第四章 4.5 4.5.1
一、选择题
1．下列函数的图象中没有零点的是( )
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
4．函数f(x)＝x＋的零点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
5．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是____.
6．函数f(x)＝的零点的个数为____.
三、解答题
7．求下列函数的零点．
(1)y＝－x2－x＋20；(2)y＝x3＋8；
(3)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；(4)y＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．(2019·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋x－2有零点的一个区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
2．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，则在(a，b)内的零点个数不确定
二、填空题
3．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg(x2＋3x＋2)，则f(x)在R上的零点个数为____.
4．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是____.
三、解答题
5．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
第四章 4.5 4.5.1
一、选择题
1．下列函数的图象中没有零点的是( D )
[解析] 从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D．
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有( D )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个．
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( D )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
[解析] ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上不一定有实数解．
4．函数f(x)＝x＋的零点的个数为( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＜0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
所以函数没有零点，故选A．
二、填空题
5．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是__0，__.
[解析] ∵f(x)＝x＋b的零点是2，
∴2＋b＝0，∴b＝－2，
∴g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝.
6．函数f(x)＝的零点的个数为__2__.
[解析] 当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝有2个零点．
三、解答题
7．求下列函数的零点．
(1)y＝－x2－x＋20；(2)y＝x3＋8；
(3)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；(4)y＝.
[解析] (1)令y＝0，有－x2－x＋20＝0，解得x1＝－5，x2＝4.故所求函数的零点为－5,4.
(2)y＝x3＋8＝(x＋2)(x2－2x＋4)．
令(x＋2)(x2－2x＋4)＝0，解得x＝－2.
故所求函数的零点为－2.
(3)令(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，
解得x1＝－，x2＝，x3＝1，x4＝2.
故所求函数的零点为－，，1,2.
(4)由题意知y＝＝.
令＝0，解得x＝－6.
故所求函数的零点为－6.
B组·素养提升
一、选择题
1．(2019·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋x－2有零点的一个区间是( C )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
[解析] f(1)＝－2＝－<0，
f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋－2＝ln3－>0.
∴f(2)·f(3)<0，故选C．
2．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( CD )
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，则在(a，b)内的零点个数不确定
[解析] 根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，但c的个数不确定，故B错误，D正确；若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错误，C正确．故选CD．
二、填空题
3．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg(x2＋3x＋2)，则f(x)在R上的零点个数为__0__.
[解析] 由题知，当x≥0时，f(x)＝lg(x2＋3x＋2)，令lg(x2＋3x＋2)＝0，即x2＋3x＋1＝0，解得x＝(舍去)．
因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数的零点个数为0.
4．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__(，1)__.
[解析] 画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．由图可知三、解答题
5．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
[解析] 设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．
第一种情况，，解得－2＜m＜－.
第二种情况，，此不等式组无解．
综上，m的取值范围是－2＜m＜－.第四章 4.5 4.5.1
1．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．(2019·广东省肇庆市模拟)“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的( )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
3．(2020·天津和平区高一期中测试)函数f(x)＝2x＋x的零点所在的一个区间是( )
A．(1,2)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(－2，－1)
4．设函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内有____个根．
5．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
第四章 4.5 4.5.1
1．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．
2．(2019·广东省肇庆市模拟)“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的( C )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] ∵函数f(x)＝x2＋x＋m有零点，∴方程x2＋x＋m＝0有解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，由于m≤?m<1，m<1m≤，
∴“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的必要不充分条件．
3．(2020·天津和平区高一期中测试)函数f(x)＝2x＋x的零点所在的一个区间是( C )
A．(1,2)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(－2，－1)
[解析] f(1)＝2＋1＝3>0，
f(2)＝4＋2＝6>0，
f(0)＝20＝1>0，
f(－1)＝－1＝－<0，
∴f(－1)·f(0)<0，故选C．
4．设函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内有__1__个根．
[解析] 由f(a)·f(b)<0知f(x)＝0在[a，b]上至少有一个实数根，又f(x)在[a，b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．
5．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
[解析] 由题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，
∴a＝5，b＝－6，
∴g(x)＝－6x2－5x－1，
由－6x2－5x－1＝0，
解得x1＝－，x2＝－.
∴函数g(x)的零点是－，－.
