2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共18张PPT)

(共18张PPT)
2.3
二次函数与
一元二次方程、①
不等式
安徽淮南第四中学
2020.9
新课程标准
核心素养
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
数学抽象、
直观想象、
逻辑推理
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
数学抽象、
数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
直观想象、
数学建模
回顾
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
ax+b=0的解
函数y=ax+b与x轴交点的横坐标
ax+b>0的解
函数y=ax+b的位于x轴的上方，对应x的取值范围的集合
ax+b<0的解
函数y=ax+b的位于x轴的下方，对应x的取值范围的集合
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
他们的联系又是怎样的呢？
知识点1
一元二次不等式的概念
【问题】园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种
植花卉，若栅栏的长度是24
m，围成的矩形区域的面积要大
于20
m
2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
设这个矩形的一条边长为xcm,则另一条边长为（12-x）m，由题意，得
（12-x）x>20，其中x∈｛x|0x2-12x+20<0，
x∈｛x|0（1）类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？
（2）能否给这个不等式取个名字，并写出它的一般形式？
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
不等式，称为一元二次不等式
一元二次不等式的一般形式是
ax2＋bx＋c>0(a≠0)
或
ax2＋bx＋c<0(a≠0)
其中a,b,c为常数，且a≠0．
?
知识点2
二次函数的零点
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元
一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元
二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
一元二次不等式x2-12x+20<0与二次函数y=x2-12x+20间有何关系
？
x
y
o
2
10
当y＝0时，即方程
x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，
我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数
x叫做
二次函数的零点．
则二次函数y=x2-12x+20
的两个零点是
x1＝2，x2＝10
.
【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数
零点就是函数对应方程的根.
函数y＝x2－3x＋2的零点是________．
解析：由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2，故函数y＝x2－3x＋2的零点为1和2.
知识点3
一元二次不等式的解法
x
y
o
2
10
二次函数y=x2-12x+20
的两个零点x1＝2，x2＝10
将x轴分成三段．
当x＜2
或x＞10时，图像在x轴上方，y＞０，
即x2-12x+20>0；当2故一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集是{x|2＜x＜10}.
求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:
⊿=b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
方程ax2+bx+c=0
的根
y=ax2+bx+c>0
(a>0)
的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)
的解集
⊿>0
⊿=0
⊿<0
x1
x2
x
y
x
x1(x2)
y
x
y
有两相异实根x1x2(x1x1=x2
没有实数根
{x|x>x2
或x{x|
}
R
{x|x2>x>x1}
φ
φ
例1　求不等式x2－5x＋6＞0
的解集.
解：对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ＞0，
所以它有两个实数根，解得x1＝2，x2＝3，
画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象，
结合图象得不等式x2－5x＋6＞0的解集
为{x|x＜2，或x＞3}．
x
y
o
2
3
例2　求不等式9x2－6x＋1＞0
的解集.
解：（2）对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，
所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝
，
1
3
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象，
结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的解集为
．
例3　求不等式－x2＋2x－3＞0的解集.
解：（3）不等式可化为x2－2x＋3＜0，因为
Δ
＝－8＜0，
所以方程x2－2x＋3＝0无实数根，画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象，结合图象得不等式x2－2x＋3＜0的解集为?．因此原不等式的解集为?．
x
y
o
求解一元二次不等式的一般步骤：
将原不等式化为ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式
计算Δ=b2-4ac的值.
方程ax2＋bx＋c=0
有两个不相等的实数根，解得x1，x2（x1＜x2）
方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，解得x1=x2=-
方程ax2＋bx＋c=0没有实数根
原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}
原不等式的解集为{x|x≠－
}
原不等式的解集为R
例4　已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞5}，则ax2－bx＋c＜0的解集为________．
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞5}，说明
ax2＋bx＋c=0的两根为－3，5，且a＜0，方程x2－2x－15＝0两根为
－3，5，已知条件为－x2+2x+15＜0的解集，所求的是－x2+2x+15＜0的解集，即x2－2x－15>0的解集
结合图象得不等式x2＋2x－15＞0的解集为{x|x＞3，或x＜－5}．
已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
由已知得到a＞0，且方程ax2－3x＋2=0有一根为1，从而知a=1，b=2.
（1）求a，b的值；
（2）解不等式ax2－（a＋b）x＋b＜0．
（2）由a＝1，b＝2得不等式为x2－3x＋2＜0，
即（x－1）（x－2）＜0，∴1＜x＜2．
∴不等式得解集为{x|1＜x＜2}.
简单的分式不等式的解法
由符号法则可转化为
(x＋1)(2x－1)<0
∴不等式得解集为{x|－1＜x＜
}.
1
2
注意与上题的不同，在转化时同时要考虑分母不
为0
∴解集为{x|
－
＜x
≤
1
}.
5
3
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
分式不等式的解法：“移项——通分——化乘积”
∴－1≤x<1.
前的系数化为正系数
√
2．解不等式：－2