满分12分)如图3所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6
cm,BC=8
cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动.
【思考】如果点P,Q分别从点A,B同时出发,经过几秒,△PBQ的面积等于8
cm2?
【探究】如果点P,Q分别从点A,B同时出发,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能,说明理由.
【拓展】若点P沿射线AB方向从点A出发,以1
cm/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从点C出发,以2
cm/s的速度移动,点P,Q同时出发,则经过几秒,△PBQ的面积为1
cm2?
图3
答案
1.D　[解析]x+2y=1是二元一次方程,不符合题意;x+y2不是方程,不符合题意;3x+=4是分式方程,不符合题意;x2-2=0是一元二次方程,符合题意.
2.A　[解析]∵一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次项系数为2,∴-(b-4)=2,解得b=2.
3.C　[解析]∵x2-4x-7=0,∴x2-4x+4=11,∴(x-2)2=11.
4.A　[解析]∵b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0,∴x=,∴x1=1,x2=-3.
5.C　[解析]∵x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解,∴a×22-2b+4=0,化简,得2a-b=-2,∴2021+2a-b=2021+(2a-b)=2021+(-2)=2019.
6.D　[解析]解方程x2-x-2=0,去分母,得x2-2x-4=0,即x2-2x=4.配方,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5.开方,得x-1=±,解得x=1±,则四个步骤中出现错误的是④.故选D.
7.D　[解析]∵(2-a)x2+x+a2-4=0是关于x的一元二次方程,∴2-a≠0,即a≠2.
把x=0代入(2-a)x2+x+a2-4=0,可得a2-4=0,解得a=±2.综上,a=-2.
8.B
9.C　[解析]∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,
∴∴b=a+1或b=-(a+1).当b=a+1时,有a-b+1=0,此时-1是方程x2+bx+a=0的根;当b=-(a+1)时,有a+b+1=0,此时1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0,∴a+1≠-(a+1),∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根.故选C.
10.B　[解析]设方程的两根为x1,x2,根据题意,得x1+x2=0,所以a2-2a=0,解得a=0或a=2,当a=2时,方程化为x2+1=0,b2-4ac=-4<0,故a=2舍去,所以a的值为0.
11.A　[解析]当k-3=0,即k=3时,方程化为-4x+2=0,解得x=;
当k-3≠0时,b2-4ac=(-4)2-4(k-3)×2≥0,解得k≤5且k≠3.
综上所述,k的取值范围为k≤5.
12.A　[解析]把方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0看作关于2x+3的一元二次方程,所以2x+3=1或2x+3=-4,所以x1=-1,x2=-3.5.故选A.
13.C　[解析]将x=1代入方程,得1-k+4=0,解得k=5.则方程为x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.当三角形的三边长为1,1,4时,1+1<4,不能构成三角形,舍去;当三角形的三边长为4,4,1时,1+4>4,能构成三角形,则三角形的周长为1+4+4=9.
14.D　[解析]∵a,b为方程x2-3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根,
∴a+b=3,ab=p.
∵a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3p=18,
∴p=-3.
当p=-3时,b2-4ac=(-3)2-4p=9+12=21>0,
∴p=-3符合题意.
∴-2=-2=-5.
故选D.
15.B　[解析]设平均每个季度的增长率为x,则1250(1+x)2=1800,∴1+x=±1.2,
∴x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),∴第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到1800×(1+20%)=2160(个),故选B.
16.C　[解析]①当x=1时,有a+b+c=0,即方程有实数根,∴b2-4ac≥0,故错误;
②把x=-1代入方程,得a-b+c=0.……A,把x=2代入方程,得4a+2b+c=0.……B,2×A+B,得6a+3c=0,即2a+c=0,故正确;
③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根,则-4ac>0,∴b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根,故正确;
④若b=2a+c,则b2-4ac=(2a+c)2-4ac=4a2+c2.∵a≠0,∴4a2+c2>0,∴方程有两个不相等的实数根,故正确.②③④都正确.
17.x1=0,x2=-2.5　[解析]方程2x(x+3)=x移项,得2x(x+3)-x=0,分解因式,得x[2(x+3)-1]=0,即x(2x+5)=0,∴x=0或2x+5=0,∴x1=0,x2=-2.5.
18.(1)0或8　(2)5　[解析](1)∵关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根,∴b2-4ac=(-m)2-8m=m2-8m=m(m-8)=0,解得m=0或8.
(2)∵m2-8m=0,∴2m2-16m+5=2(m2-8m)+5=5.
19.(1)(20+2x)　(2)20　[解析](1)设每件衬衫降价x元时,每天可售出(20+2x)件,每件盈利(40-x)元.(2)根据题意,得(20+2x)·(40-x)=1200,解得x1=20,x2=10.因为为了扩大销售量,增加利润,所以x=20.
20.解:(1)移项,得x2-6x=-2.
配方,得x2-6x+9=-2+9,即(x-3)2=7.
开方,得x-3=±.
∴x1=3+,x2=3-.
(2)移项,得3x(x-1)+2x-2=0.
3x(x-1)+2(x-1)=0,
因式分解,得(x-1)(3x+2)=0,
即x-1=0或3x+2=0.
∴x1=1,x2=-.
21.解:(1)把x=1代入方程,得1+2(2-k)+3-6k=0,解得k=1.
故方程为x2+2x-3=0.
设方程的另一个根是x2,则1·x2=-3,解得x2=-3.
故k的值为1,方程的另一根为x=-3.
(2)∵关于x的方程x2+2(2-k)x+3-6k=0中,
b2-4ac=4(2-k)2-4(3-6k)=4(k+1)2≥0,
∴无论k取何值,此方程总有实数根.
22.解:(1)△ABC是等腰三角形.理由:把x=-1代入方程,得c+a-2b+c-a=0,则c=b,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形.理由:根据题意,得(2b)2-4(c+a)(c-a)=0,即a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵a∶b∶c=3∶4∶5,
∴设a=3t,b=4t,c=5t(t≠0),
则原方程可变为4x2+4x+1=0,
解得x1=x2=-.
23.解:(1)根据题意,得n(n-3)=14.
整理,得n2-3n-28=0,解得n=7或n=-4.
∵n为大于等于3的整数,∴n=-4不合题意,舍去,
∴n=7,即这个多边形的边数是7.
(2)A同学的说法不正确.理由如下:
当n(n-3)=10时,整理,得n2-3n-20=0,解得n=.
∴符合方程n2-3n-20=0的正整数n不存在,
∴一个多边形不可能有10条对角线.
24.解:(1)设AC=xm,则BC=(20-x)m.
由题意,得x(20-x)=96,
即x2-20x+96=0,
∴(x-12)(x-8)=0,
解得x1=12,x2=8.
当AC=12m时,BC=8m,AC为矩形的长,此时矩形的长为12m.
当AC=8m时,BC=12m,BC为矩形的长,此时矩形的长为12m.
答:该地面矩形的长为12m.
(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位:m)的地板砖,则
=15×10=150(块),
150×50=7500(元);
②若选用规格为1.00×1.00(单位:m)的地板砖,则
=96(块),
96×80=7680(元).
∵7500<7680,
∴选用规格为0.80×0.80(单位:m)的地板砖费用较少.
25.[解析](1)第二个月的单价=第一个月的单价-降低的价格,销售量=200+10×降低的单价;清仓时的销售量=800-第一个月的销售量-第二个月的销售量.
(2)等量关系为总售价-总进价=9000元.把相关数值代入计算即可.
解:(1)填表如下.
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元/件)
80
80-x
40
销售量(件)
200
200+10x
800-200-(200+10x)
(2)80×200+(80-x)(200+10x)+40×[800-200-(200+10x)]-800×50=9000,
即x2-20x+100=0,解得x1=x2=10.
当x=10时,80-x=80-10=70.
答:第二个月的单价应为70元/件.
[点评]本题考查一元二次方程的应用.用列表格的方法得到第二个月的单价和销售量以及清仓时的销售量是解决本题的突破点,得到总利润的等量关系是解决本题的关键.
26.解:【思考】设经过xs,△PBQ的面积等于8cm2,依题意,得
(6-x)·2x=8,解得x1=2,x2=4.
经检验,x1,x2均符合题意.
答:经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm2.
【探究】不能.理由:假设经过ys,线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分.
∵S△ABC=×6×8=24(cm2),
∴(6-y)·2y=12.
整理,得y2-6y+12=0.
∵b2-4ac=36-4×12=-12<0,
∴此方程无实数根,
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分.
【拓展】①当点P在线段AB上,点Q在线段CB上时,设运动时间为ms,此时0依题意,得(6-m)(8-2m)=1,
即m2-10m+23=0.
解得m1=5+,m2=5-.
经检验,m1=5+不符合题意,舍去,
∴m=5-.
②当点P在线段AB上,点Q在射线CB上时,设运动时间为ns,此时4依题意,得(6-n)(2n-8)=1,
即n2-10n+25=0,
解得n1=n2=5.经检验,n=5符合题意.
③当点P在射线AB上,点Q在射线CB上时,设运动时间为ks,此时k>6.
依题意,得(k-6)(2k-8)=1,
即k2-10k+23=0,
解得k1=5+,k2=5-.
经检验,k2=5-不符合题意,舍去,
∴k=5+.
综上所述,经过(5-)s或5s或(5+)s,△PBQ的面积为1cm2.