第五章 5.3 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．已知cos＝，那么sinα等于( )
A．－
B．
C．－
D．
2．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．已知cos＝－，则sin等于( )
A．－
B．
C．－
D．
4．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝( )
A．3－cos2x
B．3－sin2x
C．3＋cos2x
D．3＋sin2x
5．已知sin(π＋θ)＋cos＝2cos(π－θ)，则sinθcosθ－cos2θ＝( )
A．
B．－
C．
D．
6．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A．－
B．－
C．
D．
二、填空题
7．计算cos(－π)＋sin＝____.
8．sin(－)＋costan2
020π－cos(－)＋sin＝____.
三、解答题
9．化简：(1)·sin(α－)cos(＋α)；
(2)sin(－α－5π)cos(α－)－sin(＋α)cos(α－2π)．
10．求证：＋＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cosC
B．sin(A＋B)＝－sinC
C．cos(＋C)＝sinB
D．sin＝cos
2．α为锐角，2tan(π－α)－3cos(＋β)＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝( )
A．
B．
C．
D．
3．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(－x)＝sinx
B．sin(－x)＝cosx
C．cos(＋x)＝－sinx
D．cos(x－π)＝－cosx
4．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与α“广义互余”的是( )
A．sinβ＝
B．cos(π＋β)＝
C．tanβ＝
D．tanβ＝
二、填空题
5．已知sin(＋α)＝，则sin(－α)＝____.
6．化简＝____.
7．若f(cosx)＝5＋2sin2x，则f()的值等于___.
三、解答题
8．求值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.
9．(2019·重庆江津等七校高一期末)已知f(α)＝.
(1)求f()的值；
(2)若α∈(0，π)且f(α)＋f(－α)＝－，求sin2α－cosα的值．
第五章 5.3 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．已知cos＝，那么sinα等于( A )
A．－
B．
C．－
D．
[解析] ＝cos＝cos＝－sinα，
所以sinα＝－.故选A．
2．若sin<0，且cos>0，则θ是( C )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 由于sin＝cosθ<0，cos＝－sinθ>0，即sinθ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．
3．已知cos＝－，则sin等于( A )
A．－
B．
C．－
D．
[解析] sin＝sin
＝cos＝－，故选A．
4．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝( C )
A．3－cos2x
B．3－sin2x
C．3＋cos2x
D．3＋sin2x
[解析] f(cosx)＝f[sin(－x)]＝3－cos2＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.
5．已知sin(π＋θ)＋cos＝2cos(π－θ)，则sinθcosθ－cos2θ＝( C )
A．
B．－
C．
D．
[解析] 由题意得－sinθ－sinθ＝－2cosθ?tanθ＝，因此sinθcosθ－cos2θ＝＝＝.
6．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( B )
A．－
B．－
C．
D．
[解析] 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，
得：－sinα－sinα＝－a，即sinα＝，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)
＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－a.
二、填空题
7．计算cos(－π)＋sin＝____.
[解析] 依题意，原式＝cos＋sin
＝cos(4π＋)＋sin(8π＋)
＝cos＋sin＝.
8．sin(－)＋costan2
020π－cos(－)＋sin＝__－1__.
[解析] 原式＝－sin＋cos×0－cos－sin＝－＋0＋－1＝－1.
三、解答题
9．化简：(1)·sin(α－)cos(＋α)；
(2)sin(－α－5π)cos(α－)－sin(＋α)cos(α－2π)．
[解析] (1)原式＝·sin[－(－α)]·(－sinα)＝·[－sin(－α)](－sinα)
＝·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos[－(－α)]－sin[π＋(＋α)]·cos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos(－α)＋sin(＋α)cos(2π－α)＝－sin(α＋π)sinα＋cosαcosα＝sin2α＋cos2α＝1.
10．求证：＋＝.
[解析] ∵左边＝＋＝＋＝＝＝＝右边，∴等式成立．
B组·素养提升
一、选择题
1．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( D )
A．cos(A＋B)＝cosC
B．sin(A＋B)＝－sinC
C．cos(＋C)＝sinB
D．sin＝cos
[解析] ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC．
所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，
所以sin＝sin(－)＝cos，因此D是正确的．
2．α为锐角，2tan(π－α)－3cos(＋β)＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由已知可得，－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1解得tanα＝3，故sinα＝，选C．
3．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( CD )
A．sin(－x)＝sinx
B．sin(－x)＝cosx
C．cos(＋x)＝－sinx
D．cos(x－π)＝－cosx
[解析] 因为sin(－x)＝－sinx，故A不成立；
因为sin(－x)＝－cosx，故B不成立；
因为cos(＋x)＝－sinx，故C成立；
因为cos(x－π)＝－cosx，故D成立．故选CD．
4．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与α“广义互余”的是( AC )
A．sinβ＝
B．cos(π＋β)＝
C．tanβ＝
D．tanβ＝
[解析] ∵sin(π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝，若α＋β＝，则β＝－α.
A中sinβ＝sin(－α)＝cosα＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos(－α)＝－sinα＝－，故B不符合条件；
C中，tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，即C符合条件；
D中，tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故D不符合条件，故选AC．
二、填空题
5．已知sin(＋α)＝，则sin(－α)＝____.
[解析] ∵sin(＋α)＝cosα＝，∴sin(－α)＝cosα＝.
6．化简＝__－1__.
[解析] 原式＝
＝＝＝－1.
7．若f(cosx)＝5＋2sin2x，则f()的值等于__5±__.
[解析] ∵f(cosx)＝5＋2sin2x，
所以f()＝f[cos(2kπ±)]
＝f[cos(±)]＝5＋2sin(±)＝5±.
三、解答题
8．求值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.
[解析] (1)原式＝(cos＋cos)＋(cos＋cos)＋(cos＋cos)＝[cos＋cos(π－)]＋[cos＋cos(π－)]＋[cos＋cos(π－)]＝(cos－cos)＋(cos－cos)＋(cos－cos)＝0.
(2)sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
…，
sin244°＋sin246°＝sin244°＋cos244°＝1，
sin245°＝()2＝，
上述各式相加可得，原式＝44＋＝.
9．(2019·重庆江津等七校高一期末)已知f(α)＝.
(1)求f()的值；
(2)若α∈(0，π)且f(α)＋f(－α)＝－，求sin2α－cosα的值．
[解析] (1)因为f(α)＝＝－cosα，所以f()＝－cos＝－.
(2)因为f(α)＋f(－α)＝－，
所以－cosα－cos(－α)＝－，
所以cosα＋sinα＝，
两边平方，得1＋2sinαcosα＝，
所以2sinαcosα＝－，
1－2sinαcosα＝，即(sinα－cosα)2＝，
因为2sinαcosα＝－<0，α∈(0，π)，所以α∈(，π)，所以sinα－cosα>0，
所以sinα－cosα＝，结合cosα＋sinα＝，
解得sinα＝，cosα＝－，
故sin2α－cosα＝－(－)＝.第五章 5.3 第2课时
1．若cos65°＝a，则sin25°的值是( )
A．－a
B．a
C．
D．－
2．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．已知cos＝－，且α是第二象限角，则sin的结果是( )
A．
B．－
C．±
D．
4．若α∈(π，)，则＝( )
A．sinα
B．－sinα
C．cosα
D．－cosα
5．(2019·青岛二中高一月考)已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为( )
A．－
B．－
C．－
D．－4
第五章 5.3 第2课时
1．若cos65°＝a，则sin25°的值是( B )
A．－a
B．a
C．
D．－
[解析] sin
25°＝sin(90°－65°)＝cos
65°＝a.
2．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是( B )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] 因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．
3．已知cos＝－，且α是第二象限角，则sin的结果是( B )
A．
B．－
C．±
D．
[解析] ∵cos＝－，
∴－sinα＝－，∴sinα＝，
又α是第二象限角，∴cosα＝－，
∴sin＝cosα＝－.
4．若α∈(π，)，则＝( B )
A．sinα
B．－sinα
C．cosα
D．－cosα
[解析] ∵α∈(π，π)，∴sinα<0，
∴＝＝－sinα.
5．(2019·青岛二中高一月考)已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为( A )
A．－
B．－
C．－
D．－4
[解析] ∵角α的终边上有一点P(1,3)，在第一象限，
∴由三角函数的定义知sinα＝，cosα＝.
∵
＝＝＝－.
∴选A．
