第五章 5.1 5.1.2
A组·素养自测
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1
rad的角是周角的
C．1
rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
2．下列转化结果错误的是( )
A．22°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D．化成角度是15°
3．若α＝5
rad，则角α的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．将－1
485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－－8π
B．π－8π
C．－10π
D．π－10π
5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( )
A．(，)
B．(，)
C．[，]
D．[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
6．若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( )
A．tan1
B．
C．
D．
二、填空题
7．315°＝__π__弧度，π弧度＝____度．
8．将－1
360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为___.
9．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为____.
三、解答题
10．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
11．(1)把310°化成弧度；
(2)把
rad化成角度；
(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．
B组·素养提升
一、选择题
1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )
A．第一象限
B．第四象限
C．x轴上
D．y轴上
2．(多选题)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的4倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
3．(多选题)下列表述中正确的是( )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}
C．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}
D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}
4．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( )
A．(2－sin1cos1)R2
B．R2sin1cos1
C．R2
D．R2－R2sin1cos1
二、填空题
5．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是____.
6．如图所示，已知一长为
dm，宽为1
dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是____dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是____dm2.
三、解答题
7．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15
cm，求扇形的面积．
(2)已知一个扇形的周长为12
cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．
8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0m，设圆心角为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
第五章 5.1 5.1.2
A组·素养自测
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( D )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1
rad的角是周角的
C．1
rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
[解析] 由角度制和弧度制的定义，知A，B，C说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．
2．下列转化结果错误的是( C )
A．22°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D．化成角度是15°
[解析] 对A,22°30′＝22.5°＝，正确；对B，－＝－×°＝－600°，正确；对C，－150°＝－150×＝－，错误；对D，＝×°＝15°，正确．
3．若α＝5
rad，则角α的终边所在的象限为( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵<5<2π，∴α＝5
rad为第四象限角，其终边位于第四象限．
4．将－1
485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( D )
A．－－8π
B．π－8π
C．－10π
D．π－10π
[解析] ∵－1
485°＝－5×360°＋315°，
又2π
rad＝360°，315°＝π
rad.
故－1
485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π.
5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( D )
A．(，)
B．(，)
C．[，]
D．[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
[解析] 阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
6．若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( C )
A．tan1
B．
C．
D．
[解析] 如图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则∠AOD＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝＝.
∴扇形的面积S＝×2×＝.
二、填空题
7．315°＝__π__弧度，π弧度＝__105__度．
8．将－1
360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为__－8π＋__.
[解析] ∵－1
360°＝－4×360°＋80°，而80°＝，
∴应填－8π＋.
9．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为____.
[解析] 连接AO，OB，因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.
三、解答题
10．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
[解析] 设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．
11．(1)把310°化成弧度；
(2)把
rad化成角度；
(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．
[解析] (1)310°＝
rad×310＝
rad.
(2)
rad＝°＝75°.
(3)解法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝.
显然<<1<.故α<β<
γ<θ＝φ.
解法二(化为角度)：
β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，
φ＝×()°＝105°.
显然，15°<18°<57.30°<105°.
故α<β<γ<θ＝φ.
B组·素养提升
一、选择题
1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( D )
A．第一象限
B．第四象限
C．x轴上
D．y轴上
[解析] ∵＝2kπ＋(k∈Z)，
∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．
当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．
2．(多选题)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( BC )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的4倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
[解析] α＝＝＝α，故圆心角不变，由面积公式S＝lr知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC．
3．(多选题)下列表述中正确的是( ABC )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}
C．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}
D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}
[解析] 终边在直线y＝x上角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．故选ABC．
4．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( D )
A．(2－sin1cos1)R2
B．R2sin1cos1
C．R2
D．R2－R2sin1cos1
[解析] 设弧长为l，则l＋2R＝4R，∴l＝2R，∴S扇形＝lR＝R2.∵圆心角|α|＝＝2，∴S三角形＝·2R·sin1·Rcos1＝R2sin1·cos1，
∴S弓形＝S扇形－S三角形＝R2－R2sin1cos1.
二、填空题
5．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是__第一或第二象限__.
[解析] 当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，
∴θ的终边在第一或第二象限．
6．如图所示，已知一长为
dm，宽为1
dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是____dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是____dm2.
[解析]
所在的圆的半径是2，所对圆心角为，
所在的圆的半径是1，所对圆心角为，
所在的圆的半径是，所对圆心角是.
点A走过的路程是3段圆弧长之和，即：
＋＋＝(dm)；
3段弧所对应的扇形总面积为：
＋＋＝(dm2)．
三、解答题
7．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15
cm，求扇形的面积．
(2)已知一个扇形的周长为12
cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．
[解析] (1)扇形的圆心角为75×＝，扇形半径为15
cm.
扇形面积S＝|α|r2＝××152＝π
cm2.
(2)设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，根据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝＝＝2.
8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0m，设圆心角为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
[解析] (1)根据题意，可算得弧BC＝x·θ(m)，弧AD＝10θ(m)．
因为BA＋CD＋l＋l＝30，所以(10－x)＋(10－x)＋xθ＋10θ＝30，
所以θ＝(0(2)根据题意，可知y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2，
化简得y＝－x2＋5x＋50＝－(x－)2＋.
所以当x＝(满足条件01．在不等圆中1
rad的圆心角所对的是( )
A．弦长相等
B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径
D．弧长等于所在圆的半径
2．－转化为角度是( )
A．－300°
B．－600°
C．－900°
D．－1
200°
3．与1°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋，k∈Z}
C．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
D．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
4．已知扇形面积为π，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A．π
B．π
C．π
D．π
5．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为____平方步．
第五章 5.1 5.1.2
1．在不等圆中1
rad的圆心角所对的是( D )
A．弦长相等
B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径
D．弧长等于所在圆的半径
[解析] 根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1
rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D．
2．－转化为角度是( B )
A．－300°
B．－600°
C．－900°
D．－1
200°
[解析] ∵1
rad＝()°，
∴－＝－(×)°＝－600°.
3．与1°角终边相同的角的集合是( C )
A．{α|α＝k·360°＋，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋，k∈Z}
C．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
D．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
4．已知扇形面积为π，半径是1，则扇形的圆心角是( C )
A．π
B．π
C．π
D．π
[解析] 设扇形圆心角为α，则S＝αR2＝π，∴α＝π.
5．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为__120__平方步．
[解析] 由题意：
S＝·l·(2r)
＝lr＝×20×12
＝120.
