第五章 5.4 5.4.2 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
2．函数y＝sin2x是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的偶函数
D．周期为的奇函数
3．对于函数y＝cos(－2x)，下列命题正确的是( )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线x＝对称
5．函数y＝sin(2x＋)的一个对称中心是( )
A．(，0)
B．(，0)
C．(－，0)
D．(，0)
6．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
二、填空题
7．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝____.
8．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是____.
9．函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为____.
三、解答题
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．
11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
B组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是偶函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函数的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A．y＝sin(2x＋)＋1
B．y＝cos(2x＋)
C．f(x)＝＋
D．y＝cos(2x＋)
4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
二、填空题
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(0<ω<2)，若f()＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为____.
6．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝____.
7．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y＝f(x－)是奇函数；④y＝f(x＋)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是____.
三、解答题
8．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．
第五章 5.4 5.4.2 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( D )
2．函数y＝sin2x是( A )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的偶函数
D．周期为的奇函数
3．对于函数y＝cos(－2x)，下列命题正确的是( D )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
[解析] 因为函数y＝cos(－2x)＝sin2x，T＝＝π，且y＝sin2x是奇函数，
所以y＝cos(－2x)是周期为π的奇函数．
4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于( C )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线x＝对称
[解析] 因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos2x，
所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．
5．函数y＝sin(2x＋)的一个对称中心是( B )
A．(，0)
B．(，0)
C．(－，0)
D．(，0)
[解析] y＝sin(2x＋)＝cos2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有(，0)符合要求，故选B．
6．函数f(x)＝的奇偶性是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
[解析] 因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．
二、填空题
7．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝__－1__.
[解析] 因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)．又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
8．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是__π(答案不唯一)__.
[解析] 因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．
9．函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为__{x|x＝4kπ－(k∈Z)}__.
[解析] ∵T＝＝4π，
∴ω＝，
∴f(x)＝2sin.
由x－＝2kπ－(k∈Z)，得x＝4kπ－(k∈Z)．
三、解答题
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．
[证明] ∵f(x＋2)＝，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．
11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，
∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.
又∵当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是偶函数”是“φ＝”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若f(x)是偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝不一定成立；而φ＝时，f(x)为偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选B．
2．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函数的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①③④是奇函数，故选C．
3．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( AC )
A．y＝sin(2x＋)＋1
B．y＝cos(2x＋)
C．f(x)＝＋
D．y＝cos(2x＋)
[解析] 由y＝sin(2x＋)＋1＝cos2x＋1知，y＝sin(2x＋)＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；
由y＝cos(2x＋)＝－sin2x知，y＝cos(2x＋)为奇函数，故B不满足条件；
对任意x∈R，－1≤sin2x≤1，∴1＋sin2x≥0,1－sin2x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＋
＝＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；
y＝cos(2x＋)是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC．
4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是( AD )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
[解析] φ＝0时，f(x)＝sinx是奇函数；φ＝时，f(x)＝cosx是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD．
二、填空题
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(0<ω<2)，若f()＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为__4π__.
[解析] 因为f()＝sin(ω·＋)＝1，所以ω·＋＝2kπ＋(k∈Z)，由此可得ω＝3k＋(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.
6．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝__1__.
[解析] ∵f(x)的周期为，且f(x)为偶函数，
∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1.
7．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y＝f(x－)是奇函数；④y＝f(x＋)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是__①③④__.
[解析] ①正确，f(x)＝4sin(2x＋)＝4cos[－(2x＋)]＝4cos(2x－)；②错误，由题意知T＝＝π；③正确，f(x－)＝4sin[2(x－)＋]＝4sin2x，是奇函数；④正确，f(x＋)＝4sin[2×(x＋)＋]＝4cos2x，是偶函数，其图象关于y轴对称．综上知，①③④正确．
三、解答题
8．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
[解析] (1)y＝sinx＋|sinx|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.
9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．
[解析] x∈[π，3π]时，
3π－x∈[0，]，
因为x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[π，3π]．第五章 5.4 5.4.2 第1课时
1．函数f(x)＝xsin是( )
A．奇函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2．下列函数中，最小正周期为4π的是( )
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin
D．y＝cos2x
3．函数y＝cos2x的图象( )
A．关于直线x＝－对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
4．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝___.
5．设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x∈(－，0)时，f(x)＝4x－1，求f(－)的值．
第五章 5.4 5.4.2 第1课时
1．函数f(x)＝xsin是( A )
A．奇函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
[解析] 函数f(x)＝xsin＝xcosx，
∵f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，
且定义域为R，∴f(x)是奇函数．
2．下列函数中，最小正周期为4π的是( C )
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin
D．y＝cos2x
[解析] A项，y＝sinx的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cosx的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，故C项符合题意；D项，y＝cos2x的最小正周期为T＝＝π，故D项不符合题意．故选C．
3．函数y＝cos2x的图象( B )
A．关于直线x＝－对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
[解析] 函数的对称轴满足2x＝kπ，k∈Z.
所以x＝π，k∈Z，取k＝－1得B选项，选B．
4．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝__2__.
[解析] f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.
5．设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x∈(－，0)时，f(x)＝4x－1，求f(－)的值．
[解析] ∵f(x)的周期为1，f(－)＝f(－4＋)
＝f()．
又当x∈(－，0)时，f(x)＝4x－1，
∴f(－)＝4×(－)－1＝－，
又∵f(x)是奇函数，∴f(－)＝－f()，
∴f()＝.故f(－)＝.
