6.4.1平面几何中的向量方法课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共15张PPT)

(共15张PPT)
6.4.1平面几何中的向量方法
安徽淮南第四中学
2021.3
新课程标准
核心素养
1.掌握用向量方法解决简单的几何问题.
直观想象
2.体会向量是一种处理几何问题的重要工具.
数学抽象
3.能够将几何问题转化为平面向量问题.
数学建模
4.培养运用向量知识解决实际问题的能力.
数据分析
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
一、复习引入
几何元素及其表示
向量及其运算
点A
OA
线段AB
，AB两点距离
AB
AB
=
2
2
|AB|
夹角∠AOB
cos
θ=　
a
·
b
a
b
a
b,
∥
λb
a
=
A,B,C三点共线
λ
AC
AB
=
二、探究新知
例1
如右图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：
DE∥BC，DE=
BC.
1
2
F
回顾初中的证明过程
思考
根据所学的向量知识，能否将要
证明的结论用向量表示？
两线平行，想到向量共线；两线段之间数量关系，想到数与向量积的意义.转化为证明
DE=
BC
，
1
2
在平面图形中，如何寻找两向量之间的关系？
选择一组基底，利用平面图形的性质、三角形法则(平行四边形法则)
如图，因为DE是△ABC的中位线
所以，
AD=
AB
，
1
2
AE=
AC
1
2
从而，
DE=
AE
AD
-
(
)
=
AC
AB
-
1
2
BC=
AC
AB
-
又
所以，
DE=
BC
，
1
2
于是DE∥BC，DE=
BC.
1
2
①选取基底，并用基底表示相关向量；
②利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
③将平面向量运算运算结果还原成平面几何关系.
例2.平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
A
B
C
D
求AC的长，联想到
AC
=
AC
2
2
(
)
而
AC
=
AB
AD
+
2
2
(
)
又
BD
=
AD
AB
-
2
2
已知与所求的都与AB,
AD
有关
∴2a·b＝1.
A
B
C
D
第一步
建立平面几何与向量的联系，用向量表示
问题中涉及的几何元素，将平面几何问题
转化为向量问题；
如图，取{
AB
,
AD
}为基底，设AB=
a,
AD=b,
第二步
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
a2－2a·b＋b2＝BD
2
a2＋2a·b＋b2＝AC
2
AC2+BD2=2(AB2+AD2)
AC
2+BD
2=2(a
+b
)
2
2
第三步
把运算结果“翻译”成几何元素
平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有什么关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
建模
第二步
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
第三步
把运算结果“翻译”成几何元素
，
为单位向量，且|a－b|＝1，
a
b
a2－2a·b＋b2＝1.
∴2a·b＝1.
|a＋2b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7
如图，已知平行四边形ABCD中，E,F在对角线BD上，且BE=FD，
求证AECF是平行四边形
A
B
C
D
E
F
如图，取{
AB
,
BE
}为基底，
设AB=
a,
BE=b,
AE=
+
a
b
FC=
+
b
a
AE=
FC
AECF是平行四边形
【总结】
(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽然任意两个不共线的向量都可以作基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂．
(2)向量法解决几何问题体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可以考虑向量法．
平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间关系还有其它方法吗？
A
B
C
D
如图，以A为坐标原点，
AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设
B
(a,0),
D(b,c)，则C(a+b,c)
AC=(a+b,c)
AC
=
2
(a+b)2+c2
BD
=
2
(a-b)2+c2
AC
2
+
BD
2
=
2a2
+
2(b2+c2)
AB
2
+
AD
2
=2(
)
例3.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，BC＝n，D为AB的中点，若E为CD的中点，连结AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
C
A
B
D
E
F
【解析】以C为坐标原点，以边CB所在的直线为x轴建立坐标系，如图
(
)
【总结】向量是解决图形问题的有力工具，而向量的坐标运算又为图形问题转化为代数问题创造了条件，实现了形到数的转化．用平面向量证明平面几何问题时，要根据题目的条件选择用基向量还是用坐标法．
例4.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
A
B
C
D
E
F
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，
AF=(2,1)
DE=(1,-2)
AF
DE=
·
(2,1)
(1,-2)=0
·
⊥
AF
DE
即AF⊥DE.