第五章 5.4 5.4.2 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．y＝2sinx2的值域是( )
A．[－2,2]
B．[0,2]
C．[－2,0]
D．R
2．函数y＝4sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．0
B．－3
C．－2－
D．4－2
3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是( )
A．
B．
C．
D．
4．已知函数f(x)＝－cosx，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
5．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( )
A．cos>sin>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cosD．－cossin
6．函数y＝－cos的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
二、填空题
7．函数y＝sinx，x∈[－，]的值域为____.
8．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2
015)＝7，则f(－2
015)＝____.
9．函数y＝的最大值为____.
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos2x；
(2)y＝2sin.
11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sinx＋；
(2)y＝cos2x－sinx，x∈[－，]．
B组·素养提升
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )
A．y＝sin(2x＋)
B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋)
D．y＝cos(x＋)
2．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
3．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(φx＋φ)，则下列命题正确的是( )
A．?φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)
B．?φ∈R，f(x＋1)＝f(x)
C．?φ∈R，f(x)都不是偶函数
D．?φ∈R，f(x)是奇函数
4．(多选题)已知函数f(x)＝cos(2x－)，下列结论正确的是( )
A．函数f(x)是周期为π的偶函数
B．函数f(x)在区间[，]上是增函数
C．若函数f(x)的定义域为(0，)，则值域为(－，1]
D．函数f(x)的图象与g(x)＝－sin(2x－)的图象重合
二、填空题
5．y＝的定义域为____，单调递增区间为____.
6．(2019·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksinx＋3，若对任意x∈[－，]都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为___.
7．(2019·湖北高三调研)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是____.
三、解答题
8．已知函数y＝sin(－2x)．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
．
9．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域为[0，]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
第五章 5.4 5.4.2 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．y＝2sinx2的值域是( A )
A．[－2,2]
B．[0,2]
C．[－2,0]
D．R
[解析] ∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，
∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
2．函数y＝4sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( D )
A．0
B．－3
C．－2－
D．4－2
[解析] ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin(x－)∈[－，1]，
所以函数的值域为[－2，4]，
故最大值与最小值之和为4－2，故选D．
3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 画出y＝|sinx|的图象即可求解．
故选C．
4．已知函数f(x)＝－cosx，下列结论错误的是( D )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
[解析] 本题考查余弦函数的性质．∵f(x)＝－cosx的图象即为函数f(x)＝cosx的图象绕x轴翻折而成的，∴A，B，C均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D．
5．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( C )
A．cos>sin>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cosD．－cossin
[解析] sin＝cos(－)，－cos＝cos(π－)．
∵π>>－>π－>0，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，
∴cos即cos6．函数y＝－cos的单调递增区间是( D )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
[解析] 函数y＝－cos的单调递增区间即为函数y＝cos的单调递减区间．由2kπ≤－≤π＋2kπ，k∈Z，得π＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.故选D．
二、填空题
7．函数y＝sinx，x∈[－，]的值域为__[－，1]__.
[解析] y＝sinx在[－，]上为增函数，在[，]上为减函数，当x＝－时，y＝sinx有最小值－，当x＝时，y＝sinx有最大值1，所以值域为[－，1]．
8．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2
015)＝7，则f(－2
015)＝__－5__.
[解析] 由f(2
015)＝2
015a＋bsin2
015＋1＝7，得2
015a＋bsin2
015＝6，∴f(－2
015)＝－2
015a－bsin2
015＋1＝－(2
015a＋bsin2
015)＋1＝－6＋1＝－5.
9．函数y＝的最大值为__3__.
[解析] 由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos2x；
(2)y＝2sin.
[解析] (1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①
2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②
解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
(2)y＝2sin化为
y＝－2sin.
∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
(k∈Z)，
(k∈Z)．
∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)②
解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sinx＋；
(2)y＝cos2x－sinx，x∈[－，]．
[解析] (1)y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－.
(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－(sinx＋)2＋.因为－≤x≤，所以－≤sinx≤，所以当sinx＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当sinx＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
B组·素养提升
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( A )
A．y＝sin(2x＋)
B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋)
D．y＝cos(x＋)
[解析] C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A．
2．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( D )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[解析] 因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．
3．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(φx＋φ)，则下列命题正确的是( BD )
A．?φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)
B．?φ∈R，f(x＋1)＝f(x)
C．?φ∈R，f(x)都不是偶函数
D．?φ∈R，f(x)是奇函数
[解析] A错误，若命题f(x＋2π)＝sin[φ·(x＋2π)＋φ]＝sin(φx＋φ)成立，则φ必须为整数，所以A是假命题；B正确，当φ＝2π时，函数f(x)＝sin(φx＋φ)满足f(x＋1)＝sin(2πx＋2π＋φ)＝sin(2πx＋φ)＝f(x)，所以B是真命题；C错误，当φ＝时，f(x)＝cosx满足f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)，所以存在实数φ使得函数为偶函数，所以C是假命题；D正确，当φ＝2π时，f(x)＝·sin2πx满足f(－x)＝sin(－2πx)＝－·sin2πx＝－f(x)，所以存在实数φ使得函数为奇函数，所以D是真命题，故选BD．
4．(多选题)已知函数f(x)＝cos(2x－)，下列结论正确的是( CD )
A．函数f(x)是周期为π的偶函数
B．函数f(x)在区间[，]上是增函数
C．若函数f(x)的定义域为(0，)，则值域为(－，1]
D．函数f(x)的图象与g(x)＝－sin(2x－)的图象重合
[解析] A错，函数f(x)是周期为π的函数，但不是偶函数；B错，x∈[，]时，2x－∈[0，]?[0，π]，所以函数f(x)在区间[，]上是减函数；C正确，若函数f(x)的定义域为(0，)，则2x－∈(－，)，其值域为(－，1]；D正确，g(x)＝－sin(2x－)＝－sin(－＋2x－)＝sin[－(2x－)]＝cos(2x－)，故D正确，故选CD．
二、填空题
5．y＝的定义域为__[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)__，单调递增区间为__[2kπ，2kπ＋]，k∈Z__.
[解析] ∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在[0，]上单调递增．
∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋]，k∈Z.
6．(2019·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksinx＋3，若对任意x∈[－，]都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为__[－3,3]__.
[解析] 由x∈[－，]得sinx∈[－，]．
当k≥0时，－k＋3≤2ksinx＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；当k<0时，k＋3≤2ksinx＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.综上所述，k的取值范围是[－3,3]．
7．(2019·湖北高三调研)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是__[，]__.
[解析] 由函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，
得≥，即≥，解得ω≤.当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，又函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤ωπ<π，≤ω<.综上，≤ω≤.
三、解答题
8．已知函数y＝sin(－2x)．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
[解析] y＝sin(－2x)可化为y＝－sin(2x－)．
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[－π，－]，[－，0]．
9．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域为[0，]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
[解析] ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴a>0时，解得
a<0时，解得
综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.第五章 5.4 5.4.2 第2课时
1．函数y＝2sinx(0≤x≤)的值域是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,1]
D．[0,2]
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°3．函数y＝sin2x的单调减区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是( )
A．y＝2sin(2x＋)
B．y＝2sin(2x－)
C．y＝2sin(＋)
D．y＝2sin(2x－)
5．函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为____.
第五章 5.4 5.4.2 第2课时
1．函数y＝2sinx(0≤x≤)的值域是( C )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,1]
D．[0,2]
2．下列关系式中正确的是( C )
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°[解析] cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°.
sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°.
3．函数y＝sin2x的单调减区间是( B )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
[解析] 由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z得
kπ＋≤x≤kπ＋π，
∴y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是( B )
A．y＝2sin(2x＋)
B．y＝2sin(2x－)
C．y＝2sin(＋)
D．y＝2sin(2x－)
[解析] 根据函数的最小正周期为π，排除C，又图象关于x＝对称，则f()＝2或f()＝－2，代入检验得选B．
5．函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为__[2,10]__.
[解析] 令t＝cosx，
由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cosx＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cosx＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2,10]．
