七年级数学镶嵌
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(共57张PPT)
镶 嵌
课题学习
制作人:刘红玉
埃舍尔的作品——鸟分割的平面
通过观察上面的图片，你发现它们有哪些共同特征？
【1】不重叠
【2】完全覆盖
从数学角度看，用一些不重叠摆放的图形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做覆盖平面（或平面镶嵌）的问题
教学目的
1,通过生活中的实例,帮助学生理解镶嵌的数学意义;
2,通过引导从具体.特殊到一般的问题解决,培养学生的观
察能力.探究能力以及把实际问题转化为数学问题的能力;
3,通过学生实验活动,搜集.画.设计一些平面镶嵌图,让学
生体会镶嵌在日常生活中的广泛应用。
重点与难点
重点：镶嵌的含义以及它在实际生活中的广泛应用
难点：如何正确理解镶嵌
(一)提出问题
1)回想你家里地板的铺设情况,并说说是用什么
形状的地砖.地板铺成的
2)观看下面地板的拼合图案
3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙
的地板呢
1）它们是何种正多边形拼成的？
2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正
多边形能镶嵌成一个平面？
探究问题（一）
收 集 整 理 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数 使用正多边形的个数k 结论
能镶嵌
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
K= 6
K= 4
K= 3
K= 4
K= 3
60°
90°
108°
108°
120°
n =3
n =6
n =4
n =5
分 析 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数
与360°的关系 结论
n=3
n=4
n=5
n=6
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
6×60°= 360°
4×90°= 360°
4×108°＞ 360°
3×120°= 360°
3×108°＜ 360°
能镶嵌
得出结论：
如果一个正多边形可以进行镶嵌，那么内角一定是360°的约数（或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！
用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面
探究问题（二）
2m+3n=12
m=3
n=2
m·60 +n·90 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，
则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
m+2 n=6
m=2
n=2
m=4
n=1
m·60 +n·120 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角，
则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
2 m+5 n=12
m=1
n=2
m·60 +n·150 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正十二边形
的角，则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
2 m+3 n=8
m=1
n=2
m·90 +n·135 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角,n 个正八边形
的角，则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角,n 个正十边形的角，则有
3 m+4 n=10
m=2
n=1
m·108 +n·144 =360
。
。
。
∵ m,n 为正整数
∴解为
得出结论：
用两种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）。
用三种正多边形镶嵌,哪些能
镶嵌成一个平面？
探究问题（三）
现在用三种正多边形：正三角形、正方形、正六边形能否进行平面镶嵌？如果不能镶嵌，为什么？如果能，你能把它画出来吗（草图）？
思考:
思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？
探究新知(四)
想一想
1）用一种普通的三角形形状的地砖
能镶嵌成一个平面图案吗
能，因为三角形三个内角的和为180°将三角形三个不同的内角绕一点可围成一个平角，六个内角可围成一个360°周角，因此，任意一种三角形能铺满平面。
2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌
成一个平面图案吗？
能，因为四边形四个内角和为360°将四边形四个内角
绕一点可围成一个周角，
因此，任意一种四边形能铺满平面。
如果用两种正多边形进行镶嵌需要满足什么条件？
小颖家正在为新房子装修，在他的房间里，他想用正三角形和另一种正多边形镶嵌成地板，他有哪些选择？你能帮他出出主意吗？
正多边形 拼 图
和
它们的内角度
和360°的关系：
和
它们的内角度
和360°的关系：
正多边形 拼 图
和
和
3×60°+ 2 ×90°= 360°
3×60°+2 ×90°=360°
4×60°+1 ×120°=360°
正三角形
正四边形
正三角形
正六角形
想一想
正三角形和正五边形能否镶嵌
正三角形和正六边形能否镶嵌
正方形和正八边形能否镶嵌
你能归纳出其中有什么规律吗
收获与启示
用一种正多边形镶嵌的规律：正多边形的内角是360°的约数（或360°是这个正多边形的整数倍）！
用多种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）
1. 用一种正多边形镶嵌，哪些可以，分别是哪些正多边形？
2. 你能找到用两种正多边形镶嵌，还有哪些吗？请你设计一个用两个正多边形镶嵌的图形。
课后作业：
镶 嵌
课题学习
制作人:刘红玉
埃舍尔的作品——鸟分割的平面
通过观察上面的图片，你发现它们有哪些共同特征？
【1】不重叠
【2】完全覆盖
从数学角度看，用一些不重叠摆放的图形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做覆盖平面（或平面镶嵌）的问题
教学目的
1,通过生活中的实例,帮助学生理解镶嵌的数学意义;
2,通过引导从具体.特殊到一般的问题解决,培养学生的观
察能力.探究能力以及把实际问题转化为数学问题的能力;
3,通过学生实验活动,搜集.画.设计一些平面镶嵌图,让学
生体会镶嵌在日常生活中的广泛应用。
重点与难点
重点：镶嵌的含义以及它在实际生活中的广泛应用
难点：如何正确理解镶嵌
(一)提出问题
1)回想你家里地板的铺设情况,并说说是用什么
形状的地砖.地板铺成的
2)观看下面地板的拼合图案
3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙
的地板呢
1）它们是何种正多边形拼成的？
2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正
多边形能镶嵌成一个平面？
探究问题（一）
收 集 整 理 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数 使用正多边形的个数k 结论
能镶嵌
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
K= 6
K= 4
K= 3
K= 4
K= 3
60°
90°
108°
108°
120°
n =3
n =6
n =4
n =5
分 析 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数
与360°的关系 结论
n=3
n=4
n=5
n=6
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
6×60°= 360°
4×90°= 360°
4×108°＞ 360°
3×120°= 360°
3×108°＜ 360°
能镶嵌
得出结论：
如果一个正多边形可以进行镶嵌，那么内角一定是360°的约数（或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！
用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面
探究问题（二）
2m+3n=12
m=3
n=2
m·60 +n·90 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，
则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
m+2 n=6
m=2
n=2
m=4
n=1
m·60 +n·120 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角，
则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
2 m+5 n=12
m=1
n=2
m·60 +n·150 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正十二边形
的角，则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
2 m+3 n=8
m=1
n=2
m·90 +n·135 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角,n 个正八边形
的角，则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角,n 个正十边形的角，则有
3 m+4 n=10
m=2
n=1
m·108 +n·144 =360
。
。
。
∵ m,n 为正整数
∴解为
得出结论：
用两种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）。
用三种正多边形镶嵌,哪些能
镶嵌成一个平面？
探究问题（三）
现在用三种正多边形：正三角形、正方形、正六边形能否进行平面镶嵌？如果不能镶嵌，为什么？如果能，你能把它画出来吗（草图）？
思考:
思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？
探究新知(四)
想一想
1）用一种普通的三角形形状的地砖
能镶嵌成一个平面图案吗
能，因为三角形三个内角的和为180°将三角形三个不同的内角绕一点可围成一个平角，六个内角可围成一个360°周角，因此，任意一种三角形能铺满平面。
2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌
成一个平面图案吗？
能，因为四边形四个内角和为360°将四边形四个内角
绕一点可围成一个周角，
因此，任意一种四边形能铺满平面。
如果用两种正多边形进行镶嵌需要满足什么条件？
小颖家正在为新房子装修，在他的房间里，他想用正三角形和另一种正多边形镶嵌成地板，他有哪些选择？你能帮他出出主意吗？
正多边形 拼 图
和
它们的内角度
和360°的关系：
和
它们的内角度
和360°的关系：
正多边形 拼 图
和
和
3×60°+ 2 ×90°= 360°
3×60°+2 ×90°=360°
4×60°+1 ×120°=360°
正三角形
正四边形
正三角形
正六角形
想一想
正三角形和正五边形能否镶嵌
正三角形和正六边形能否镶嵌
正方形和正八边形能否镶嵌
你能归纳出其中有什么规律吗
收获与启示
用一种正多边形镶嵌的规律：正多边形的内角是360°的约数（或360°是这个正多边形的整数倍）！
用多种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）
1. 用一种正多边形镶嵌，哪些可以，分别是哪些正多边形？
2. 你能找到用两种正多边形镶嵌，还有哪些吗？请你设计一个用两个正多边形镶嵌的图形。
课后作业：