2.3二次函数与一元二次方程、不等式第二课时课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册20张PPT

一、 含有参数的一元二次不等式的解法
例1、已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(　　)
A.{x|x<5a或x>-a} B.{x|x>5a或x<-a}
C.{x|-a解：x2-4ax-5a2=0的两根是 -a、5a，∵2a+1<0,∴a< -
1
2
∴-a>5a，结合二次函数图像就可得出.
[跟踪训练]
1．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
方程 x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，
则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式解集为?；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
2　解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0(x∈R).
解　原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小.
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)
解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解集
{x|x>2(a－1)或x[例2]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.解集为{x|x>1}；
②当a<0时，原不等式化为 (x－ )(x－1)>0，解得x< 或x>1.解集为{x| x < 或x>1}
1
a
1
a
1
a
当a＝1时，不等式的解集为?；
③若01时，解得11
a
1
a
1
a
若a>1，即 <1时，解得 1
a
1
a
1
a
跟踪训练 2、　解关于x的不等式ax2－x>0.
求关于x的不等式(x+a)(ax-1)>0(a∈R)的解集.
当a=0时,-x>0,即x<0;不等式的解集为{x|x<0};
②当a>0时，原不等式化为 (x－ )(x+a)>0，解得x> 或x<－a
.解集为{x| x > 或x< －a}
1
a
1
a
1
a
②当a<0时，原不等式化为 (x－ )(x+a)<0，解得 .解集为{x| 1
a
1
a
1
a
反思感悟 解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.
(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.
(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
二、不等式的恒成立问题
例1.已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，
求m的取值范围．
[解析]　对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
例2. 若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,
求实数m的取值范围.
解:当m2-2m-3=0时, m=3 或 m= -1.
若m=3,不等式化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意;
若m=-1,不等式化为4x-1<0,显然不满足对于x∈R恒成立.
m的范围为{m|－ 1
5
对点练习 1.若 kx2-6kx+(k+8)≥0 (k为常数)对一切x∈R恒成立,
则k的取值范围是(　　)
A.0≤ k ≤1 B.0< k <1
C.0< k ≤1 D. k<0 或 k>1
当k=0时，原不等式为 8≥0，显然恒成立
当k≠0时，须满足
k>0
?=36k2-4k(k+8)≤0
0< k ≤1
2.已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为{x|x<-2,或x>0}.
(1)求函数的解析式;
(2)若对于任意的-2≤x≤2,y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.
解:(1)易知-2和0是y=0的两个根,∴b=6,c=0.
(2)y+m≤3即 m≤-3x2-6x+3, 而当 -2≤x≤2 时,
函数 t= -3x2-6x+3的对称轴为 x= -1,开口向下,
所以函数的最小值在 x=2时取得,此时tmin= -21,
∴m≤ -21,实数m的最大值为-21.
3.若不等式 ax2+2ax-(a+2) ≥ 0 的解集是?,求实数a的取值范围.
解：不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是?
∴ 不等式 ax2+2ax-(a+2)<0
①当a=0时,不等式ax2+2ax-(a+2)<0为-2<0,成立
②当a≠0时,a须满足a<0且△<0
△=4a2+4a(a+2)=8a(a+1)<0?解得-1综上可知, a的取值范围是{a|-1 三、一元二次不等式的实际应用
例1.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生
产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：
y=-20x2+2200x,若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000
元以上，则应该生产摩托车多少辆？
解：设一个星期内生产摩托车x辆，则有-20x2+2200x>60000
整理得 x2-110x+3000<0
方程x2-110x+3000=0两根为x1=50，x2=60，
结合图像知，x2-110x+3000<0解集是
{x|50＜x＜60}
跟踪训练1、国家计划以2400元/t的价格收购某农产品m（单位t）。按规定农户向国家纳税，税率8%。为减轻农民负担，根据市场规律，税率每降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.试确定x的取值，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%
解　原计划税收为2400m×8%元.
降低税率后的税率为(8－x)%（0＜x≤8），农产品的收购量为m(1＋2x%)t，收购总金额为2400m(1＋2x%)元
2400m(1＋2x%)(8－x)%≥2400m×8%×78%，
x2＋42x－88≤0
x的取值范围为{x|02.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0解析　z＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15，t∈N，所以解集为{t|10≤t≤15，t∈N}.
{t|10≤t≤15，t∈N}
1
2
3
4