第四章 4.5 4.5.3
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )
A．y＝3x
B．y＝log3x
C．y＝x3
D．y＝3x
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝log2x
B．y＝2x
C．y＝x2
D．y＝2x
5．光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k·0.9x，那么至少通过____块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下(lg
3≈0.477
1，lg
2≈0.301
0)．
第四章 4.5 4.5.3
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( A )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
[解析] 随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( D )
A．y＝3x
B．y＝log3x
C．y＝x3
D．y＝3x
[解析] 几种函数模型中指数函数增长最快．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( D )
[解析] 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( B )
A．y＝log2x
B．y＝2x
C．y＝x2
D．y＝2x
[解析] 逐个检验可得答案为B．
5．光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k·0.9x，那么至少通过__14__块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下(lg
3≈0.477
1，lg
2≈0.301
0)．
[解析] 由题意0.9xk<，即0.9x<，
两边同取对数，可得xlg
0.9
，
因为lg
0.91＝0，
所以x>＝≈≈13.1，
又x∈N
，所以至少通过14块玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．第四章 4.5 4.5.3
A组·素养自测
一、选择题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4
000)
B．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4
000)
D．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
2．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元，计划在今后的3年内，使成本降低到每件256元，则平均每年成本应降低( )
A．10%
B．15%
C．20%
D．35%
3．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为( )
A．100
km
B．125
km
C．150
km
D．225
km
4．设某产品2018年12月底价格为a元(a>0)，在2019年的前6个月，价格平均每月比上个月上涨10%，后6个月，价格平均每月比上个月下降10%，经过这12个月，2019年12月底该产品的价格为b元，则a，b的大小关系是( )
A．a>b
B．aC．a＝b
D．不能确定
5．(2019·济南济钢中学高一期中测试)某种新药服用x
h后血液中残留量为y
mg，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240
mg时，治疗有效．设某人上午8∶00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )
A．上午10∶00
B．中午12∶00
C．下午4∶00
D．下午6∶00
6．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( )
A．(1＋P)11
B．(1＋P)12
C．(1＋P)12－1
D．(1＋P)11－1
二、填空题
7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是____.
8．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.62
7.00
8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是____.
三、解答题
9．某纪念章从2018年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
B组·素养提升
一、选择题
1．一个人以6
m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25
m时，交通灯由红变绿，汽车以1
m/s2的加速度均加速开走，那么( )
A．人可在7
s内追上汽车
B．人可在10
s内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5
m
D．人追不上汽车，其间距最少为7
m
2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率(×100%)由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A．12
B．15
C．25
D．50
3．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )
4．(多选题)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是( )
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年
D．虽然2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善
二、填空题
5．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3
min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过____min，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．
6．(2019·济南济钢中学高一期中测试)生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间)为5
730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有____年．(参考数据：lg0.77＝－0.113
5，lg0.5＝－0.301
0，结果精确到年)
三、解答题
7．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
第四章 4.5 4.5.3
A组·素养自测
一、选择题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( D )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4
000)
B．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4
000)
D．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
[解析] 据题意知：y＝0.2x＋0.3(4
000－x)＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)．
2．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元，计划在今后的3年内，使成本降低到每件256元，则平均每年成本应降低( C )
A．10%
B．15%
C．20%
D．35%
[解析] 设平均每年降低百分比为x，则500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故选C．
3．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为( C )
A．100
km
B．125
km
C．150
km
D．225
km
[解析] t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150
km，故选C．
4．设某产品2018年12月底价格为a元(a>0)，在2019年的前6个月，价格平均每月比上个月上涨10%，后6个月，价格平均每月比上个月下降10%，经过这12个月，2019年12月底该产品的价格为b元，则a，b的大小关系是( A )
A．a>b
B．aC．a＝b
D．不能确定
[解析] 由题意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a5．(2019·济南济钢中学高一期中测试)某种新药服用x
h后血液中残留量为y
mg，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240
mg时，治疗有效．设某人上午8∶00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( C )
A．上午10∶00
B．中午12∶00
C．下午4∶00
D．下午6∶00
[解析] 由图象可知，当x∈[0,4]时，设y＝kx，代入点(4,320)，得320＝4k，∴k＝80，∴y＝80x.
当x∈[4,20]时，设y＝kx＋b，由题意得，
解得.∴y＝400－20x.
当x∈[0,4]时，由80x≥240，得3≤x≤4，
当x∈[4,20]时，由400－20x≥240，得4≤x≤8，
∴3≤x≤8.
∴第二次服药应在第一次服药8小时后，即当日16∶00时．
6．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( C )
A．(1＋P)11
B．(1＋P)12
C．(1＋P)12－1
D．(1＋P)11－1
[解析] 设年平均增长率为x，
∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，
∴x＝(1＋P)12－1，故选C．
二、填空题
7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是__y＝x(x∈N＋)__.
[解析] 依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝a，∴y＝b·20%·x＝a·20%
·x，即y＝x(x∈N＋)．
8．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.62
7.00
8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是__①__.
[解析] 若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得即解得经检验是最适合的函数模型．
三、解答题
9．某纪念章从2018年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
[解析] (1)选取②y＝ax2＋bx＋c.理由如下：
∵随着时间x的增加，y的值先减后增，
而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，∴选取y＝ax2＋bx＋c.
(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入y＝ax2＋bx＋c中，得
解得a＝，b＝－10，c＝126.
∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26，
∴当x＝20时，y有最小值ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元．
B组·素养提升
一、选择题
1．一个人以6
m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25
m时，交通灯由红变绿，汽车以1
m/s2的加速度均加速开走，那么( D )
A．人可在7
s内追上汽车
B．人可在10
s内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5
m
D．人追不上汽车，其间距最少为7
m
[解析] 设汽车经过t
s行驶的路程为s
m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D．
2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率(×100%)由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( B )
A．12
B．15
C．25
D．50
[解析] 设原来的进货价为m元，则由题意得m(1＋r%)＝m(1－8%)[1＋(r＋10)%]，解得r＝15，故选B．
3．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( D )
[解析] 水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D．
4．(多选题)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是( ABD )
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年
D．虽然2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善
[解析] 由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2016～2017年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2017～2018年比较平缓，故C错；2018年“生活价格指数”降低，而“收入指数”上升．因此生活水平有较大改善，故D正确，故选ABD．
二、填空题
5．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3
min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__45__min，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．
[解析] 设过n个3
min后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216?n＝15.
故时间为15×3＝45(min)．
6．(2019·济南济钢中学高一期中测试)生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间)为5
730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有__2
161__年．(参考数据：lg0.77＝－0.113
5，lg0.5＝－0.301
0，结果精确到年)
[解析] 设生物死亡的年数为x年，由题意得()＝77%，
∴＝log0.77＝＝＝，
∴x＝5
730×≈2
161.
∴该古墓距出土时约有2
161年．
三、解答题
7．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
[解析] (1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．
由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．
g(x)＝2(x≥0)．
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6.∴总利润y＝8.25万元．
②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.
∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.
∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．