第五章 5.1 5.1.1
1．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
2．－215°是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．下列各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690°
B．－330°，750°
C．480°，－420°
D．3
000°，－840°
4．若角α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
5．写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
第五章 5.1 5.1.1
1．与－457°角终边相同的角的集合是( C )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
[解析] －457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．
2．－215°是( B )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
3．下列各组角中，终边相同的是( B )
A．390°，690°
B．－330°，750°
C．480°，－420°
D．3
000°，－840°
4．若角α与β的终边互为反向延长线，则有( D )
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
[解析] 角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．
5．写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
[解析] (1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．第五章 5.1 5.1.1
A组·素养自测
一、选择题
1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120°
B．－120°
C．－60°
D．60°
2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)×360°
B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360°
D．165°＋(－3)×360°
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是( )
A．第一、三象限
B．第一、二象限
C．第二、四象限
D．第三、四象限
4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A．{α|－45°<α<120°}
B．{α|120°<α<315°}
C．{α|k·360°－45°<αD．{α|k·360°＋120°<α5．下列叙述正确的是( )
A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
D．钝角比第三象限角小
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
二、填空题
7．已知角α终边所在的位置，请你完成下表：
角α终边所在的位置
角α的集合
第一象限
{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
第二象限
第三象限
第四象限
8.－1
485°角是第____象限的角，与其终边相同的角中最大的负角是____.
9．终边在直线y＝x上的角的集合S＝____.
三、解答题
10．已知α＝－1
910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
11.已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( )
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
3．(多选题)下列与412°角的终边相同的角是( )
A．52°
B．778°
C．－308°
D．1
132°
4．(多选题)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
二、填空题
5．与－500°角的终边相同的最小正角是____，最大负角是____.
6.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈____.
三、解答题
7．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
8．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°.点P从点A处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转．已知点P在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟第一次到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求θ，并判断其所在的象限．
第五章 5.1 5.1.1
A组·素养自测
一、选择题
1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( B )
A．120°
B．－120°
C．－60°
D．60°
[解析] 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B．
2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( B )
A．－165°＋(－2)×360°
B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360°
D．165°＋(－3)×360°
[解析] －885°＝－3×360°＋195°.故选B．
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是( A )
A．第一、三象限
B．第一、二象限
C．第二、四象限
D．第三、四象限
[解析] 由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；
当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限．
综上，α终边所在的象限是第一或第三象限．
4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( C )
A．{α|－45°<α<120°}
B．{α|120°<α<315°}
C．{α|k·360°－45°<αD．{α|k·360°＋120°<α[解析] 在(－360°，360°)范围内，阴影部分表示为(－45°，120°)，故选C．
5．下列叙述正确的是( B )
A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
D．钝角比第三象限角小
[解析] －330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；若α是第一象限角，则k·360°<α6．已知α为第三象限角，则所在的象限是( D )
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
[解析] 因为α终边在第三象限，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，k为偶数时，在第二象限，k为奇数时，在第四象限．故选D．
二、填空题
7．已知角α终边所在的位置，请你完成下表：
角α终边所在的位置
角α的集合
第一象限
{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
第二象限
第三象限
第四象限
[解析] 如下表：
角α终边所在的位置
角α的集合
第一象限
{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
第二象限
{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}
第三象限
{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}
第四象限
{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}
8.－1
485°角是第__四__象限的角，与其终边相同的角中最大的负角是__－45°__.
[解析] 因为－1
485°＝－5×360°＋315°，
而315°∈(270°，360°)，所以－1
485°是第四象限角．
又－360°＋315°＝－45°，最大的负角是－45°.
9．终边在直线y＝x上的角的集合S＝__{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}__.
[解析] 在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：30°、210°(如图)，
所以终边在y＝x上的角的集合是S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．
三、解答题
10．已知α＝－1
910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
[解析] (1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1
910°－k·360°(k∈Z)．
令－1
910°－k·360°≥0°，解得k≤－＝－5.
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
11.已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( C )
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
[解析] 由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.
∴k·180°<α2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( C )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
[解析] 令k分别取－1,0,1,2，对应得到α的值为－126°，－36°，54°，144°.故选C．
3．(多选题)下列与412°角的终边相同的角是( ACD )
A．52°
B．778°
C．－308°
D．1
132°
[解析] 因为412°＝360°＋52°，所以与412°角的终边相同的角为β＝k×360°＋52°，k∈Z.当k＝－1时，β＝－308°；当k＝0时，β＝52°；当k＝2时，β＝772°；当k＝3时，β＝1
132°；当k＝4时，β＝1
492°.综上，ACD正确．
4．(多选题)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( BD )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
[解析] 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，AC都不满足条件．
二、填空题
5．与－500°角的终边相同的最小正角是__220°__，最大负角是__－140°__.
[解析] 与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时α＝－140°为最大负角．
6.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈__{α|n·180°＋30°<α[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α三、解答题
7．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
[解析] (1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3.
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；
60°＋3×180°＝600°.
8．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°.点P从点A处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转．已知点P在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟第一次到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求θ，并判断其所在的象限．
[解析] 由题意有14θ＋45°＝k·360°＋45°(k∈Z)，θ＝(k∈Z)．
又180°<2θ＋45°<270°，
即67.5°<θ<112.5°，
∴67.5°<<112.5°，且k∈Z.
∴k＝3或k＝4.
∴所求的θ值为θ＝或θ＝.
易知0°<<90°，90°<<180°，
∴θ在第一象限或第二象限．
